I. — Introduction

Considérons une ocjualion linéaire quelconque d'ordre p

où les » sont des fondions nilionnelles et où la relation (2) est algébrique. Soit maintenant une é(]uulion auxiliaire

(S) "5ÏT = "(^'^)"''

où 9 (x, y) est une f'oacli(ui rationnelle telle que tous les points singuliers de Véquation (1) appartiennent à rérfiiation (?^). Soit a un point sini;ulier appartenant à la (ois aux deux iMjuatious; ce [loiut singulier, regardé comme appartenant à (1), ncuis conduira à une équation dtiterniinante E de degré p; regardé comme apparirnani à (i), il nous comluira à une équation détermidante E' du second degré. Soit 0 la dilVérence des deux racines de E. .le suppose que H ait été clioisi de telle sorte que 5 soit nul ou bien que, 5 étant une partie aliquote de l'nnitr, toutes les racines de l'équation E' soient des multiples de 0. Dan> le ca^ où, dans le voisinage du point a, les intégrales

(') ■|'eriiiiné le io mai iHK/, ; jinprimt' du ■•■'- juilk-l un ij septciiilire 1884. N. E. N.

MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS ZKTAFUCIISIENNES. 4o3

de Véquaùon (i) seraient irrégulières^ 5 devrait être supposé nul. Il faut enfin que, même [)oiir les points sinf;Liliers de (3) ([iii n'appartiennent pas à l'équation (i), S soit nul ou soit une partie aliquote de l'unité et que les inléf^ralcs de l'équation (i) soient partout régulières.

Ces conditions ne suffisent pas pour déterminer Q. Supposons même que l'on choisisse arbitrairement les points singuliers de {''>) qui n'iipparliennent pas à (i) et les équations déterminâmes relatives à tous les points singuliers de (3), en satisfaisant toutefois aux diverses conditions que nous venons d'énoncer. <)uand ce choix sera fait, 9 ne sera pas encore entièrement déterminé, et il restera un certain nombre de paramètres arbitraires. Dans divers Alémoires, antérieurement insérés aux Acla niathematica, j'ai démontré qu'on pouvait disposer de ces paramètres :

i" D'une manière et d'une seule, de l(dle façon que x el y soient fcmrtlons l'uclisiennes de ;; n'existant qu'à l'intérieur d'un cercle.

a" D'une infinité de manières, (h; telle façon que lc et )' soient fonctions kleinéennes de ; n'existant pas dans tout le plan.

3" D'une manière et d'une seule, de telle façon que x et v soient (onctions fuchsiennes et kleinéennes de z existant dans tout le plan.

Dans tous ces cas, les intégrales de l'équation (i ) sont des fonctions uniformes de ;.

Nous supposerons, pour fixer les idées, que l'équation (3 ) ait été choisie de telle sorte que x et y soient fonctions fuchsiennes de s n'existant qu'à l'intérieur du cercle fondauu'ntal dont le centre est o et le rayon i (i''', a"" et (')'" (aniilles). Alors les intégrales de l'équation (i) pourront se mettre sous la tonne du quotient de deux séries ordonnées sui\ant les puissances de :; et convergentes tant que 5 reste intérieur au cercle fondamental; elles sont donc toujours convergentes puisque la variable ; ne peut jamais sortir de ce cercle.

Envisageons un cas particulier remarquable, celui où S est nul pour tous les points singuliers de l'équation (3), et où par conséquent x et y sont des fonctions fuchsiennes de la deuxièuu» faiiiillc Dans ce cas, les intégrales de l'équation (i), de même que x et )', sont des fonctions holomorphes de : à l'intérieur du cercle fondamental. Toutes ces fonctions peuvent se développer en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de :; et toujours convergentes, puisque le cercle de convergence est le cercle fondamental et que la variable ne sort jamais de ce cercle. (^)iiaiil aux coeflicients de ces séries, on

1o4 MKMOIIIF, Sln LES FONCTIONS ZKTAFL'CIISIENNES.

les calcule alséincat par récunoace cl par la inélliude des coefficients indéteriiiiacs, (lès que Fou couaail les coefficients des cqualioas (i), (2) et (3).

xViasi on peut trouver des développements des intégrales qui sont toujours valables, et à ce point de vue il est, dès à présent, permis de dire que nous savons intégrer toutes les équations linéaires à coefficients algébriques.

Mais les développements ainsi obtenus ne sont pas satisfaisants pour l'esprit, parce que les difl'érents ternies ne se déduisent pas les uns des autres |)ar une loi simple. Il faut donc cberclier à exprimer les intégrales par des séries dont tous les termes soient donnés par une formule générale simple, comme l'étaient par exemple les termes des séries thétafuchsicnnes. Tel est l'objet du présent Mémoire. Les séries que je vais cberclier à obtenir seront moins propres peutêtre au calcul numérique que les développements suivant les puissances de z, mais elles seront plus inslrucli\ es et nous permettront de pénétrer plus profiindémenl ilan> l'i'tude intime des fonctions qu'elles repi'ésentent.

Toutefois, dans ce qui va suivre, je serai obligé de supposer que l'équation (i) a toutes ses intégrales régulières pour employer l'expression de MM. Fuclis, Tliomé et Frobenius. Dans le cas où il v aurait des intégrales irrégulières, rien de ce (jue je vais dire ne serait plus applicable et je ne sais, au --uiri (le ces équations irrégulières, rien de |dus (jue ce que j'ai démontré dans les quatre Mémoires antérieurs, .l'avais, il est vrai, dans les Mathetnattsclie Annalen^ énoncé un résultat particulier sur ces équations irrégulières, mais ce résultat est inexact; j'avais été trompé par une fausse interprétation d'un tliéorème de M. Klein dont je ne connaissais pas la démonstration.