II. — Classification des équations linéaires

Soient

di'v v^ a'' V

, , di'u ■^\ , , , d'' u

deux équalioas linéaires d'ordre p .'i coeflicients rationnels en x ely. Je dirai que ces deux équations appartiennent à Imnrmi' Janu'lle si l'intégrale générale de la seconde peut se mettre sous la fcuine

, /p „ dv ,, dW „ dP-U'\

MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS ZKTAFUrUSIENNES. 4^5

v étant l'inlégrule f;énérale de l'cquation (i), les F étant des fonctions rationnelles de X et de j', et A une fonction quelconque de x et de y. Elles appartiendront à la même espèce si la fonction A est égale à i .

Si les deux équations (i) et (i') sont clc la même espèce, elles auront même groupe, c'est-à-dire que, lorsque le point (x,^^) il('crira un contour quelcDuquc sur la surface de Riemann (2), les intégrales de l'écjuation (1') subiront [irécisément la même sid)stilution linéaire que les intégrales de l'équation (i). Si les deux équations sont seulement de la même famille, elles n'ont plus même groupe; mais, quand le jioint {x,y) d<'(rit un cmiiDur (pielciuupu', on (ihluiil les valeurs finales des intégrales de (1') en applupiant aux \aleurs inilialc> la s[d)s| Il Ml ion (|u'iinl suIik' les intégrales de (i) et eu multiplLaul ensuite Imis les résultats ainsi obtenus par un même Jaclriir. Ainsi, les rapports des intégrales de (1') ont subi précisément la même transformation (pie les rapports des intégrales de (1^.

Soit

(/' satislera à une éfjiiation à coeflicients rationnels en X et )' , „ di'u' v^ „ d'' II'

Oïl auiM alors, en faisant // ^ A'/' dans ( 1 ') ci divisant par A, ('")

Les deuv équatKjus (^i"j et (1'") étant irrétiiulibles, doivent être iilenti(jues ; d'où

Il suit de là que la dérivée logarithmique de A est rationnelle en x et y. Donc, A est une de ces fonctions étudiées par M. Appell et analogues aux fonctions doublement périodiques de deuxième espèce. De plus, quand, sur la surface de Riemann (2), le puinl aiialvli(|ue (x, y) décrit un cvcle ou bien un contour l'ermé autour d'un puiiit singulier, la fonction A est simplement multipliée par un facteur constant.

Etudions maintenant ce qui se passe dans le voisinage d'un point quel-

4<'G MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS ZÉTAFUfiHSIENNES.

conque, et pour cela rappelons les dinerents cas qui peuvent se présenter, d'après les travaux de M. Fuclis :

1° 11 peut arriver que le point sini;ulier x ^:= a (pie l'on l'iudic soil ifi-égulicr. c'est-à-dire que, parmi les intégrales, il y en ail au moins une qui soit irréiiulicrc et par conséquent développable en série de la forme suivante :

où dans la série l'exposanl n peut prendre toutes les valeurs entières positives et nénalives.

Il est aisé de voir que, si le point x =z a est un point irr(''i;ulier pour l'équation (i ), il sera aussi un point an'i^iiher pour toutes les équations de la mèuie espèce. Quant aux équations de la même famille, elles auront toutes aussi un point irréijulier au point a [sauf dans le cas particulier où r(jn pourrait rendre les intégrales de l'équation ( i) régulières en les mullipliant par une même fonction u.].

Nous supposerons tl'ailleurs, dans tout ce cpii va suivre, qu'aucune des équations que nous considérons ne présente de point inégiilier. Ainsi, tous les points singuliers de (i) et de (i') seroni su|)posés ri'gnUers.

2" Il peut arriver ensuite que le point singulier x ^= a soit logarithmique^ c'est-à-dire que. |iarml les intégrales de l'équation (i), il y en ait au moins une

de la forme

( X — «)*['{> + >]> log(a' — a )],

'.2 et 'i étant indoiuorpiies. Si le [)oint x = a est un point logarithmique pour l'i'quation (i i. il sera aussi un point logaritlimi{[ue pour toutes les équations de la même famille.

.!° Il peut arriver enfin que le point x =^ a soit un point singulier ordinaire ou un point non singulier. Dans ce cas, il y a p intégrales de la tonne suivante :

les s étant lioloinorplies. Les quantités ),|, Xo, ...,),^ sont les racines d'une équation facile à former et qu'on appelle f'g//a//o/; déterminante. En général. lorsque cette équation a une racini' doiil>le ou deux racines ne dilTérant que d'un nomhre entier, on a allaire à un |)oint singulier logarithmique; il peut arriver cependant, si certaines conditions sont rein|)lies, que le point singulier soit ordinaire, quoique la dillerenee de deux racines de l'équation déterminaulr Ndil un luilier.

Il [u'ul se faire alors :

1" On bien que l'équaliou aux diUerences des racines de rt'([ualii)U dëlermiuaiile n'ait [las toutes ses racines entières, auquel cas le [loinl x -^ a est un point singulier p/'oyj/'eme/i^ dit.

2" Ou bien que les o racines de r<''qualii)n déteiinuianle soient de la lormc

/i + /il, l< + h-i, . . -, /.' + A,,,

k étant une quantité non entière et /t, , h-,, . .., hp étant des entiers. Alors x ^= a (s'il n'est pas logarithmique, ce que je suppose) est un point à apparence singulière. [Cf. Sur les groupes des équations linéaires {Acta mathemalica, t. 4, p. ai;).]

.')° Ou bien que l<'s yj racines soient entières. Alors, pour ./• = «, toutes les intégrales sont iiolomorphes on uii'roniorphes ; ce point est un point singulier polaire (s'il n'est pas logarithmique, ce que je sup[)ose toujours).

4" Enfin, si les p racines en question sont précisément

o, t, 2, ..., (/' — 0, on a affaire à un pnini /imi singulier.

Que se passera-l-il dans le voisinage d'un |)oinl non logaritiimii[uc si l'on passe de l'équation (i) à une (équation de la rn('nic taiiiiilc on de la même espèce ?

Soit X =z a un point non logarithmique; c<insidérons trois équations linéaires (i), (i') ct(i"), la seconde *le la même espèce que (i), la troisième de la même famille (pie ( i). Soient (o), (3') et(.i") les équations déterminantes relatives à ces trois é(juatinns dillérentlelles et au point x = a. Soient

les racines de (i). Celles de i'-V) seront

Xl+/(l, X2-I-/J2, ..., 1i,-\-hi,

et celles de (.'V') seront

p + ïiH- /(,, p + Z2+/io, p + a,,-l-/ip,

jî étant (pielconque et les h étant des entiers positifs ou ni'gatifs.

]3'où les conséquences suivantes : Si le point x = a est un point singulier proprement dit pour l'i'quation (i). il en sera un aussi pour les équations (i')

ioS MÉ.MOIRI': SIR I.KS FONCTIONS ZKTAFUCHSIENNRS.

et (i ")• Si ce point est nu |>()iiil non siiigiilii'r pour récpinlion ( i ), il sera non singulier ou polaire pour (l'j et il sera non singulier, polaire ou à apparence singulière pour ( i").

Donc, deux équalious de la même fauiilic oui les niéuies points singuliers proprement dits. (logarithmiques ou non logarithmiques). Mais les points à apparence singulière (et en particulier les points ])olaires) peuvent être diderents .

Supposons maintenant que les deux équations (i) et (i') soient dépourvues de second terme, c'est-à-dire que

Dans ce cas, la somme des racines de l'équation déterminante est égale k

Supposons que ces racines soient toutes entières sans être précisément

égales à

c'est-à-dire (jue nous ayons ali'aire h un point singulier polaire. La somme des racines doit être égale à la somme des p — i premiers nombres. D'ailleurs deux racines ne peuvent être égales, car il est aisé de constater que l'équation déterminante relative à un point singulier non logarithmique ne peut avoir deux racines égales. Donc une au moins des racines devra être négative; donc le point X = a est un pôle pour une des intégrales de l'équation (i), ce qui jtistilie le nom i\e poi/il polairr donné à cette sorte de point singulier.

Envisageons d'abord des équations du second ordre. La somme des racines de l'équation déterminante est égale à i; leur différence est égale à i pour les points non singuliers, à un nc)mi)re entier plus grand que i pour les points à apparence singulière, à un ninubre non entier pour les points singuliers non logarithmique**, à o. à i ou à un entier pour les points logarithmiques.

Nous ferons les conventions suivantes : Si, pour un point à apparence singulière, cette même différence est égale à n -h t , nous dirons que nous avons affaire à un point à apparence singulière du /;"'"'= ordre, ou encore à n points à apparence singulière confondus. Si, pour un |ii>iul singulier logarithmique ou nnn, cette même dillérence, dont nous pousons touj<iurs siq)poser la partie réelle po>ilive, est égale à n -j-X, A ('tant un nombre donl la parlii' rreUc A,

MÉMOIRE Sl'B LES FONCTIONS ZÉTAFL'CHSIENNES. JOQ

satisfait aux IncgaliLés

nous dirons que nous avons alluire à un point singulier et à n points à apparence singulière confondus.

Grâce k ces conventions, l'énoncé du théorème qui vii suivre est un peu simplifié. Je dis que, si l'équation (i) a un nombre pair de points ù apparence singulière, il en sera de mènïe de l'équation (i') et inversement. En effet, soit

l'équation (i), posons

Soient Ao, A, et M des fonctions telles que

AoFo=^. A„F,= M, .V = .V„.V„

d'où

Il résulte de là que le ])assage d'une équation du second ordre à une autre de même famille peut ImijoLirs (''ire ohlenu par lu série d'op('r.itions suivantes :

i" Multiplier la fonction inconnue p.ir un facteur\;onvenal)le. - 2° La différent ier.

3" La multiplier de nouveau par un facteur convenable.

La première et la dernière de ces trois opérations ne modifient pas la différence des racines de l'équation déterminante. La seconde opération seule peut altérer celle différence. Voici comment : je suppose d'abord que l'on ait, pour la fonction inc(}nnue r, le développement suivant :

v = X(A + Ba;-t-Ga:2+ Dx^ + . . .) -^ iJ.(B' a: + C'x^-+- D'x^ + ...),

A et tji. étant des constantes d'intégration; ce développement montre de plus que les racines de l'équation déterminante sont o et i. Si l'on a

B^ = CT = ''' H. r. — II. 52

4lO MÉMOIRE SUB LRS FONCTIONS ZETAFUCHSIENNES.

il \iemlra, pour le développement de -z- 7

^ = X(3D:r2-+-...) + (|ji-t-XA)(B'+2G'a- + 3D":r2-H...),

ce qui inonlre que les racines de l'équation déterminante sont devenues o et 2. Ainsi, kl différentiation peut faire apparaître de nouveaux points à apparence singulière, m;us elle en peut aussi l'aire disparaître. Soit, en eflTet,

(> =X(A-!-B.?- + Car2 + ...)-l-p^(C'.r2+D'a73-T-...)

le développement de c. On voit que l'équation déterminante a pour racines o et 2. Si l'on dillérentie, il \ienl

-1^ = X(B + 20^- + . . .) 4- (ji(2C'a: + 3D'^--f-. ..;,

où l'on \oitquc les racines sont devenues o et i. En général, toutes les fois que l'une des racines de l'équation déterminante sera nulle, sans que l'autre soit égale à 1, la dillerentiation fera augmenter ou diminuer d'une unité la différence de ces racines, et elle ne pourra la faire varier si Tune des racines n'est pas nulle.

Soit

dU' dv

l'équation à laquelle satisfait c; si dérivée

dv satisfera à

II s'est introduit par la dilVércntiation de nouveaux pointas îi a|>parcnce singulière, définis par l'i-quatioii

Supposons, ce qui est Idujuurs possible, que rinlini soit un point singulier ordinaire, d'oîi il rc'suiti: ipic 'j,, (lui t être une l< met ion rationnelle de degré — 2. La fonction 'Jo aura id + s inlinis, parmi lesquels d infinis doubles et i" infinis simples. Elle aura /. z<''i(i>, de sorte que

/■■ = 2 rf -I- « — 2

lUKMOIRE SUR LES FONCTIONS ZÉTAFUCHSIENNES. 4l'

OU

k ^E^ s (motl-2).

A chaque infini simple de Oo correspond une écjuiition déterminante dont une des racines est nulle; par conséquent, par la dilTérenliation la dKlerence de ces racines diminuera ou augmentera d'une unité. D'après les conventions faites plus liant, il disparaitra ou il s'inlrndulr.i un point à apparence singulière. Ainsi, par le fait des s infinis simples de cso^ i' s'introduira 7 pareils

points, où

l'ar le tait des A' zéros tle 3,,, il s'introduini / points à a[iparencc singulière, de sorte qu'il s'en est introduit en tout

A + a £^ o (inod-.!).

Donc, la parité du nombre des points à apparence singulière n'a pas varié.