III. — Réduction des équations linéaires

l'armi les équations d'une même famille, il en est une que l'on peut regarder comme plus simple que toutes les autres. On peut se proposer, étant donnée une équation linéaire, de ti'ouver la tr'ansformation qui la /•f'/luira à l'équation la plus simple de sa famille.

Afin d'éviter des complications inutiles et qui ne touchent pas au fond des choses, je traiterai un cas particulier.

Je supposerai que l'équation à réduire est du second ordre et que ses coefficients sont rationnels en x, et j'écrirai cette équation sous la forme

Soient a,, ii-,, . . ., a^ les points singuliers; b,, bi^ . . ., 6/, les [xiints à apparence singulière; je supposerai que les racines des équations déterminantes

relatives à ceujL-ci soient et -• Réunissons dans une même classe toutes

les équations de la forme (1) où les points singuliers «,, a,, . . -, (i/,, ûo sont les mêmes avec les mêmes équations ([('terminantes, et où la parité du nombre h de points apparents est la même. Chaque classe contiendra une infinité de familles. Il y aura un certain nomlire de fonctions des coefficients des équations

4ia MKMOIBE SUR l-ES FONCTIONS ZKTAFDCIISIENNES.

d"une même classe ^11! auront la même valeur pour celles de ces équalions qui apparlienneni à une uiêuu' famille. Ce sont des invariants qui définissent la fomille et tliU'érents île ceux, qui délinissenl la classe. Combien y a-t-il de pareils invariants? En d'autres termes, combien faut-il de conditions pour que deux équations, qui sont déjà supposées appartenir à une même classe, appartiennent aussi à une même famille?

Soit ^ une fonction rationnelle q\ielconque de x. Posons

La fonction satisfera à l'équation

Le coefficient de «, que nous appellerons <I> pour abréger, admet comme infinis doubles :

1° Les infinis de Cq' fl^i sont en général des infinis de i; 2° Les zéros de i.

Le rapport des intégrales de (1) sul>it certaines sul)>titutions linéaires formant un groupe G lorsque la variable x décrit certains contours dans son plan. Si les équations (1) et (2) appartiennent à la même famille, le rapjiort des intégrales de (2) subira les mêmes substitutions linéaires formant le même groupe G, et réciproquement, si ces deux rapports subissent les mêmes substitutions, les deux équations appartiennent à la même famille.

Il résulte de là que le nomljre cherché des invariants est au plus égal au nombre des paramètres arbitraires du groupe G. Or, ce groupe est dérivé de /.■ substitutions, ce qui fait 3/, paramètres, puisque chaque substitution dépend de 3 paramètres. Mais les équations (i) et (2) sont assujetties à appartenir à une classe déterminée; on connaît les muiliplicatcurs de ces A' substitutu)ns correspondant à des contours infiniment petits décrits autour de chaque point singulier et celui de la substitution qui correspond à un cont(iur inlininient grand. Il reste il: — i paramètres. Mais, si l'on remarque que deux groupes G et <j~"'Ga', où 1 est une substitution linéaire quelconque, ne doivent pas être regardés comme distincts, on verra qu'il n'y a en réalité que 2 A' — 4 paramètres arbitraires.

MK.MOIRK Sun LES FONCTIONS ZÉTAFltHSIENNES. '|l3

Ainsi, le nombre des invariants ne |)eiit dépasser ik — 4- ïl sera précisément égal à ce nombre, si l'on peut trouver dans chacjue classe une équation admettant un yroupc donné, sans que les coefficients de ce groupe soient assujettis à aucune relation d'égalilé. Comme nous démontrerons plus loin ce tliéorème, nous admettrons que le nombre des invariants est ik — 4 en nous dispensant de faire le calcul direct, qui ne présente d'ailleurs pas de difficulté.

L'équation réduite^ c'est-à-dire la plus simple des équations d'une famille donnée, dépendra donc encore de a/.' — 4 paramètres. Quel est donc le minimum des points à apparence singulière que l'on peut lui attribuer? Supposons que l'équation (a) soit réduite. Elle admettra /, points singuliers et h' points apparents ; la fonction <I> qui est de degré — 2 a donc /.■ -\- h' infinis doubles et dépend par conséquent de 3/i + 3/j' — i coefficients. Mais il y a entre eus ik + 2/('+ i relations qui expriment que l'écfnation appartient ii la classe considérée et que les /(' poinis en question sont bien des points à apparence singulière. Il reste donc k + h' — 2 paramètres. Or, ce nond)re doit être au moins égal à 2 k — /[. Ou doll donc avoir-

Mais on a de plus

h ^ /(' ( niotl -i) ;

le nombre minimum des poinis ap[)arenls est donc k — a si k et II sont de même parité et A' — i si /. et h sont de parité différente. Dans le premier cas, il n'y a dans la famille qu'un nombre fini d'équations n'ayant que /> — 2 points apparents et l'on peut prendre l'une d'elles comme équation réduite. Dans le second cas, au contraire, il y a une infinité d'équations de la mèine famille n'ayant que k — i points apparents.

On peut encore prendre l'une d'elles pour équation réduite, mais cela ne suffit pas pour la déterminer. Nous achèverons de la définir en lui imposant cette condition que l'un des points apparents devra avoir une valeur déterminée, par exemple o.

Voici maintenant comment on peut arriver à réduire l'équation linéaire (i). Nous supposerons d'abord que k et 11 sont de même parité. Soient alors

(II, a-i, ..., ai, les points singuliers,,

bu Ù2, bh

les poinis k apparence singulière.

Ut MEMOIRE Sl'R LES FONCTIONS ZKTAl'lICHSIENNES.

Lu fonction 'Jq pourra s'écrire

\ X — bi

On aura d'ailleurs

(3) C, = +7, D?+fc:, = o,

en supposant, pour (ixer les idées, cjue luns les points apparents soient distincts entre eux et distincts des points singuliers. Dans ces équations, E,- représente le résultat de la substitution de bi à la place de ;r dans la fonction

Posons maintenant

. ix{x — b^)(x — b-i) . . .{x — b), )(x — di Ux — d^) . . . (x — d/,-^) * ~ (x — a, )'{x — Oj)' ... (37 — a,,y{x — c,)'(x — c^)^ ...(x~ c,„f '

OÙ a, les d et les c sont jusqu'à nouvel ordre indéterminés et où 2//î ;= /i — k; il est clair que m ne peut être négatif, car si h était plus petit que /. la réduction serait terminée.

Nous allons disposer des indéterminées de telle façon que la fonction

qui est rationnelle de degré — 2, puisse se mettre sous la forme

df) ''- d^'

H étant rationnel et de degré — i .

Soient en général )v| , /21 .-..A;, les infinis de ft; ijt,, jjlo, ..., [Xp les résidus,

2'^' ■ X— li

Soient Hi et 9j le résultat de la substitution de A,- à la place de ,r dans les fonctions 6--J^ et ^ + J^;

X — /(• dx {X A,)'

il viendra Si l'on a

MKUoinE si:r les fonctions zktafuchsiennes. 4'5

on devra donc avoir

M,- = iif -J- [i/,

ce qui détermine les [/,■ et par conséquent la fonction 6. On peut donc clioisir arbitrairement les M,- et les À,- mais non les IN,-, d'où il résulte que, pour qu'une fonction rationnelle de degré — 2 ayant/? infinis doubles puisse se mettre sous la fo.rine 6- — -r-, il faul p — 1 conditions; la p'"'""' condition qui achèverait de définir les p quantités JN,-, c'est que leur somme doit être nulle.

Dans le cas particulier qui nous occupe, il v a ?n -\- h -\- A infinis doubles; il nous faut donc satisfaire à

conditions et pour cela nous ne disposons que de m + A — 1 arbitraires. Il faut donc voir si /( de nos conditions sont remplies d'elles-mêmes. Pour cela, supposons qu'on retranche de R les deux termes qui deviennent infinis pour j7 = X,et que l'on appelle R,- le résultat de la substitution de )., dans les termes restants; il est aisé de vérifier que l'on a

(4) R,= o,'-(2|ji,-.)o;.

Parmi les infinis de R, considérons les points fc,. Aj. . . ., 6/,, par exemple le point hi- Soit donc bi=y.i; il viendra

l'armi les deux valeurs qui salislonl à cette condition, nous choisirons

II, = - '

de sorte que r<Mjuation ( \) devient

On a d'autre part

de sorte que la condition (4') se réduit à

Mais, pour j;i=6,= a,-, la fonction i s'annule, de sorte qu'il reste simplement

4ll> MKMOIRE SIR LES FONCTIONS ZÉTAFUCHSIENNES.

et

de sorte que la condition (4") se réduit à l'une des équations (3) et est satisfitile d'elle-ménie.

On pourra donc disposer des m + l\ — i paramètres arbitraires pour satisfaire aux m 4- /i- — i conditions restantes. On envisagera ensuite la fonction

qui satisfera à l'équation (a). Cette équation n'adinellr.i plus les points à apparence singulière è|, h-,, ■■■, b/,; car, pour le point bj, par exemple, supposons que l'on envisage le développement de ii suivant les puissances croissantes de X — bi- Le développement de c commencera (pour l'intégrale générale) par

un terme de degré — -; celui de -r- par un terme de degré ; celui de 9 par

un terme de degré — i et de coefficient [a,- = - • l^e développement de 9i' + -j-

devrait donc commencer par un terme de degré ; mais les deux premiers

termes se délruisent et il reste un terme de degré H D'un autre côté, le

développement de — ^ commence par un terme de degré et par conséquent

celui de u par un terme de degré o. Le point apparent bi a donc disparu. En revanche, les points t/,, (L, . . ., d/s 2 sont devenus des points à apparence singulière. L'équation (2) n'a donc que /. — 2 points à apparence singulière: elle est donc réduite.

Voici maintenant une méthode plus simple pour déterminer la fonction 9. On pose

jLjx-- cil .^-li-r — hi) .^a- — c,-

Dans cette expression entrent 2in-\-k=li indéterminées, k savoir: les /«■ résidus P,-, les m résidus Q, et les m infinis c,-. On les déterminera par les h conditions

On peut ramener ces équations à être linéaires de la façon suivante : Soit FI le produit des k + h facteurs x — a,- et a; — bi. Posons

MliMOiRP, sut l,KS FONCTIONS ZliT VKUCIISIE V.NES. 4 '7

Soient TT,- et -] ce que (leviemient II, et \\\ quand on y fait x =^ bi. Posons

n et K étant des polynômes de dei;r('' //( + li -j- /, — i el m en x. Soient H,-, K,' II) et K) ce que de\icnnent ces deux [lolyaoïnes et leurs dérivées quand on v tait X =: /',-. Nous aurons les relations

aH,= T:,K„

exprimant que le résidu relalil à riiilial x = //,■ est égal à -• D'autre part, les relations (5) deviennent

■ill} — K,-,— K,7:',+ -iDiTr/K, = o.

Toutes ces relations sont linéaires par rapport aux coeHicients de-; polynômes II et K et sudisent pour les déterminer. D'où celte conclusion importante qu'il n'y a en général f[u'une seule équation réduite dans une famille.

"Supposons luaintenaul que // l't /. ni' soicul [lUs de ruiMue parité.

Nous poserons

, 'xi.T ^ l/^){x — h^) . . . {x — bi,)x( X — d^){r ^ (h) . . . {x — di.-',\

(j--- ai)-(.r — «2)- .. .(.T — «/, )-(ar — f|)2(.T — c,.)- . . .(.'■ — r,,, )-

OÙ 2m = A — /i . iNou^ disposerons des tn -\- k — 1 indélermini'<'s a, <l el c de

façon que la fonction

U = — tpo -h il*

puisse se uieltre sous la lorme

de

On verrait, comme dans le cas précédent, que cela est toujours possible et, en faisant à l'aide des fonctions A et 9 la même transformation que plus haut, on arriverait à une équation (:<) qui n'aur.iit plus d'autres points à ap|)arence singulière que

o, f/,, dt, ..., ^/,2,

et qui serait par conséquent réduite.

On peut euiployer la même analyse pour arriver à la réduction d'une équation linéaire :

1° Lorsque celle-ci est d'ordre supérieur au second; 2" Lorsque ses coefficients sont algébriques au lieu d'être rationnels. It. P. — II 53

Il 8 MÉMOIRE SUR LUS FONCTIONS ZÉTAFIICHSIENNES.

Puisqu'il n'y a clans une niruic famille qu'un nombre fini île réduites, les coellicients numériques de l'équation réduite définissent la famille. Ce sont là les invariants dont il a été question plus haut.

Soitj^ un groupe fuclisien quelconque que nous supposerons de la première, de la deuxième ou de la sixième familles. Soient

Zi, Z.!, . . ., Zy,

p fonctions de ;, n'existant qu'à l'inlérieur du cercle fondamental. Supposons

que, lorscjue la variable ; subit une substitution du i;rou])e g, la fonction Z,- se

change en

c'est-à-dire en une combinaison linéaire desyj fonctions Z.

Les substitutions t

formeront évidemment un groupe G isomorphe à g et que nous appellerons zétafuchsien. Supposons maintenant que ces fonctions Z soient uniformes et n'aient k l'intérieur du cercle fondamental d'autre singularité que des pôles.

Lorsque le groupe g est de la deuxième ou de la sixième famille, son polygone générateur R„ aura un on plusieurs sommets sur la circonférence du cercle fondamental. Soit a l'un de ces sommets. Je supposerai que les fonctions Z n'ont dans le voisinage du point z =^ a que des singularités logarithmiques analogues à celles que présentent, dans le voisinage de ce même point, les fonctions fuchsiennes engendrées par le groupe g. Entrons dans quelques détails à ce sujet : les fonctions fuchsiennes engendrées par le groupe g sont holomorphes en c' où t = ^^ — et où j5 est un coefficient convenablement choisi. (Cf. Mémoire sur les fonctions fuchsiennes, Acta mathematica, t. I, p. 21 5'".) Dans le voisinage de ce même point singulier; les fonctions Z

seront de la forme

P, e> .'<I>| + P^ehi <j.j + ...-+- p^ e>,,' <!>,,, <

où <I>,, <I>2, ..., •!>,; sont lidlomorphes en c' , où les A sont des constantes et ("j Ce Tome, p. i88.

MlhlOmE SUR l.liS FONCTIONS ZKTAFUCHSIENNES. . 4 '9

QÙ P,, Po, .... P,/ sont, lies polynômes entiers en t de degrés /ii,

On a d'ailleurs

Lorsque toutes ces conditions sont remplies, on dit que les fonctions Z sont des fonctions zélafuchsiennes.

Reprenons les équations (i) et (2) du paragraphe I et l'équation auxiliaire (3) de ce même paragraphe. Supposons que l'on ait choisi celte dernière équation de façon que x et j' soient des fonctions fuchsiennes f(z) et J\{z) du rapport s des intégrales. Supposons de plus que les intégrales de l'équation (1) soient partout régulières. Si nous substituons, à la place de x et de >', 7 (-s) et /,(;), les intégrales de cette équation deviendront îles fonctions zétafuchslennes de ;.

Gela justilie la dénomination que j"ai adoptée. On sait en effet qu'on ne peut pas obtenir toutes les intégrales elliptiques par le procédé de l'inversion, qui ne donne que les intégrales de première espèce. Pour calculer les intégrales de seconde espèce, on v substitue à la [)lace de x une fonction elliptique de z et l'intégrale cherchée devient une fonction zêta de z qui augmente d'une constante lorsque la variable s'accroi'l d'une pc'riode. De même ici, le procédé de l'inversion ne permet d'intégrer que les équations fuchsiennes. Pour les autres équations linéaires, il faut, comme nous venons de le voir, substituera la place de X une fonction fuchsienne de ;. Les intégrales deviennent alors des fonctions zétafuchsiennes de z qui subissent une substitution linéaire lorsque la variable sidjit une Ir.insformation du groupe g. Les fonctions zétafuchsiennes jouent donc ici le même nîle que les fonctions zêta dans la théorie des transcendantes elli[il iques.

Cela posé, soient

•^=/(-ii i'=.A'-) et z,, z,, ..., z,,

deux fonctions fuchsiennes et un système de fonctions zétafuchsiennes admettant le groupe fuchsien g et le groupe zétafuchsien G (les fonctions x et y

(') P,, P^* •■■' ^\ ■*'*"' ''"^^ fonctions de la forme OÙ k-s -^^^ (x) sniïl liuIoiii»u'plies en .r au \nisinaj;e de x ^ n. I\ . E. ?i .

l'^tl , MKMOIHE SLIl I.liS FONCTIONS /.KTAFUCHSIENNES.

sjnl liées |i,ir une rclaliim ali;("|jiifrue ). Il esl aisé d'en déduire une inlinilé de systèmes de fonctions zélifueli^iennes adnieltant les mêmes groupes. Soient en eilet Fq, F,, Fo, .... F^, ij J- i lonetions fuclisiennes admettant le groupe g. l^es fonctions

dL-i d-^Zi dl'L,

dx dx- ' dx'l

lormeninl un système zétafuelisicn.

Cherchons mainlenani quelle est l'expression la plus générale d'un système zétafuchsieu admettant les groupes g et Cî. Soit

T,, T,. ..., T„ un pareil système, l'osius pour al)r<''ger

Considérons la matrice

Pour abréger, nous n'avons écrit qu'une lii;ne de cette matrice; nui? il faut supposer qu'elle a yj lignes et que, dans la /'"""' ligne, chacune des lettres que j'ai écrites sans indice est alfectée de l'indice /. Soit m\inlen\nt ( — 1 )*Ay(, le déterminant que l'on 1)1)1 lent en su])priiu:uit dans celte matrice la /''""' olonne ; on aura les relali(uis

T/ = - -!-(A,Z,-!-A,Z^+A,Z;+...-r-A,,,Zr').

Liu-.(jue la variaMe ; snliil nue >mIi>I ilullcin du gr.ui|)e g\ les tonctionsZ,, Yj'i , .... T, subissent une uk'iuc >Mli>lituliiui S appailenant au groupe (î, à

savoir

( Z„ 1 a,,. Za ), ( Z'„ S fl,,-Z a), . . . , ( T,-, S «,v, Tk ).

Tous les déterminants Ao, A|, Ao, ..., A^ sont alors multipliée par un miMiie facteur, c'est-à-dire par le déterminant

Les rapports—^ ne siuit diuic pas altérés; ce sont dnuc dcb loncticin> fucliMcnnes

MK.MOIIIE Sun LES FONCTIONS ZÉTAFUCllSIENNES. 4'^'

de z, c'est-à-dire des foiiclioiis r.iliounelles de .r et de )'. Voici donc l'expres- «ion générale cherchée : ' ■

( 4 ) T,- = F„ A, -h F, z; + F, /;; + . . . -h f„, zr ' ,

les F étant rationnels eu x et y.

Les fonctions Z^ formant un système zétafiichsien, on aura

(5) Zf-HF,,-,Zr'-H...-+-FiZ;+F'oZ/ = ",

les F étant rationnels en x et y. Ainsi, envisageons des fonctions zélafiich-

siennes quelconques

ayant pour grou|)es (1 cl ^'. Considérons-les comme fonctions d<' x=f{z), oit f(z) est une fonction fuchsienne admettant le groupe ^'.

Elles sdlisfero/il toujours à une et/ualioii linéaire à coejjicienis algèhri(jues.

11 résulte de là que le-, tourlious T, satlsler.inl comme les lonctions Z, ellesmêmes à une pareille équation. Mais, en \crlu de la relation (4), l'équation à laquelle satisfait T, cl C(dle à laipiidle satisfait Z, a|>parliennenl à la même espèce.

Ainsi, toutes les fonctions zélaluclisicnne^ qui ont même groupe sitisfoiit à des équations linéaires à cocfliciciils rationnels en x et en y et qui sont toutes de la même espèce.

Nous supposerons dans vc qui \a suivre que le (h'Ierminani

de toutes les substitutions du groupe G est égal à i. Celte liypothèse est permise. En effet, on peut toujours, dans une équation linéaire d'ordre p, faire disparaître le coefficient du terme en

dxi'-

et,si ce terme est nul, toutes les substitutions du groupe de l'équation ont leur

délerininanl égal à i.

MKMOIRE suit I.KS FONCTIONS ZICTAFI'CHSIENNES.