V. — Développements en séries

Supposons d'aboril que le groupe luchsien g' soit de la première (imille. Soit Si une substitution de ce groupe

Soit S( la substitution correspondante du groupe (î. Ce sera une substitution linéaire de déterminant i que l'on pourra représenter par le tableau de ses coefficients :

La substitution S7' sera alors représentée par le tableau

où les A sont les mineurs du déterminant des a. Nous allons considérer p t'onctions rationnelles

II,, II,, ..., H„ et p séries

?1; Ui ■ ■ -1 Ç/))

et nous adopterons les notations suivantes :

zs,= k-y

Les séries 5 s'écriront alors (»)

?,(.j=2iH,(^.,)]sr'[^]'

Supposons que l'on ait démontré qUe ces s('rics sont absolument convergentes ; voyons quelles seront leurs propriétés. On aura

mémoire: Sl'B LÉS FONCTIONS ZKTAFUCHSIENNES. 4^3

3t tic

et enfin

Ecrivons la série (i) cl la relation (2) avec les notations ordinaires, il \ icnt et

Il reste à recherclier si les séries (1) sont absolument converfjentes. l'our cela,

envisageons la série

X[iv = S,- m od [ A |iv ( T. - + S/ )" ' '" ] ,

et cherchons pour quelles valeurs Me //; celte série est convergente.

Nous allons il(jnc chercher avec quelle rapiilité croissent les coefficients A|i^. A cet efiet, envisageons les substitutions fondamentales du groupe G et leurs inverses. Si k est le nombre des substitutions fondamentales, nous aurons en tout ikp- coefficients. Soit M le plus grand module de ces ikp'^ coefficients.

Soit niaintenanl S, une substitution quelconque du groupe G dont tous les coefficients aient leurs nioduh^ plus petits (pie N; soit d'aLlleurs S une des substitutions fondamentales ou une de leurs inverses. Les modules de tous les coefficients de S,S seront plus petits que /jMN; car chacun de ces coefficients est une somme àe p monômes et chacun de ces monômes est le produit d'un coefficient de S,- par un coefficient de S.

Cela posé, une sulol iliilion S, quelconque puiLrra toujours se mettre sous la hiriiie suivante :

(3) S,= va.va, ... va,,

Chacune des lettres S|, S^, . . ., S^ désigne une des substitutions fondamentales ou une de leurs inverses, la même substitution pouvant d'ailleurs se retrouver plusieurs fois dans la suite. Les exposants ai, a^, . . ., a^ sont entiers positifs. La somme 17 = a, + Xj + . . . + a^ s'appelle l'exposant de la substitution. Dans

421 MÈ.MOIltE SL'll I.KS l'ONCTIONS ZÉTAFUCIISIENNES.

le cas où la siil)>t iliitiou S, peut se lucllio (riiiic inlinilr de manières sous la forme (3), son cvposant est la [ilii'i |irtile valeur que puisse prendre la somme «i + aj + . . . + a^.

11 ri'sulte de cette délinilion que les modules des eoeflicienls d'une suljstitulion dont l'exposant est a- sont |)lus petits que

Le groupe G est isomi)r|)lie au groupe i'. Il en résulte que l'exposant de S,est le même que celui de la substitution correspondante Si du groupe g' si l'isomorphisme est lioloédrique. Il est plus petit, en général, si l'isomorphisme est mériédrique. Dans tous les cas, il ne peul pis èlre jilus grand.

Soit, dua aulre côli', Il la distance il l'origine il un transformé zs, du point :■, distance évaluée au point de vue de la g(''iim(''lri(^ non euclidienne; je veux dire que R est la L de la droite o — ;.v,-. On peut trouver une relation entre R et l'exposant g de la substitution i/, que nous appellerons aussi, pour abréger, l'exposant du point :.s/. En cfTel, supposons, pour fixer les idées, que les points c et o soient tous deux intérieurs au polygone Ro- La dr.nte zs; — o dont la L est égale il II lr,i\ erseiM un certain iioiiiIhc de polygones R,,, R,, ..., R, et t sera au plus ég.il au nombre /; de ces polygones, (hielle relation y aura-t-il maintenant entre R et n ?

Considérons d'aboi'd le polygone 11^; la L de tout arc de courbe joignant deux points du |)érimètrc de ce polygone appartenant ;« deux ci'ités non adjacents sera plus grande qu'une cerliiiie liiuile inlérieiire que j'appellerai À. Gonsid(''rons maintenant un polygone R, ad|accnt il Rq le long d'un côti' C| et envisageons un arc de courbe joignant un point d'un côté Co de Rq ii un point du côté C-, de R| et traversant le côté C|. Je supposerai de plus que ces trois côtés Co, C|, C> n'ont aucun point commun. ('Cf. Théorie des groupes fuchsieiis, Àcht nidlhemntira, I. 1, p. .ii'".) Jyi !> d'un pareil arc restera toujours plus grande qu'une certaine limite infcMieure, que j'appellerai [jl.

Considérons enfin un arc de courbe qui vient couper successivement divers côtés de divers polygones R,- et de façon que tous ces côtés viennent converger en un même point. Ce point sera un sommet de l'un des polvgoncs et, comme le groupe ^'' est supposé de la première famille, ce sera un sommet de la première catégorie auquel ne viendra aboutir (priin noiulne /ini de côtés. J'appel-

(') Ce Tome, p. i38.

MKMOIRE SUR LES FONCTIONS /.ÉTAFUCHSIENNES. jî.i

ierai /( la limite supérieure que ce nombre fnn ne pourra dépasser. On aura alors

inégalité que nouN pourrons écrire

/i<aR ou j<aR, a étant une constante.

Mais si l'on se reporte au paraj^raphe I flu M/hiinire sur les Jonctions Juclisiennes (Arta mathcmatica, I. 1'''), on \erra qu'cui a (K étant une constante)

mod( Y,-' + 5,)-^ < ^,«^^1,,,^.^ < K e-î",

et fie plus que la série Smod (",:; + 2,)~' est convergente. On a d'ailleurs, d'après ce que nous venons de voir,

modA(,.v<(M/?)'J< ciiai<>BiM;.i Ou peu! donc prendre m assez grand |)our (pu'

•2»! — 4 > =! lo<;( M/>), d où

modAp.v(Y/- + 2,)-2"'< mod(Y,2 -t- ô,)'

et, par consc'quent, pour cpie la série l.^^ déliuie plus liaul soit çomergente. I^a limite qiu> l'on est ainsi conduit à attribuer au uiimbre m n'est pas précise. Reprenons niaiuleuanl les séries (i); on peut trouver une limite supérieure du module des p fonctions

pourvu qu'aucune d'elles ne de\ienne infinie sur le cercle Condauiental. [Cf. Mémoire sur les fonctions Juchsiennes, § I (Acta nuilhcniatica, t. 1).] Les séries (r) sont donc absolument convergentes. c. q. f. d.

La relation [2) montre ensuile que, si l'on divise les /> fonctions ^, , Çoi •••) ?/> par une même fonction tbétafucbsienne 9. les (juotients

7 Çl 7 ?■- 7 s/)

forment un système zélafuclisicn.

D'où la conclusion sui\ante : Avec un groupe fuchsien §■ de la première

( ' ) Ce Tome. p. iSd.

H. r. - II. 54

4î6 MÉMOIRE Sl'R LES FONCTIONS ZETAFUCHSIENNES.

famille et un groupe zélaCuchsien G isomorphe au premier, on peut toujours construire une infinité de systèmes zétatuclisiens.

Donc, on peut toujours construire une infinitt- d'équations linéaires admettant un f;rou|)e donné, pour\ u que ce groupe soit isomorphe à un groupe fuchsieii de la première famille.

Cette remarque est importante au point de vue de l'intégration algébrique de ces équations. Les savants qui ont abordé jusqu'ici la question de cette intégration algébrique ont cherché à former les groupes d'ordre fini contenus dans le groupe linéaire. Il restait à savoir s'il existait des équations admettant ces groupes. Celte question est maintenant résolur. jiiii>qiic tout groupe d'ordre liiii peut toujours être regardt' comme isomorphe à un gnuipe fuclisien de la premièie famille.

Qu'arrive-t-il lorstpie le groupe C est d'ordre fini? 11 est mériédriquement isomorphe au groupe g', si, dans ce groupe g-, on distingue les substitutions auxquelles correspond dans le groupe G la substitution identique, ces substitutions formeront un sous-groupe ^' contenu dans g'. Les fonctions x^f{z) et y = J\{ z) et, en général, les fcmctions fuciisiennes de groupe g., pourront être regardées comme des cas particuliers des fonctions fuchsiennes de groupe g'. D'un autre côté, les séries ^i, ^o. ..., S/, se réduisent à des séries thétafuchsiennes de groupe g' , et les fonctions Z,, Zo, . . ., Z^ k des fonctions fuchsiennes de groupe g' . Il y a donc une relation algébrique entre Z, et .r. L'intégrabilitt- algébrique des équations linéaires auxquelles satisfont les fonctions Z, est ilonc mise en évidence.

Nous pouvons, dès à présent, indiquer l'expression analytique générale des toncti(uis zétafuchsiennes. Nous avons \u en ellet que, si

74, Il ..., Ih (/( =1,2, ..../>)

sont y^ systèmes zétafuchsiens (') et si

représentent un système zétafuchsien quelconque, on a

T(,.= F,Zi + F,Z^. + ...+ F„Z[:, F,, I-j, .... 1'/, ('tant des fonctions fuchsiennes que l'on peut t<^iijoiirs coiisi-

(') Un suppose nue le déleriiiiiiaiil ^±'/.\7.'. ... '/.'\ ne soil pas nul. A'. £■. .V.

MÉMOIRE SUR LRS FONCTIONS 7,ÉTAFUCHSIENNES. 4*7

dérer comme le quotient de deux séries thétafuclisiennes. Voici, par conséquent, quelle est la forme jjénérale de la fonction T^.

Soient

t' i- il'

0. 0„ 0,. ..., 0,, p séries de la furinc (i ) et yj + i si'ries tliétafuchsiennes, on aura

l'armi les s('ries ç,un[)cul m en\ isai;er qui sonl plus simples f[ue les autres.

Kn ellet, dans les p séries

entrent p fonctions rationnelles aiMtiaires