II,, 11., ..., H
Supposons que toutes les fonctions II soient milles, excepté Hy; la série ;^ se réduira à
Les séries de cette forme, où p — i des fonctions arijitraircs H sont nulles, peuvent s'appeler séries ? simples.
Choisissons niaintenant p fonctions H quelconques et formons un système de séries ç» à l'aide de ces p fonctions. Formons ensuite avec cliacune de ces p fonctions, avec H, par exemple, un système de séries simples \^^, les p — i autres fonctions étant supposées nulles, on aura
ce qui uKuitre qu'une série ; quelconque peut être regardée comme une somme de séries simples.
Voyons maintenant cjuelle est l'expression analytique des séries ^ au moyen des intégrales d'une équation dilVérentielle linéaire, donnant naissance à un système de fonctions zétafuchsiennes. D'abord, a(in d'éviter des complications iiiMliie-- et qui ne tiennent pas au fond des ciioses, je supposerai que le i;roupe g est non seulement de la première fauiille, mais encore du genre zéro. Le système zétafuclisien considéré
428 MÉMOIBE SUR LES FONCTIONS ZÉTAFUCHSIENNES.
regardé comme fonclinn île la Iranscendaule t'uclisienne x ^=f[:- ), satisfera à I i'(|iiali(iii
011 les coefficients o/, sont rationnels en x seulement. Je supposerai, pour simplifier, que cette équation (4) soit du second ordre et qu'elle soit réduite au sens donné à ce mol au paragraphe III de ce Mémoire. Je l'écrirai
(4) -^^ + cp/. Z = o.
Les jtoinls sini;uliers seront a,, (/j f/» cl -x. Je supposerai qu'il n'y a pas
de points ta ap|)arence sinj;ulière ou plutiU, s'il y en a, je les regarderai comme des points singuliers ortlinaires et je les ferai correspondre à un sommet de PiQ. J'a|>pclleiai y.,, y.^ a„, a,,,^, les sommets de R,, qui correspondront
aux n -\- 1 poliils singuliers (/,, (u, .... «„, ce. J'appellerai -^ , comme dans
Pile |)aragraplie V du Mémoire sur les fonctions fuchsieiiues, la souimc des angles du cycle dont l'ail pailic le sommel a,. Les racines y,- et i — v, de l'équation déleruiinante relative à ;r = a,- el à l'équation dilTérentielle (4)
devront être des uiulliples de ^' Les intiïgrales Z, et Zo "-le l'équalion (4^,
fi
regardées comuii; fondions de ;, seront infinies d'ordre fv, — i ) Ti, pour ; = a,-. Leurs dérivées 7j\ = —~ et Z^ = -i-^ seront infinies d'ordre '(ipi- ^ oici uiaïuttuant quelle est l'expression générale d'une série S quelconque :
(5) (^-^j fF(.r)Z,+ F,(:r)Z,] = ^,,
F(x) et V^ix) étant des fonctions ralionni lies de x.
.Nous allons chercher si l'on peut déterminer ces deux fonctions rationnelles de telle façon que l'expression ( .') i et l'expression conjuguée
(5') (gy"(:FZ,+ F,Z,) = t,
ne de\iennent pas infinies à l'intérieur du cercle fonilamenta
Si l'iMi a, comme non uni dans réijuati(Ui ( \ }.
Si l'iMi a, comme nous poinons le siijjposer puisque le coelfieieut île -j- est
Zi Zj — z^z,
il vient
Il snil (le laque les deux tondions F et F| ne peuvent devenir infinies que pour les points singuliers z = a,-, la première d'oi-dre (v,-+- m)pj — ni au plus (en z) et la seconde d'ordre (y/H- m — i)^,- — m au plus.
On aura donc
et
( r — o I )''' (^ — "2 )^" . . . ( ar — ■«„ )'■-.
où ).,, ),2, .... ).„ sont les plus grands nombres entiers satisfaisdnl aux inégalilés
(b) A,= Y,-+ ni — — .
et où 0 cl 0, s<int des polynômes enliers en x qu'il s'agit maintenant de déterminer plus complètement.
Nous venons de \oir (pie F ne pouvait (IcNenir, pour a? = «,, inliiii d'un onire plus grand cpie X, et (pie !•', ne jioiivail dexenir infini d'un cutire plus grand que X, — i .
Clierclions maintenant un nombre p, tel que, si F est infini d'ordre a, et F, infini d'ordre ;/, — i pour x = ai, l, et ^j soient certainement finis.
Il arrive alors que FZ, ( jT ) et F,Z', ( tt ) deviennent infinis d'ordre
d'où il résulte que a, est le plus grand nombre entier satisfaisant à l'inégalité
Pour X ^ ce, — devient infini d'ordre i+ „ , Z, d'ordre y,,^, et Z',
d'ordre y„j,, — i. Il en résulte que F ne peut pas être infini d'ordre plus élevé
43o MÉMOIRR SUR LES FONCTIONS 7.RTAFUCHSIENNES.
que
^"-=-"'('^sb)
+ Yn + l— I
et F| d'orilre plus élevé que )v(+i + i •
D'autre [jarl. si F csl lulini d'ordre a,,^, cl V , d'crdre [Ji,,,^, + i , ;, et ;.i seroni au plus d'ordre
H-«+l+ïn+l + '"(l+ g j;
de sorte que, si u.,,^, satisfait à l'inéiialué
• [Jl«+l^— "M 1+ T. ) —■/■" + !'
on sera certain cjuc Ç| et ^^ sont Unis.
Posons maintenant
y, o, /i,csi étant des (onctions rationnelles devenant infinies respectivement d'ordre u,. A,— [x,, a,— i , h/— [J., pour ar = rt,- et d'ordre [J.n+,, ).„+! — ;J-n+(< uL,, . , + I , ),,;^i — a„^, pour r = ce. Pour que cette décomposition ne puisse pas se faire d une infinité de manières, nous supposerons qu'un coetdcieni quelconque de/ et un dey, sont assujettis;! a\oir une valeur d(Minée. \ oici aliir> le uoiidire des coefficients restés arbitraires :
dans f, X ixi,
dans /i, ^; |JL,+ 1 — n,
dans o et <lans tfi, - )., — i;;jL, + i,
en tout
Mais, entre ces coefficients, il j a certaines relations dont il faut ciiercher le nombre. Considérons un tpielconque des mlinis a,, posons pour abréger o,^= o et supprimons partout lindice (. Soit
•■^ j o, = Ai^-V--^ -h \\ TV--'^+t -h + A'r'^^'.î-'-t-'p'i,
a' et a', étant finis pour x^o. On peut maintenant toujours su|)poser que Z, et Zo aient été cbcjisis île manière à être respectivement infinis d'ordre y — i et — -' pour .r = o, car, si cela n'était pas, il >ullirail de remplacer Z, et Zj |iar a.Z, -t- |jZ^ cl --Zi + oZ^. %. p. v et o étant des coefliciinls con\enablement
MÉMOIBK SUB LES K0>XT10NS ZÉTAFl'CHSIENNES. 43l
choisis. Gela posé, imaginons qu'il n'y ail aucune relation entre les coefficients A des expressions (-); l'expression (5) sera infinie d'ordre
et rexjiression (5') d'ordre
L'expression ('5') est donc finie en vertu de rinéc;alité (()). Mais, pour que l'expression (5) soit finie, il faut qu'il y ait entre les coefficients A des expressions {'])■, des relations dont le nombre est précisément le |jlus petit entier qui est égal ou supérieur à l'expression (i^), c'est-à-dire A — u.
l^e même raisonnement s'appliquerail pour x =^ x v\ l'on tniu\crail (pion doit avoir, entre les coefflcienls de 'o cl '5, , X„+) — i^"+i relations pour que ( 5) et (5') restent finis pour a; = x. Il va donc en tout
relations et il reste
coefficients arbitraires. Dans celte expression, Ï^X,- signifie
Ainsi, toutes les séries ç qui ne devioiiueut pas infinies s'ex|irimen( linéairement à l'aide de
d'entre elles. On I rouvcrait un n'Nuilal analogue pour le cas de p > 2.
Nous devons adjciiudre. au groupe zétaluelisien (1, le groupe zétaluchsien corrélatif Ci, défini de la façon suivante : soit
(Z,-, i:«,7,ZA-)
une substitution tie ( j ; la suljstitulion correspundante de G, sera
(ZaïaT,,, T,)
en ap|)clant
l'un des systèmes zétafuclisiens engendrés |)ar le groupe (ii- On sait que, dans la théorie des formes algébriques et, en particulier, dans celle des formes appelées coiilrcuarianls et mixed-concomitants , la considération de la
43a MÉMOIRR SUR LES FONCTIONS 7,ÉTAFUCHSIENNES.
siihsiiliil iciii cont'IiiliNe il'wiio siibstiiiiiinii liii('i\ire donnée joue un rnïe fort imporlunt.
Considérons niuinloiianl l'expression suivante :
(9) . Z,T,-hZoT,+...-+-Z,,T,,.
Quand la variable z suint une sulistilution du groupe fuchsien ^, les Z,subissent la suijslitulion correspondante de G el les T, subissent la substitution corresjtondante de (^ii . lien résulte que l'expression (9) elle-même demeure in\ariai)le. C'est donc une lonction fucbsienne de 3.
On vena |)lus loin le ri")le des fonctions zétafucbsiennes et surtout des séries Ç engendrées par le groupe corrélatif G(.
Remarquons maintenant que, dans le cas particulier de jd = 2, à la substitution
a, bi Ci di
du groupe G, correspond la suiistilulion
(/, — c, — b, ai
du groupe G,. Ces deux substitutions ont évidemment mêmes multiplicateurs, d'où il suit que les quantités que nous avons appelées plus haut
Yl ) Y'-' ■ • ■ î 'i'it 'In 4-1
sont les mêmes pour les deux groupes G et G,.
Supposons maintenant /) > 2 ; si :V = a est un point singulier pour lequel l'équation déterminante relative à une équation (4) engendrée par le groupe G ait pour racines
l't'quation déterminante relative à l'une des écjuations (4) engendrées par le groupe G, aura pour racines
Se-E,-
Soit
■yi. — Décomposition en éléments simples.
un système zétafiichsien que je supposerai de la première famille, comme dans
MÉMOIRE SUR t,ES FONCTIONS ZKTAFUCHSIENNES. 433
le ]iarar;ra|ilie précédent. Soit /(•:) mic fi)iictioii tuclisienne de la première famille ayant même groupe fuclisien que ce système. Je supposerai, pour fixer les idées, que cette fonclion esl fie genre zéro et que toutes les autres transcendantes fuchsieanes de même groupe en sont des lonctioas rationnelles.
Je vais reprendre les notations du paragraphe V du Mctnoire sur les Jonclions fuchsiennes (Acta mathcmatica, t. l, p. a'jo'").
Considérons lintégrale
prise le long du coiilour S défini à ladite |iage 210. Je dis que celle Inlégr.ile tend vers zéro quand r tend vers 1, pourvu que /( soil sulTisamment grand. En elTet, nous p(mrrons aisémeiil Irouvcrune limile siijîérieure M, du module
àe Supposons iiiainfcnani que le mn<lule de ' " reste inférieur
à M2 le long du périmctie de K,, ; il restera inférieur à
le long du périmètre de S. Supposons enfin (jiie,' le long du |)i'riinètrc de Pi,,. les modules des p fonctions
restent inférieurs à M^. Glierchons la limite supérieure du module de ces mêmes fonctions le long <lu |)('rimrtre du polygone II, en supposuul que la substitution i/ qui change Pio e'i R/ soit d'exposant 1. Soil S, la substitution de G qui correspond à a,. JNous avons \u. au paragraphe précédeiil. (juc les modules des coefficients de S, soni |dus pellls que
a étant une constante convenablement choisie. Donc, le long de Pi, le module des p fonctions Z est plus pelit (jue
Considérons en particulier les polygones Pi, qui fonneal la bordure de S. l^eur exposant est, d'après le paragraphe précédent, plus |>etit que -(R. +"''0i où b est une constante convenablement cboisie. ])'où ce résultat :
mo(:IZ,</)M3e*i«+>-'
( ' ) Ce Tome, p. 210.
43i MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS ZÉTAFUCHSIENNES.
le long de s. La qManlit(' sous le signe / a donc son niodiilo jdus petit i[iie (3) /)M,M2M3e''R+>-'ll2''.
Si 1 on se reporte à la valeur de H {Mémoire sur les fonctions fuchsiennes. Acla mathemaliccu t. 1, p. 241'"), on verra que cette expression (V) tend vers zéro pourvu que
L'intégrale (2) tend donc aussi vers zéro; d'où l'on peut conclure cjue les p fonctions
peuvent se développer en séries de la façon suivante :
OÙ les a sont les infinis et les A les résidus. Si la fonction n'admet que des infinis simples, cette série se réduit à
(^uand (Ml connaîtra les infinis et les résidus de ces p fonctions à l'intérieur de l\a, on connaîtra tous les infinis et tous les résidus de ces mêmes fonctions, et par conséquent la série (5). Supposons que a soit un infini des fonctions (i) situé à l'intérieur de R„ et que nous supposerons simple pour fixer
les idées. Soient
Al, A,, ..., Ap
les résidus dos yj fonctions (4 ) correspondant à cet inlini.
Les points
asi = — ^
seront aussi des infinis simples de ces mêmes fonctions ( '1). Nous écrirons comme plus haut
Ap.S(= Sn|ip.\p,
>i la sulisl ilul ion .S, s i( rit
(Z|i., SfljipZp).
( ' ) Ce Tome. p. 211.
MÉMOIRE SLR LES FONCTIONS ZÉTAFUCHSIENNES. 4^5
Or, nous avons
et
dz
M=...[iaf]""=[2"-M=.(ï)-"]0
Multiplions l'identité prccédentc par ;: — a et faisons z=^a; il viendra, en appelant
A j, A2 , • ■ • , Ap
les résidus des^ fonctions (4,) pour :; = as,-,
d où
Telle est la valeur des résidus cherchés. Réunissons ensemble les termes de la série (5) qui correspondent aux infinis de la forme asi] nous trouverons la série suivante ;
de sorte que chaque fonction (4) se trouve décomposée en une somme d'un nombre fini d'éléments simples de la forme $(i(-, a).
Mais on peut pousser plus loin encore celte décomposition en éléments simples.
L'identité (6) pourra en effet s'écrire
ou encore en posant
de sorte que, si les fonctions (4) admettent les infinis simples
•Si, -lo, . . . , Zq
à l'intérieur de R„, et si elles admettent l'inlini z-k respectivement avec les
résidus
il vienilia. |uiMr la ij."'""' des fonctions (i), ridenlilé
<jni nous montre cette fonction décomposée en éléments simples. On arri\erait à un résultat analogue pour les cas où cette fonction admettrait des infinis multiples.
Voyons ce que sont ces éléments simples, et jiour cela regardons, dans l'expression 4>|iv(^i «)i -■ comme une constante et a comme la variable.
Cherchons maintenant à former les séries ^ simples du paragraphe précédent avec le groupe G, corrélatif de G de ce même paragraphe, a étant toujours la variable ; nous trouverons
OU, en faisant il viendra
lu.v= 'i'vaCs, a)-
Ainsi, la Iranscendante $v|jl regardée comme fonction de a est une fonction ; admettant le groupe G) corrélatif de G.
Nous allons supposer maintenant p = 2 pour fixer les idées et nous allons étudier de plus près la décomposition en éléments simples des fonctions
(^)""(FZ,+ F,Z',) = A„
Z|, Zo, Z, , Z'., ayant la même signification cju'à la fin du paragraphe précédent et F et F, désignant des fonctions rationnelles en x. Il est clair que A, et Ao sont des fonctions de la forme (4) auxcpielles, par conséquent, on peut appliquer tout ce que nous venons de dire.
Dans ce qui va suivre, les lellrcs ,3,, y,. À,, u./ auroni la même significal it)n qn à la lin du |i.ii',igraphe pic'cédcnl, et nous |)osoi'ons
Cherchons la condition pour c[ue les fonctions A, et A, ne deviennent pas inlinies pour a; =; «;. Il laut (juc !•' cl F, dcvicnncnl nuls il'un onlro suffisamment grand et c'est cet ordre ipTil s'agit d'abord de (h'Icrminer. Svq>posons, pour le
faire phis aisément, que Z, et Zj soient respectivement infinies d'ordre y, — i et — V,; cela est toujours possible car, si cela n'était pas, on remplacerait Z, et Z2 par aZ, + ^Z, et yZ, + SZo, a, [i, y, o étant des coefficients convenablement clioisis. Si alors I'" devient nul d'ordre o, et Fi d'ordre S,+ i, A, et A-, seront respectivement infinies d'ordre
et
On doit donc avoir d'abord ou, ce qui revient au même.
Cette condition est suffisante pour que Ao ne devienne pas infini. Pour que A,
reste également fini, il faut encore qu'il y ail certaines relations entre les coefficients de F et de F, .
Supposons maintenant que F et F, deviennent nuls d'ordre 2„^, et o,,^, — i pour X = M et Z| et Zo infinis d'ordre ''{„+i et i — y«+i ■ H eu résultera que A, et A.> deviendront infinis d'ordi-e
et
Par conséquent, Ao reste fini pourvu que
ou, ce qui revient au même,
8«+iÈî |^«+i+ i-
Si, en outre, il y a certaines relations entre les coefficients de F et de F,, A restera fini. Nous ne restreignons pas la généralité en supposant que o, et 0,,^., sont égaux à leurs limites, c'est-à-dire que l'on a
Considérons maintenant les relations dont il vient d'être question et qui
iiS MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS ZÉTAFUCHSIENNES.
ildivent exister entre les coefficients de F et de F, pour que les deux fonctions A restent finies pour r = a, et pour ; = a„^i et, avant tout, cherchons quel en est le nombre.
Si F et F, étaient des fonctions rationnelles quelconques assujetties seulement à être nulles d'ordre
8,- et 0,-t-i (ou o„+i et 8„+i — I pour5=a„+i), A, serait infini d'ordre
Dans le développement de A, suivant les puissances croissantes de x — a,, il y aurait donc
ou E' Y/1+1 — 2« + i — /m 1-4- ^ j pour :
termes infinis. Nous désignons par E'(x) le plus petit entier satisfaisant à la condition
et par E(ar) le plus grand entier tel que
Le nombre des relations nécessaires pour que les deux A restent finis pour :■ = 7.,- est donc égal à
ou bien
ou, ainsi qu'il est aisé de le voir,
En ce qui concerne le point ; = a„^|, le nombre des relations est égal à
ou
ou enCiii
On a, en effet.
mémoirk sur les fonctions zétafuchsiennes. 4^9
a el h ctanl, des entiers.
Le nomhre total des relations est donc ainsi de
