X,— S IX

Considérons maintenant les diverses fonctions A qui admettent r/ infinis simples donnés sans en admettre d'autres. Toutes ces fonctions s'exprimeront linéairement à l'aide d'un certain nondn-e d'entre elles, (^uel est ce nomhre ? Les fonctions F et F, admettent \cs tj iiillnis donnés ; mais, comme elles doivent être nulles respectivement d'ordre o„+i et d'ordre o„^i — i pour a; = oc, elles admettront q — ^n+{ et ^ — ■ o„^, + i zéros. Mais la fonction F admet 5,- fois le zéro a,- et la fonction F, l'admet 5,+ i fois; il reste donc

1/ — S S zéros arbitraires dans F

et

q — SS + i— /t dans F].

11 y a donc en loul dans I'' el F,

•i 7 — a S 0 -v '5 — « = 2 <7 — .». i: jjt, + /i ^ 3

coefficients arbitraires.

Mais nous n'avons pas tenu compte des relations qui doivent exisler entre les coefficients de F et de F, et dont nous venons de déterminer le nondire. Il faut donc retrancher de l'expression qui précède le nomhre de ces relations, c'est-à-dire

11 restera ainsi

Q = 29 — SX,— i |ji,-(- « — 3

coefficients réellement arbitraires.

Ainsi toutes les fonctions A (jui admettent les q infinis donnés s'expriment linéairement à l'aide de Q d'entre elles.

Dans toute décoinposilion en éléments simples, il y a un nombre que Ion peut liytYieler fondamental et ijui joue un rôle très important. Supposons qu'il s'agisse de décomposer en éléments simples les fonctions qui appartiennent à une certaine catégorie C. On doit supposer que la somme de deux (onctions appartenant à celte catégorie C, appartient également à C; ce n'est que dans ces conditions qu'on peut être conduit à chercher une décomposition en éléments simples. Tl peut arriver que les éléments simples fassent eux-mêmes partie de G; c'est ainsi que, dans la décomposition des fractions rationnelles,

on est conduit à des éléments de la forme — '^-^ qui sont eux-mêmes des frac-

tions rationnelles. Dans ce cas, nous dirons que le nombre fondamental est égal à zéro. Mais le contraire peut arriver également. Ainsi, dans la décomposition des fonctions doublement périodiques, les éléments simples sont de la forme A -r— logQ (x — a) et ne sont pas des fonctions doublement périodiques. M.us il existe des fonctions doublement périodiques qui sont des sommes de deux éléments simples seulement, et à l'aide desquelles toutes les autres s'expriment linéairement. Dans ce cas, le nombre fondamental sera égal à i. En général, s'il existe des fonctions de la catégorie C, décomposables en m + i éléments simples seulement et à l'aide desquelles toutes les autres fonctions de la catégorie G peuvent s'exprimer linéairement, le nombre fondamental sera égal à /», pourvu que m soit le plus petit nomlire jouissant de cette propriété. Ainsi, dans la décomposition des fonctions rationnelles de x et de j' [y étant lié à X par une relation algébrique '.o(aî, j') = u], décomposition découverte par M. Roch, le nombre fondamental est égal au genre de la relation 0 = 0.

Envisageons de même la décomposition de la fonction A(;) que nous avons considérée aux pages 288, 266, 270 et 284 (') du Mémoire sur les fonctions Juchsiennes en éléments simples de la forme

Dans le Mémoire cité, nous avons déterminé le nombre fondamental relatif à cette décomjin>ii inn. G'est ainsi que, dans le cas du genre zéro et de la deuxième famille (lac. cit.-, p. 2j()<''), nous avons trouvé pour ce nombre

n (ni — I ) — m .

(') Ce Tome. p. joy, 2.38, j-^' cl '.(.'(ij-

(-) Acta malhematica, t. 1, p. 'j^a; ee Toiiu'. p. iij.

.( ') Ce Tome, p. 241.

MÉMniRE SUR I.KS FONrTIONS ZKTAFUCHSIENNES. 44'

Ouel est maintenant le nonilire i'oud.iinonlal relatif à la (iécorn|)o>itiini i|iii

nous occupe ici, c'est-à-dire l\ la (h'coinpositiou de la fonction A, en élénicnls

siiii|di's de la forme

Ai ■l'i.ifc, 3/, ) nu A/,*,., (s, 3/,).

Pour cela, il nous suffit d'énoncer le résultat suivant : si m est le nomhre fondamental tl'une décomposition quelconque en éléments simples, toutes l(;s fonctions qui s'expriment linéairement à l'aide de q éléments donnés peuvent être exprimées linéairement à l'aide de q — m d'entre elles.

Nous avons vu que les fonctions A qui admettent q infinis donnés

l)euvenl s'exprimer linéairement à l'aide de

2 <7 — i: X, — S |JL/ -+- n — 3

d'entre elles. Or, ces fonctions peuvent s'exprimer linéairement à l'aide des 2q éléments simples

*,.,(;, ;i), 'l'i ,(z, Zo), ..., *i.i(3, 3^),

'i'l.2(z,Zi), 't'i,i(Z,Z,), ..., •i'i,i(Z,Zq).

Donc, le nombre fondamental est éf^al à

Dans la théorie des fonctions fuclisieunes et des fonctions A(;) engendrées par ces transcendantes, le nondirc fondamental jouissait d'une proprit-té remarquable que je vais rappeler :

Soit 'l{h) le nombre fondamental relatif à la tiécomposition en éléments simples des fonctions de la forme

où I"' désigne une fonction rationnelle des deux fonctions fucbsiennes x et y. Soit '^(m) un nombre tel que les fonctions de la forme

(où F a la même signification que plus haut) qui ne deviennent pas infinies à l'intérieur du cercle fondamental, s'expriment linéairement à l'aide de o(m)

d'entre elles.

44i MËMOIRK SIR LES FONCTIONS ZETAFUCHSIENNES.

On iiviiil l'identUé

C'est de celle idenlilé que nous avons lire une conclusion imporlante, à savoir que loule Ijniclion de la forme (a) pouvail être représenlée parune série thétafuclisienne [de la tonne (4"). § I. Mémoire sur les fonctions fucltsienncs\. De même ici, soil

le nombre fondamenlal relatif à la décomposilion de A,.

Soit -sim) un nomlire tel que toutes les fonctions de la forme

^j (FZ, + F,Z;)

[forme (5) du paragraphe précédent] puissent s'exprimer linéairement à l'aide de o(ni) d'entre elles. On aura encore

Voyons si l'on pourra tirer de celle idenlilé la même conclusion que dans le paragraphe cité, c'esl-à-dire si l'on pourra démontrer que toutes les fondions de la forme (P) peuvenl s'exprimer par l'une des séries ^ du paragraphe précédent.

Supposons que toutes les séries q qui ne deviennent pas infinies à l'inlérieur du cercle fondamenlal et qui correspondent à un exposant m égal à /( + i puissent s'exprimer linéairement à l'aide de 9(7; + i) d'entre elles. On aura évidemment

(o) e(A + i) = tp(;! + i),

puisque toute série i est égale à une fonction de la forme ( ^). Si l'on a

toute fonction de la forme (3) |)oiirra réciproqu*inent s'exprimer par une série ;. H n'en serait plus de même si l'on avait

0 < ti.

Soient maintenant

q quantités quelconques, intérieures au cercle fondamental. Soient

A,, Ao, ..., A,/, B,, B, li„

2q quantités que nous assujettirons plus loin à diverses conditions.

Soient maintenant ^\{z) une sériel ne devenant pas inlinie à l'intérieur du cercle fondamental et ^i{z') sa conjuguée. Ces séries ^ sont engendrées par le groupe fuchsien ^ et par le groupe zétafuchsien G| corrélatif de- (î. Assujettissons les quantités A et B à la condition suivante :

+ B, i,(z, ) -+- B. Uz.) +...-+- B^ U{z^) = o.

Ecrivons cette même relalinn pour toutes les séries ; qui, restant finies à l'intérieur du cercle fondaïuenlal, corres[)ondent à un exposant m égal à /t + i . Nous aurons de la sorte assujetti les A et les B à 6(/i-i-i) conditions distinctes.

Posons alors

i \^{z) = ^ A/, 'l'|,,(.s, 3/,j-+-i: Vii.<\>i...{z,z,,), \ \,(z) = i: A/,'l', ,(j, zi,) + Z B/. *,.,(;, zi.).

Posons maintenant

*, ,(3i,, Zk)— (-^) [",*1.2(-3, -2A-)+ l','t>.,,(z,Zt)\ = r,2(3/),

en supposant que

a, bi

Ci lli

soit le tableau à douljlc entrée des coetiicients de la substitution S, correspondant à 5,. 11 est clair que •/!, ( :; ) et '^2(3) sont deux séries ; conjuguées ne devenant pas infinies à l'intérieur du cercle fondamental. Donc, en vertu des relations (s), on a

A,(;s,)= {^Y'' [a, X,{z) -^ bi X^iz)].

On en conclut que A| et Ao sont deux fonctions de la forme

A.= (g)""(FZ.-.F,Z',).

444 MKMOIRE SUR LES FONCTIONS ZÉTAFUCHSIENNES.

donl les identités (!J) nous doiinenl la décomposition en éléments simples. Or, les coefficients A et B de cette décomposition ne sont assujettis qu'à &(/( + i) Conditions. Ce nombre 9(/( + i) est donc an moins égal au nombre tbnda-

nuntal. ildù l'inégalité.

De la comparaison de cette inégalité avec (v) et (S) on déduit

6(A + i) = cp(/, +1).

Donc, toute expression de la l'orme (p) qui ne devient pas inlinic jjeut s'exprimer par une série Ç.

On en déduit aisément qu'il en est de même d'une expression de la forme ((3) qui devient infinie.

\)oi\c, loute Jo/iclioii zétafiichsienne est le quolieiil d'une série ^ par une série thé tafuchsienne .

Nous avons, il est vrai, pour 'fixer les idées, sup])osé que pz=2; mais la démonstration et le résultat subsistent quand yj est plus grand que 2.

■Vil. — Extension à la deuxième famille.

Tout ce qui précède ne s'applique encore qu'aux groupes fuchsiens de la première famille et aux groupes zétafuchsiens qui leursonl isomorpbes. 11 nous reste à étudier les fonctions zétafuciisiennes dont le groupe fuciisien ^' est de la seconde ou de la sixième famille.

Parmi ces fondions, nous distinguerons deux espèces:

La première espèce, dont nous nous occuperons d'abord, comprendra les fonctions dérivées d'un groupe zélafuchsien G jouissant des propriétés suivantes : le groupe fuchsien g" étant de la seconde ou de la sixième famille, son polygone générateur Ro aura des sommets sur le cercle fondamental. A cbacun de ces sommets correspond une substitution parabolique du groupe »■ qui admet ce somme! comme |)oinl double. Les substitutions ainsi définies sont les subsl iiutions paraboliques dugroupe g", les substitutions du groupe G qui leur correspondent en vertu de l'isomorpliisme s'appelleront substitutions critiques. Il ne faut pas confondre les substitutions critiques du groupe G et les substitutions fondamentales de ce même groupe. Les substitutions fondami'ulale.s de (Ir seront, dans ce ipii \a siii\rc. celles ipii coriespondent aux

MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS ZÉTAFUCHSIENNES. 44 î

siibslilulions de g- qui clianijeni un ccUé dp Ro on son ronjuguc ou à leurs inverses. Les substitutions critiques de G seront celles qui correspondent aux substitutions paraboliques de g- qui n'altèrent pas l'un des sommets de la seconde sorte de Ro ou à leurs inverses. Formons, pour cliacune de ces substitutions critiques, Irquation aux mnltiplicaleius (]\\q Ion obtient, comme on sait, en écrivant le tableau à double entrée des coefiicients, ajoutant — S à chacun des termes de la diagonale principale et égalant à zéro le déterminant ainsi obtenu. Si toutes les racines de ces équations relatives à toutes les substitutions critiques ont pour module l'unité, le groupe G et les fonctions zétatuchsiennes qui en dérivent seront de la première espèce. Soit

un système zétafuchsien et x=^f{z) une fonction fuchsienne ayant même groupe. Nous avons vu que Z,, considéré comme fonction de .ï, satisfait à une équation linéaire à cocflicienls algéi)riques. (hielles sont les conditions que doit rem|)lir cette équation pour que le système (i) soit de la première espèce ? Il Jaul et il suj/il (juc, si l'on envisage les différents points singuliers de cette équation, toutes les équations déterminantes correspondantes aient toutes leurs racines réelles.

La seconde espèce, dont il sera question au paragraphe snivani, comprend toutes les autres fonctions zétafuchsiennes.

Je dis que, si le groupe G est de la première espèce, les séries ç du paragraphe (3) seront absolument convergentes.

Considérons, en ellet, une substitution quelconcpie S du groupe G. INDus pourrons la mettre sous la forme suixante :

où les sidjstitulions S,, So- •••i -« sont choisies parmi les substitutions fondamentales ou les substitutions critiques et où les exposants a,, a^, ... sont des entiers positifs. Parmi les substitutions S,, So, ..., 2„. il y en aura en général un certain nombre que j'appellerai T,, Tj, . . , T^ qui seront des substitutions critiques et j'apj)ellerai p,, pj, ■•., ^^ leui-s exposants. J'appellerai v,, Vo, . .., 'fn-if les n — q exposants qui alTectent des substitutions fondamentales. Nous allons chercher, comme dans le paragraphe V, une limite supérieure des coefiicients de S, et pour cela nous envisagerons la somme des logarithmes des exposants jîl, Slogj3 et celle des exposants v, Sv. Soit d'abord M un nombre

plus grand que les modules des coefficients des substitutions fondamentales et de leurs inverses. Soit ensuite T une quelconque des substitutions critiques; nous pourrons toujours lu mettre sous lu forme suivante :

T=UVU ',

où V est une substitution canonique. J'appelle ainsi, à l'exemple de plusieurs géomètres, toute substitution de la foinie sui\ante :

(3) {li,Z,, . ..,7.,,: iii,'A,, iii,Z-,. . . ., iri,,7.p) ou bien, plus généralement,

(4) (Z,, Zo, . .., Z,,; ;h,Zi, »i,ï,-h HoZ,, /MjZa-l- n^Z,, .. ., ni/^Zp^ n^Z^-i),

où riq est nul, si m,/ est différent de w^|.

J'aurai donc à considérer à part les substitutions U et les substitutions V. Je supposerai que le nombre M, défini plus baut, est plus grand que les modules de tous les coefficients de U et de U~'.

Maintenant nous avons

TP=UVfilI-',

et il s'agit de trouver une limite supérieure des coefficients de VP. Si V est de la forme (3), tous les coefficients de VP ont pour modules o ou i . Si V est de la forme (4)i on pourra trouver un polynôme entier en ^ de degré p au plus, k coefficients positifs et qui sera plus grand que les modules de tous les coefficients de V'fi. Plus siuiplement, on pourra lou jours trouver un nombre M' assez grand pour que l'expression M'p/' soit plus grande que tous ces modules. Pour simplifier encore, nous supposerons M'=M, en prenant pour la valeur commune de ces deux nombres un nombre assez grand pour satisfaire à toutes les Conditions que nous leur avons imposi'es.

En appelant M| et Mo la limite supérieure des modules des coefficients de deux substitutions S( et So, les modules des coefficients de S| Sa seront plus

petits que

ysMiM.,.

Si donc on se reporte à l'expression (a) de la substitution S, on verra que ses coefficients sont tous plus petits que

(5) (/)M)SY-t-i7c/'Si"ep.

Cherchons maintenant une limite supérieure des deux exposants qui entrent

dans celte formule, à savoir 2y + 3<jr et S log [3. Soit zs le transformé du point ; par la substitution s du jjroupe g' qui correspond à S. Joif;nons : et zs par un arc de cercle orthof^onal au cercle fondamental, et soit R la L de cet arc de cercle. C'est en fonction de R que je veux exprimer les limites supérieures cherchées.

Considérons l'un quelconque des sommets du polygone Ro ou de Tua de ses transformés, et décrivons autour de ce sommet un petit cercle défini de la manière suivante : si ce sommet est de la première sorte et situé à l'intérieur du cercle fondamental, il devra être le centre de ce petit cercle au point de vue non euclidien. Si le sommet est de la seconde sorte et situé sur !(> corde fondamental, le petit cercle de\ra toucher le cercle fondainenlal en ce sommet même. Je puis toujours supposer que ces cercles ont été pris assez petits pour n'avoir aucun point commun. Il arrivera alors que la L d'un arc de courbe qui ira d'un point de l'un de ces cercles à un point d'un autre de ces petits cercles restera toujours supérieure à une certaine limite a. L'arc de cercle c, zs^ défini plus haut, traversera un certain nomlire de ces petits cercles et ce nombre ne pourra pas être supérieur à Y • Maintenant, si nous considérons un arc de courbe ne traversant aucun de nos petits cercles et joignant deux points appartenant à deux côtés dill'érents du polygone Rq ou d'un de ses transformés, la L de cet arc restera toujours sujtérieure à une certaine limite ia.

Voyons maintenant quelle est la signification géométrique des exposants [i et y qui entrent dans l'expression (5). L'arc ^, ss, en allant du point z au point zs^ traverse divers côtés appartenant au polygone R^o "" '• ses transformés. La sulistitution vS peut se mettre tl'une infinité de manières sous la l'orme (2). Nous avons d'ailleurs le droit de choisir, parmi ces différentes manières, celle qui nous convient le mieux; car chacune d'elles nous conduira à une limite supérieure des coefficients. Voici celle que nous adopterons : soient C|, Co, ..., Cj;, les in côtés du polygone Ro ; soit R, le polygone contigu à Ro le long de C,-; soient Si la substitution i.\\\ groupe g qui change Rq en R, et S, la substitution correspondante du groupe (j. Les substitutions S|, So, ..., Son seront les substitutions fondamentales du groupe G. Cela posé, supposons que l'arc ;;, zs., dont nous nous occupons, sorte du polygone Ro par exemple par le côté C^, puis du polygone suivant par le côté homologue à C^. et ainsi de suite jusqu'à l'avant-dernier polygone, d'où 11 sortira par le côté C^t^. Nous poserons alors

(6) S = Sa„Sa„, ...Sa, Sa,.

; J8 MKMOIRE SLR LES FONCTIONS ZETAFLCHSIENNES.

Mais ce ne sera pas encore là la forme tiëtinilive que nous adopterons pour S. Supposons, en elFet, que l'arc z, zs pénèlre dans l'un des pelits cercles relatifs à l'un des sommets de la seconde sorte et y franchisse un certain nombre de côtés appartenant à Ro el à ses transformés. Tous ces côtés iront alors forcéiiicnl aliDUl ir au sduiniel dr la si'condc sorte, où le petit cercle en (juestion louche le cercle fondamental et ils se succéderont périodiqueuient de la façon suivante : on rencontrera d'ahord un côté homologue à C> , puis un côté homolof^ue à C>^, etc., jusqu'à ce qu'on retombe sur un côté homologue à C>; on retrouvera ensuite un côté homologue à C>, et ainsi de suite dans le même ordre. Si nous réunissons ensemble les facteurs de l'expression ((3) qui correspondent aux côtés rencontrés à l'intérieur de ce petit cercle, ces facteurs pourront s'écrire de la manière suivante :

A est le nouibre de côtés compris dans une période et c'est précisément le nombre des sommets de Ro qui forment un même cycle parabolique; [i est le

nombre des périodes ; enlin

S>.„. Sa„,, • • • ■'>.)S>,|

est l'ensemble des facteurs de l'expression (6) qui forment un résidu n'entrant dans aucune période; leur nombre est plus petit que />. Mais

(Sx»S),^,...S>„S)„) = T

est une substitution critique, de sorte qu'on peut remplacer dans l'expression (()) l'ensemble des facteurs (-) par

S).,„S>,„.,...S>,S-.,Tf.

Quand on aura fait celle opération, l'expression (6) sera devenue l'expression (2) définitive et il n'y entrera, comuie on le voit, que des substitutions fondamentales et des substitutions critiques.

Maintenant Sy est le nombre des substitutions fondamentales entrant dans cette expressi(jn (2). Chacune tl"(dles correspond à une intersection de l'arc ;, ;.v avec un côté des transformés de Rq. (Quelques-unes de ces intersections auront lieu en dehors fies petits cercles el leur nombre ne pourra pas être plus grand

que — ; les autres auront lieu h l'intt'rieur des pelits cercles. Si Ton considère

d'abord les |)etits cercles relatifs à un sommet de la première sorte, (Ui reconnaîtra sans peine que le nombre des intersections possibles dans chacun d'eux

est limité. A l'intérieur des petits cercles relatifs aux sommets de la seconde sorte, le nombre des intersections pourrait au contraire être illimité ; niais un nombre limité d'entre elles seulement se rapportent à des substitutions fondamentales entrant dans l'expression (2) définitive. On a vu en efl'cl «[ue, dans cette expression, nous avons remplacé l'ensemble des facteurs (r) par le produit d'un nombre limité de substitutions fondamentales et d'une certaine puissance d'une substitution critique. Ainsi, on peut trouver une limite supérieure h du nombre des substitutions fondamentales entrant dans l'expression ('2) et relali\es à des intersections ayant lieu h l'inlérieur d'un petit cercle. Il en résulte que

QuanI au nombre r/, il est au plus égal au nombre des petits cercles traverses ; on a donc

Il laiit mainlenant trouver une limite supérieure de 2log[ï. Considérons un petit cercle quelconque relatif à un sommet A de la seconde sorte, et la substitution critique T correspontlante ; elle entrera à la puissance [i dans l'expression (2) définitive, et ce noud)re [î est au plus égal au nombre des interseci ions qui ont lieu à l'intérieur du petit cercle entre l'arc ;, :s et certains côtés qui vont tous converger au sommet \ et qui sont Ions homologues entre eux. Il est aisé de trouver une limite supérieure du nombre de ces intersections. Faisons passer par le sommet A deux cercles AB et AC orthogonaux au cercle fondamental, B et C étant par exemple sur le petit cercle coiisidén!. La L de l'ari- ne de ce petit cercle pourra s'apiielcr /'/■cur/ des deux cercl(>s AB et Ad. Suit AB, un côté appartenant à l'un des transformés de IIq et aboiilissant au point A; soient ABo letransloriiu' de AB) par la suiislitution paraludique <lii groupe »• qui a pour point double le point A ; AB3 le traustormij de ABo par cette même substitution, etc.; l'écart de deux de ces transformés consécutifs AB„, AB„,| sera une constante v. .Soient mainlenant B et D les deux extrémités de la portion de l'arc ;, ;.v qui est à l'intérieur du petit cercle. Le point B se trouvera sur la circonférence de ce petit cercle et il en sera de même de D, ii moins que D ne soit le point :s lui-même. Soient L, la L de l'are BD et N l'écart des cercles AB et AD; on aura

4io MEMOIRE SUR LES FONCTIONS ZETAFUCHSIENNES.

et trautre part.

le cas de l'égalilé se présentant lorsque les cercles z, zs et AD se coupent orthogonalement en D. On déduit de là

d'où

logp < L,— log2V.

On peut trouver une quantité /. , telle que, pour tous les petits cercles relatifs à un sommet de la seconde sorte,

— log2v<Ai; on aura alors

Slogp<R-t-A,g'<R('n-^

Telles sont les deux limites supérieures cherchées. On en déduit que les coefficieuls de la suhstitution S sont plus petits que

a étant une constante. C'est le résultat auquel nous étions parvenus dans le paragraphe V et d'où nous avions conclu la convergence des séries ^. Ces séries sont donc encore convergentes dans le cas qui nous occupe.

Ainsi, toutes les conclusions du paragraphe V subsistent ici. En est-il de même tic celles du ]iaragraphe VI et en particulier de l'identité suivante :

ay ■ ^{:

où Z, est une l'onction zétafuchsienne et / une l'onction l'uchsienne de ;, où les a sont les infinis du premier membre et les A les résidus correspondants ?

En d'autres termes, l'intégrale

prise le long d un contour coiiveiiai)leiiient choisi, tend-elle encore vers zéro lorsque ce contour se rapproche indéfiniment du cercle fondamental? Cela nesérail i''\ iilfiuiiicnl pas \rai si nous clioisissions l'expression sous le signe /

MÉMOIRE Sin LES FONCTIONS ZKTAFutlHSIENNES. 45l

d'une façon tout à t'ait quelconque. Nous lui imposerons la condition de s'annuler en tous les sommets de Rq situés sur le cercle fondamental; je veux dire qu'en tous ces sommets les p fonctions

du système considéré niiilti|ili(Mjs par .\'t-) s'annuleront en même

temps. Il existe évidemment une inlinité de systèmes zétafuchsiens engendrés par deux i^roiipes g et G donnés et satisfaisant à cette condition.

•le puis supposer éj;alemenl, mais cette fois pour simplifier seulement, que l'expression

ne devient pas infinie le long du périmètre de Ro, non plus, bien entendu, qu'aucune des expressions qu'on obtient en donnant à l'indice i l'une des valeurs i, 2, 3, . . ., p.

Cela posé, nous avons dit (jue l'expression (lo) devait s'annuler pour z =; a,- (si a, est un sommet de la seconde sorte), c'est-à-dire que son module devait tendre vers zéro quand z tend vers a,- en suivant l'un des côtés de Rq- Voyons comment celle expression tend vers zéro. Supprimons l'indice i du sommet a,et appelons-le simplement a pour abréger. Le module de a sera égal à i puisque ce sommet est sur le cercle fondamental.

Posons

|î étant un coefficient convenablement cboisi.

Nous avons vu que les fonctions fuchsiennes de ; sont, dans le voisinage de s = a, holomorpbes en e', et que les fonctions zétafucbsiennes sont de la tonne

où les <I> sont liolomorpbes en e' et où les P sont des polynômes entiers en t. D'ailleurs, il est aisé de voir que ^ est une quantité telle que, quand l'argument de z est le même que celui de a et son module plus petit, la valeur de / est réelle et négative; si donc ; tend vers a en suisant un des C()tés de Rq, e' tend vers zéro.

'tOÎ MEMOIRE SCB LES FONCTIONS ZETAFUCHSIENNES.

On il (railleurs

'1'' t'iant iiolomorplie en e'.

IJouc, rcxpressiou (^i I)) peiU se niellre sous lu forme d une somme de tei'mes de la forme suivante :

^VitVe'",

où B, iji el V sont des constantes. Pour que l'expression (lo) tende vers zéro, il f.uil el il suKii que loutes les constantes v aienl leur partie réelle positive.

Soit maintenant R la distance de l'orij^ine au point ;, comptée au point de \ lie non euclidien. Nous aurons

Supposons que l'argument de : soit le même que celui de a, on aura

Lorsque z tend vers a, l'expression

tend vers une limite finie • Il est aisé de voir qu'il en est encore de même

quand : tend vers a en siiivanl l'un des côtés de Rq- Il en résulte que l'expression

tendra \ers zéro, quel que soit m, cjuand ; tendra vers a en suivant les côtés de R,,. D'où cette conclusion : c'est qu'on peut trouver Un nombre M tel que

l'inégalité

I AKlNIfe^iî+e-^it+î)-''

subsiste tout le long du périmètre de R^o-

Considérons maintenant deux ])(iints transformés l'un de l'autre :; et ;s/ et appelons A et R leurs distances à l'origine évaluées au point de vue non euclidien. Soit ).o le plus grand module ties /) quantités

M point Z-. et soit A) le module de l'uii des A au point ;.s/. Cherelions une

î\oiisa\ons vu (pie les coeliicients de la subslllulion S, du groupe <i qui

limite supérieure du rapport ^-

correspond ù 5, étaient plus petits que

a étant une constante et L la dislance non euclidienne de ; à ;*",. Mais on n'a qu'à se reporter au mode de démonstration adopté pour voir que, dans cette expression, L peut tout aussi bien représenter la distance du point zsi à un point quelconque situé dans le même polygone que z. Si donc les points 9 et s sont tous deux dans le polygone Rq, les coefficients de S, seront tous plus pet its que

D'autre part, on a

df(zsi) f//(c:) e5'">+e~2R-,,

Ou déduit de là

itzsi dz e=''+e-"+2

Si le point z est sur le périnirlrc de Il(,, on a

Ào< M(e2*-(-e-"H- ■).)-/'.

On en déduit

i\ous pourrons écrire plus siiuj)!enient

)i,</>Me("-2'''"<.

Il reste à montrer maintenant que la longueur du contour d'intégration est finie. Nous supposerons que la portion du plan limitée par ce contour est Formée d'un certain nombre de polygones Iransl'ormés de Rq. Le contour sera donc formé d'un certain nombre de côtés de ces polygones, et il s'agit de faire voir que l'on peut choisir ces polygones de manière que le contoiii- se lapproclie indéfiniment du cercle fondamental et reste cependant de lungueuifinie.

Pour simplifier la démonstration, nous nous restreindrons aux groupes "■ de la deuxième famille, laissant de côté la sixième famille qui est beaucoup moins importante et pour laquelle d'ailleurs le résultat reste vrai.

Pour la deuxième famille, le polygone Ro et ses transformés ont tous leurs sommets sur le cercle fiuidaincnlal, et le contour d'intégration, quels (pie soient les polygones qui le tonnent, se compose toujours d'un certain nombre d'ares de cercles tangents deux à deux et orthogonaux au cercle fondamental. Il est

454 MÉMOIBE SUR I,ES FONCTIONS ZÉTAFUCHSIENNES.

aisé de \<iii- iilors que sa longueur reste toujours plus petite que Tt-. Supposons maintcri;ml (pu' Ion prenne pour contour d'intégration le périmètre de la portion (lu plan formée de tous les polygones transformés de Pio qui sont, en totalité on rii partie. Intérieurs au cercle K qui a pour centre l'origine et pour rayon K (^au point de \ue non euclidien). L'intégrale (y) est alors jihis ]ietite

que

TTÎ/jIMel^-î'')".

Si a/t est plus grand que a, elle tendra vers zéro quand R croîtra indéfiniment. C'est ce qu'il s'agissait de démontrer. On peut en conclure que l'identité (8), analogue à l'Identité (5) du paragraphe précédent, subsiste encoi-e dans le cas qui nous occupe. 11 en est de même des résultats que nous en avons déduits, et en particulier de la décomposition en éléments simples des expressions telles cjue A et tles fonctions zélafuchsiennes.

Le résumé du présent paragraphe, c'est qu'il n'y a aucune différence essentielle entre les fonctions zétafuclisiennes que nous venons d'appeler de la première espèce et les fonctions engendrées par les groupes fuchsiens de la première famille.