VIII. — Fonctions de la deuxième espèce

Dans ce qui précède nous avons supposé que les fonctions zétafuclisiennes étudiées étaient de la première espèce, c'est-à-dire que les substitutions critiques avaient des multiplicateurs du module i . Les mêmes résultats subsisteront-ils pour les fonctions de la deuxième espèce? Il est aisé de voir que non.

Reprenons en elTet, dans ce cas, la série ; du paragraphe \ . Je dis qu'elle sera divergente ou tout au moins qu'elle ne sera pas absolument convergente. En effet, ne conservons dans cette série qu'une partie des termes. Soit

une substitution parabolique Sj du groupe i;' et soit S,- la substitution critique correspondante du groupe G. Elle pourra [ou jours se meltre sous la forme

canonique

Ne conservons dans la série ? que les termes qui correspondent à la substi-

tution Si et à ses puissances positives et négatives. Ces termes s'écriront

OÙ H est le signe d'une fonction rationnelle et oii q prend toutes les valeurs entières positives et négatives.

J'i-crirai plus simplement

SMij/'cp(r/),

o(g) étant une fonclion rationnelle de q. Cette série est évideuimenl divergente.

Les résultats du paragrapiie \^ no sont donc plus vrais ici, et il en est de même de ceux du paragraphe NI, qui y sont d'ailleurs intimement liés.

Mais de ce que ces résultats ne pcu^ent être étendus sans modification à la deuxième espèce, il ne s'ensuit pas qu'ils ne peuvent être généralisés et c'est ce que nous allons chercher à faire.

Enonçons d'ahord les résultats partiels qui subsistent sans changement.

i" Les coefficients d'une substitution S, quelconque du groupe G sont plus petits que A*^, A étant une constante et a- l'exposant de la substitution S,. 2" Si l'on a

el que A,- s'annule ainsi <|uc ses p — i conjuguées en tous les souimets de la deuxième sorte de Rq, l'exjtression

où R désigne la distance non euclitlienne de ; à l'origine, tend vers zéro quand z tend vers l'un de ces sommets en suivant le périmètre de Rq-

3° Si de plus les Ane deviennent pas infinis le long du périmètre de Ro) on pourra trouver un nombre M tel que, le long de ce périmètre, on ait

I A|<M(e'-ii+e-2«+2)-".

4" Le périmètre d'une figure siuiplement connexe formée par un certain nombre de transformés de R,, est toujours plus petit que tz- (si nous nous restreignons à la deuxième famille, comme nous l'avons lait précédemment).

Il résulte de ce qui précède, el l'on peiit s'en assurer en se reportant au paragraphe précédent, que si ;; est un point du [)érimètre du translormi^ de Rq par

iîfi MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS ZÉTAFUCHSIENNES.

une siilistiliilion v, d'exposant t, on a en ce point z

I A|< A'Me-î''".

MainliMiiuil , \iiH[ le |)ii)hl('iiic (|n il laudrail cherclicr à résoudre : Trouver i/nc Jonclion l"(i) U'Ile que l'intégrale

\ (Iz

leiule l'ers zéro quand on la prend le lom; tl un contour ciinvenableinent choisi et se "rapprochant indé/iniment du cercle fondamental.

Voici le contour que nous choisirons : Considérons un cercle ayant pour centre l'origine et pour rayon p au point de vue non euclidien. Considérons l'ensemble des polygones transformés de Rq et (|ui sont partiellement intérieurs à ce cercle. Cet ensemble formera une ligure' siin[)leinent connexe dont le périuirtrc sera plus petit que -- et dont tous les points seront à une distance non euclidienne de l'origine plus grande que p. jNous ferons ensuite croître p indéfiniment.

Voyons quelles sont les conditions qu'il nous faut pour cela imposer à la fonction F :

i" l^orsque ; tend vers un sommet de la seconde sorte, en suivant le périmètre de Ro, F ne doit pas tendre vers zéro assez rapidement pour que

(e^i' + e-îK-l- 2)-

I F ne tende pas vers zéro.

2° Lorsque ; se trouve sur le périmètre du transformé de R,, par une substitution d'exposant t, son module doit être plus grand que

BC", B et C étant des existantes suffisamment grandes.

11 est sans doute possible de trouver une pareille fonction V. mais ce n'est pas ainsi que nous procé;derons ici. L'analogie avec la lliéorie des tacteurs iiiimaires de M. Weierstrass et avec le tbéoième de jM. AL Itag-Le filer \a nmi* conduire à la généralisation cbercbi'c.

Snil, eu elVet, /(.t) une lonction eut ière à di'eomposer en lacteui> primaires. Supputons, par e\cin|iii'. (prriic n'a ipic des z(''ros sim|)les (/,, tf^- ••■) "/m •••• Pour résoudre ce problème, on elierciie à décomposer en Iractions Miii|)les le

.MKMOIKE SLR LES FONCTIONS ZËTAFliCHSIENNES. 457

quotient

et l'on obtient ce résultat par la considération de l'intégrale

prise le long d'un cercle dont le centre esl l'origine et dont le rayon croit indéfiniment.

Supposons d'aburtl que l'on puisse trouxer un nondjre //* assez grand pour que cette intégrale tende vers zéro. On trouve alors

f{x) Z^a'lUx- ai) ^

P(x) étant un polynôme entier d'ordre m

Dans ce cas, la fonction f{x) est dite, comme on sail, de première espèce et de genre m.

Si au contraii-e on ne peut pas trouver de nombre m assez grand pour que l'intégrale tende vers zéro, on fera croître le nombre tn avec le rayon du cercle qui sert de contour d'intégration et l'on pourra toujours le faire croître assez vite pour que l'intégrale tende xers zéro. On trouve alors

=^2^7 — - = Iini > ■ — l-P(,r) .

Dans cette expression, le signe 2, '^ rapporte à l'enseinble des pointN^f situés à l'intérieur du cercle de rayon R, et \^(x) représente le polynôme formé

des //; premiers termes tlu déveloptieinent de . , ' suixanl les puissances de x.

Quand m et Pi croissent indéfiniment selon une certaine loi, le second membre

f'ix] tend vers une limite qui n'est autre chose que v^ — r- C'est de celte expression ^ 1 f(x) 1

qu'on peut déduire le développement de ~ sous forme de série :

f ^r\ xV-

jji étant un entier, qui croit indéfiniment avec le module de a, et G(,r) étant une transcendante entière.

La fonction entière / (a?) est alors de seconde espèce.

H. P. — II. .ss

4^8 MÉMOIRE SUU I.KS FONCTIONS ZÉTAFUCHSIENNES.

L'analogie avec le problème qui nous occupe est évidente. Les fonctions zëtafuchsiennes de première espèce, dont nous avons parlé dans les paragraphes précédents, sont analogues aux transcendantes entières de première espèce et l'on en obtient le développement et la décomposition en éléments simples en remarquant que l'intégrale

dz I z — X

tend \ ers zéro (jiianil le uombie /;/ est suHisammenl grand et que le contour d'intégration, d'ailleurs convenablement choisi, se rap|:>roche indédniment du cercle fondamental.

Si au contraiie 7j{z) est une fonction de seconde es]>ècc, on ne peut plus trouver un nondire tn assez grand pourqu'il en soitainsi. On est donc conduit, au lieu de conserver à l'exposant m une valeur constante, à le faire croître indéfiniment en iiiêine temps cjue le contour d'inlégralion se rapproche du cercle fondamental, et cela assez vite pour que l'intégrale tende vers zéro.

Cela est toujours possible. Il faut toutefois faire une hypothèse sur la fonction tuchsienney'(;) dont la dérivée -j^ entre sous le signe / dans l'intégrale précédente, il faut supposer que -j^ croisse indi'liniincnt quand ; tend vers un des sommets de R„ situé sur le cercle fondamental, en sui\aiit l'un des côtés de ce polygone. Il existe, en ell'et, une infinité de fonctions fuchsiennes admettant le groupe g et jouissant de cette jiropriété.

IMais nous pouvons généraliser un peu la forme de l'intégrale considérée en procédant dr la manière suivante : Soient / et /, les deux fonctiiuis fucbsicnnes à l'aide desquelles toutes les autres s'expriment rationnellement et soit F(.r,)') une fonction rationnelle de x et de )•, choisie de telle sorte que

tende vers zéro (piand ; ><■ rapproche indéfiniment d'un sommet de Rq situé sur le cercle fondamental.

Considérons alors l'inléerale

dz I z — X

prise le long du contour en\ isagc dans le paragraphe précédent et iiui limite la ])ortiou du plan lornu-e de tous les polygones transformés de Ho 'I"' *'^"' ""^

tout OU en partie intérieurs au cercle dont le centre est zéro et le rayon non euclidien R. Aous ferons croître ^ indéfiniment en même temps que ce contour se rapproche indéfiniment du cercle fondamental, c'est-à-dire en même temps que la quantité R croit elle-même au delà de toute limite.

Ou |>cut d'abord trouver deux nombres M et X tels que. Ir loiii; du périmètre de Ro. le module de Z,, sdil plu-, petit que

De plus nous pouvons troiuor deux nouibres posliifs N et a tels que, le lonii 'I" périmètre <ie Rj, le module de

soil plu> polit (jue

p étaiil l,\ dislance ikiu euclidienne des deux puiiils o et ;. Le module de la (piaulll('' SDUs le sii;ne / , en laissant de C(~>l(' le fadeur

dont le niddule est esseutielleiueiii lini, est plus petit que

le lonj; du périmètre de Rq.

Mais l'intégrale doit être ]>rise le loni; d'un (-oulour que nous avons défini plus haut, qui est formé de C(kés appartenant à divers transformés de Ro et qui est d'ailleurs tout entier extérieur au cercle de centre zéro et de rayon non euclidien R. Considérons un des côtés de ce contour appartenant à un polygone R^, transformé de R(, par une substitution s,. Soit zSj ce point; le point côrrespondaul du périmètre de Ro sei'a ;. Ninis conserverons la notation

et nous appellerons p et p' les distances non euclidiennes des points ; el ;.?,■ au

poinl zéro. Il \ ient alors

Le module de Z, au poiiil ;.ç,- est plus petit que le module de cette même

-Ifio MÉMOIRE SUR I,i;S FONCTIONS ZÉTAFIÎCHSIBNNES.

foiiilioii au [niiul z iiHilli|ilii; par A'', A ctanl une constante convenablement clioisiL' el c7 clanl IV'xjiosanl de la siilistitiition 5,. Quant à

son module se trouve mulliplié par

quand on passe du point ^ au point zsj. 11 résulte de là qu'au point zs/ le module de la fonction sous le sii;ne / est plus petit que

A^MNlJ- et''-»!^" ( e^?' -+- e-^P' -h 2 )"?■ (Ul (pic

Je puis d'aijord toujours supposer que N est plus petit que i. En effet, s'il n'en était pas ainsi, je remplacerais la fonction F, que jai choisie arbitrairement parmi les fonctions fuclisicnnes de groupe g., par la fonction jrj--

Si 'j. est suffisamment grand, le facteur ci'-»!^-!' g^j (■gaiement plus petit cjuc 1, de sorte (pi'il reste à considérer les deux facteurs

On \olt aisément que

p étant un nombre convenablement choisi; mais on peut faire croître a assez rapidement avec R pour que

tende vers — 00. Dans ces condition^, la quantilé sous le signe / tend vers zéro et, comme le périmètre d'intégration est fini, l'intégrale elle-même tend vers zéro. c. q. v. o.

Quelle conclusion ile\(iiis-noiis tirei' de là en ce qui concerne le développement de la fonction Z ?

i^a fonction

a, à riiUérieiir du c(uitour d'intégration, le caractère d'une fonction rationnelle. i\ûus |)ouiroiis donc trouver une fonction rationnelle Q(;) telle que la

MK.MOIRE SUR LES FONCTIONS ZÉTAFUCHSIENNES. 46l

différence

soit liolomorphe ;i rintérieiir fie ce coiiloiir. l'our achever de déLeriniaer la fonction rationnelle Q, nous supposerons que son numérateur est de def;ré inférieur à son dénominateur.

Dans ces conditions, la différence A tend vers zéro lorsque j-i et R croissent indéfiniment. C'est là la conséquence immédiate de ce que nous avons vu au sujet de l'intégrale.

Ou voit par là que la fonclioa Z peut, avec une approximation aussi grande que l'on veut, être mise sous la forme d'une fonclioii rai iounelle mul(i|)llé(" par une expression de la forme

F el J étant ileux fonctions fuchsicnnes.

C'est tout ce que j'ai pu liouvcr jusqu'ici couime extension aux Jonctions de deuxième espèce des propriétés que nous avons démontrées plus haut. Je ne doute pas qu'on ne puisse arriver un jour à une théorie plus complète.

En attendant, nous pouvons toujours exprimer une fonction zétafuchsienne f[uelconque, soit sous la lorme d'une >éric (irdonnéc >ui\aHl lo |Miissances de s, soit sous la forme du quotient île tieux pareilles séi'içs.

Soit d'abord, en l'H'ct, une équation linéaire

di'f d''v

les '.p^ élanl nitionnels el x cl )' étant lii's par la relalii>u

Ou pourra toujours renqdacer x et y par tieux Jonction^ lucli-ieiincs I {z) el /,{:■), (le la deuxième Jdinille . choisies de telh; M)rle (prellcs satisfassent à la relation

et qu'elles ne puissent piendre ;iucune des valeur^ qui correspondent aux points singuliers ni aux points à apparence singulière de l'équation précédente. Dans ces conditions, v sera une fonction zétafuchsienne de ; ne devenant pas infinie à l'intérieur du cercle fondamental et développahle par con-

i<ii MÉMOIRE SIR LES FONCTIONS ZÉTAFUCHSIENNES.

x'cjiienl en série suivanl les piiissiuices de ;. Les coetlicients se calculeiiL [lairécurrence.

Supposons niaintenanl que Z,(:;) soit une fonction zétafuclisienne admettant des inlinis à l'inlérieur du cercle fondanienlal ; elle ne pourra plus être développée en série ortionnée suivanl les puissances de ; et toujours convergente. Mais on pourra ((jujours trouver deux fonctions fuclisiennes f et F admettant le groupe g cl un nombre entier ///, tels que les deux, fonctions

dont le quotient est Z, restent finies à l'intérieur du cercle fondamental. Elles pourront alors être développées en séries suivant les puissances croissantes (le ;. (hiant aux coeflicienls, on pourra les calculer par récurrence, ainsi que Udus l'axons dit pliiN liaul .