II. On a, (juel rpie soit l'indice i

R, = RoK,, K,- étant une op('ration du groupe liyperhidlrptc.

Il est clair (|uc les différentes opérations K, forment un groupe discontinu contenu dans le groupe hyperbolique, c'est-à-dire un groupe fuclisien.

Problème 1. — Est-il possible d'effectuer cette décomposition de telle façon (jite l<t première de ces régions Rq soit un polygone curi,iligne donné?

Prenons un exemple particulier; envisageons deux triangles curvilignes ABC, BGD dont les côtés soient des arcs appartenant à des circonférences qui coupent orlliogonalemenl le cercle fondamental. Supposons rpie les angles eur\ ilignes de ces triangles soient égaux respectivement :

BAC et BDC à -, a

CBA et CBD à |,

BGA et BGD à -,

■/, Ti, Y étant des nombres entiers positifs (finis ou infinis), et tels que

Sl:ll LES FONCTIONS FUCIISIENNES. 3

On pourra décomposer la surface tlu cercle fondanienlal en une infinité de régions Rq, R|, . . . , R/, . . • satisfaisanl aux conditions I et II et de telle sorte que Ro soit précisément le quadrilatère ABGD. A ce mode de décomposition correspond un groupe fuclisien que j'appelle le groupe (a, j3, y).

Je résous ensuite le problème I dans le cas général et je montre comment on [icut former tous les groupes fuchsiens et en donner une classification rationnelle à deux points de vue différents.

Parmi les groupes fuclisicns, il en est qui méritent d'attirer (tarliculièremenl notre attention :

1° Le groupe (2,0,00), (jui est isomorphe air groupe des opérations qui

changent ; en — ^^ -.> a. h, c. d étant des entiers tels (lue ad — hc := i .

2" Certains groupes qui sont isomorphes aux groupes des substitutions linéaires à coefficients entiers, qui reproduisent une forme quadratl(jue ternaire indéfinie à coefficients entiers.

L'existence de ces groupes fait ressortir les liens intimes (jiii unissent la théorie des nombres à la (jiiestion analyti(pie qui nous occupe.

J'appelle Jonclion ihciaj uchsicnne toute fonction ©(-) uniforme en ;, et telle que (K,- étant une opération quelconque d'un groupe fuclisien) on ait

identiquement

, ,. , fdzKi\-"'

m étant un nombre entier |)ositif.

En d'autres termes, pour une infinité de \aleurs de a. b. <■ . d. telles que

ad — bc = i, lin aura itlcntiqiicment

/az -1- 6\ \cz -h d ) ~

Je démontre (ju'il existe une infinité de fonctions thétafuchsiennes définies par la série convergente

'dzKi\"'

m est un nombre entier plus grand que i ; K, est une opération quelconque d'un groupe fuclisien quelconque G; II(:;) est une fonction rationnelle de z.

4 SUR Li:S FONCTIONS F LXIISIENNKS.

Il peut se préscnlrr deux ciis : i" Tou< les jxiiuls du corclo fondainciitiil sont lIcs poiuls siiiiiuliors csseiiliols de (") (;); 11 v a alors eu réalili' deux foaelions distinctes : la première n'existe (|u'à linlérleur du ecrcle fondamental, la seeonde à l'exlérieur seulemenl, ear ou ne peut passer de l'une à l'aulre par coni inuiii- ; ■'," (■)(;) a une mliiilli' dr poials Mui;uliers essenluds sur le eerele fondanienlal . rii:iis re> poiiils siui;uli('rs siml is(d(''s, de soile cpie la lourlion existe daii'- inui le plan.

(lelte toiicliou l'^l loupiur^ riici'oinoi'plie, saul -.ur le eei'cli' tondauu'ntal ; I uiduiue le uioveu de ealeuler le nombre d<' ses zéros distincts et de ses infinis distincts.

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. !)2, p. 3yj-3r)S (21 février 1S81).

Le quolient de deux rnacliuas thétatuclisieiines correspondant à un même groupe fuclisien el à une niùme \aleur du noinhic entier //« est une f'onclion F(;) uniforme en ;, cl telle ([uc

C'est donc une fonction fuchsienne. d'après la définition donnée dans la Note précédente. En d'autres termes, on a iilentitpienient, pour une infinité de valeurs des constantes a. b, c, d.

Je démontre deux thécn-èines :

1" Entre deux fonctions fnclisienaes ayant même <^roupe et n'ayant d'autre point singulier essentiel que ceux qui sont une conséquence de leur définition, il y a une relation algébrique.

1° Toute fonction fuclisienne F(r) permet d'intégrer une équation linéaire à coefficients algébriques de la manière suivante. Si ion pose

j', et y,, satisjunt à l'équation différentielle o (a;) étant algébrique en x.

6 SIR I.KS lOM.TlONS FliCllSlKNNKS.

Soit, vn |i,irliculior, rt'ijiMl imi

où a, p, y sont des nombres entiers positifs Unis ou infinis, et tels (|uc

Si z est le r.ipport des intégrales, on a

/(:•) étant une l'onction fuclisiennc relative an groupe (a, [î, y).

Elle n'existe qu'à l'intérieur du cercle fondamental, et peut être regardée comme le quotient des deux fonctions tiiétafuchsiennes

i/i-)jn/(-)-'j'''

m. p et q sont des nombres cnlieis cpii satisfont aux inégalités, toujours compatibles.

Ces deux fonctions, (jui n'existent qu'à l'intériçur'cbi cercle fondamental, sont holomorphes à l'intérieur de ce cercle.

Sia=p = y = oo, r('(]uation ( i) se raïuène à l'iMpialicui (|ui détermine les périodes de sinaniT eu fonction (bi carié (bi module.

.Je ramène ensuite aux fonctions tliétafio lisiennes ces invariauls aritlimétiques que j'ai définis dans une Note (pic j'ai eu l'Iiimneur de présenter à l'Académie en novembre l'S"!)-

Soit J''"(;) une fonction fiiclisienne (juelconque; posons x = ¥{:■).

J'appelle système de fondions zétafuclisiennes tout système de fonctions 81(5), ^2{^)i ■ ■ ■ 1 S«(-) uniformes en z, et telles (pie le déterminant

rf=<.0,

dx^>

<rte*>

dX<^n

rf«.Û,

rf»..e.

dxO->

dx^>

dX^:.

dx^< dx^<

dx'^''

Sun LES FONCTIONS FtICIISIENNES. 7

S(iit une fonction fiiclisiennc de ;, quels que soient les entiers a, , a^, ..., a„.

Il est clair que 9,, 83, ... , 0,, satisferont à une cqiuilion difFérentielle linéaire dont les coefficients seront alf;él)ri(jues en x.

Je démontre f[ue l'on peut former une infinité de fonctions zétafuchsiennes dont je donne diverses ex|)ressions jiar des séries, et qui permettent d'intégrer une infiuiti- d'i'cpiatlons difierenlielles, entre autres toutes les équations diJJ'éventielles linéaires à coefficients rationnels (jui ne présentent que deux points singuliers à dislance finie et un à l'infini.

Donnons une application particulière.

Soient K et K' les périodes fl'une fonction elliptique, 10 le carré de son module.

Soit » un algorithme tel que

Soit une équation difTércnlielle linéaire à coefficients rationnels ayant pour

points singuliers

r = o, X = I, r = oc.

Posons T=3o(;), et soient 0, (;), 62(;), . . . , 0„(j) les intégrales de l'équation proposée :

«(;) sera une fonction fuclisienne, 6|, 9^' •••• 9« ''es fonctions zétafuchsiennes.

Ces fonctions n'existeront qu'à l'intérieur du cercle fondamental.

Elles seront holomorphes à l'intérieur de ce cercle et, par conséquent, pourront toujours être représentées par des séries entières dont les coefficients sont aisés à calculer.

En résumé, il existe une classe très étendue de fonctions dont les fonctions elliptiques ne sont qu'un cas particulier. Elles permettent d'intégrer un grand nombre d'équations différentielles. Différentes propriétés font ressortir leur analogie avec les transcendantes elliptiques et celle des fonctions thétafuclisiennes et zétafuchsiennes avec les fonctions 0 et Z.