QUELQUES PROPRIÉTÉS IMPORTANTES

FONCTIONS FUCHSIENNES

Ccimples rendus de l'Aeadëmie des Sciences, t. il?, p. Sjg-Sfii (4 avril i8Si).

Considérons un !;rouj)c: l'uclisicn G quelconque et les didérenles fondions fiichsienncs qui correspondent à ce f;roupc. Je suppose que G soit tel que toutes ces fonctions fuclisiennes n'existent qu'à l'intérieur du cercle fondanienliil. Toutes ces toncti<jns fuclisiennes seront lié(;s par des équations ali;él)ri(pies et sciiinl Ion cl ions la lion ne lies de deux d'entre idies, ipu: j'appellerai x et j', et entre lesipiellcs il \ iiuia une relation ali;éliiiqiic

Cl) /(^,y) = o.

Si l'un pose

(;; étant rari;uinciit des fondions fuclisiennes), t, et (^ seront les intégrales d'une ér|uatioii liiii'aire

» étant rationnel en x cl y.

Envisageons une intégrale alx'liennc fie première espèce

NOUVELLE APPLICATION ET QUELQUES PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS FUCHSIENNES. 9

Remplaçons-y x et y par leurs valeurs en fonction de^; « deviendra holoinorphe en :; et jiourra, par conséquent, être représenté à l'intérieur du cercle fondamental par une série ordonnée suivant les puissances de z. L'emploi des fonctions fuchsiennes nous donne donc l'intégrale u sous la forme suivante :

9,, ôo' ^3 <-'t;>ut des séries ordonnées suivant les puissances de ; et toujours convergentes.

Quand z subit une opération quelconque du groupe G, le point (x, y) décrit un cycle, et, par conséquent, u augmente d'une période. Considérons le groupe des opérations qui consistent à augmenter u d'une période. Ce groupe, d'après ce qui précède, d<nra être isomorphe au groupe G.

Si. par conséquen t , le groupe G est dérive de moins de 2 p -h 2 opérations , l'intégrale u ne pourra avoir 2/? +2 périodes distinctes, et. par conséquent, la relation (i) sera au plus du genre p.

Cette limite peut, le plus souvent, être abaissée, car, pour que l'isomorpliisme dont j'ai parlé plus haut puisse avoir lieu, 11 faut, dans certains cas, qu'il y ait entre les périodes de u certaines relations linéaires, de sorte (jue ces périodes cessent d'être distinctes.

C'est ainsi (jue la relation (i) peut être du genre zéro, bien que le groupe G soit dérivé d'un nombre quelconque d'opérations.

Par conséquent, les fonctions fuchsiennes permettent d'intégrer une inlinilé d'équations telles que (2), où o est rationnel en x, et non plus seulement en X et en >-, bien que ces équations présentent un nombre quelconque de points singuliers.

Ainsi, si a, b, c et les coefficients sont convenablement choisis, si la difié-

rence des racines des équations déterminantes relatives à chacun des points

singuliers

est une partie aliquole de l'unité, l'équation

d\y TA. A' B B' C C

rfa:î '^

\{x — a)' r — a (x—b)^ x — b (r — c)' x — cj

est intégrable à l'aide des fonctions fuchsiennes.

Je citerai aussi, parmi les équations inlégrables à l'aide des fonctions fuchsiennes, certaines équations à coefficients doublement périodiques. H. P. - II. 2

lO NOl'VELI.E APPLICATION ET QUELQUES PROPIIIÉTÉS DICS FONCTIONS FUCIISIENNES.

M. Picard a démontré que ces ('(iiMiiDus s'iniéjçraienl par les fondions elliptiques toutes les fois qu'il n'y a d'autre point singulier que des |)àles. Elles s'intégreront par les fonctions fuchsiennes et zélafuchsiennes s'il n'y a que des pôles et un i)oint critique algébrique. Elles s'intégreront aussi à certaines condil i()u> ([iiaud mèuie il y aur.iil plus d'iiii point crllifiuc algébrique.

Nous avons trouvé plus liaul iiuc I nui le sii|){riciir(' du genre de la relation (i). I3'aulres considérations fournissent une liiiiitc inférieure. Dans tous les e\ein|)les que j'ai eu l'occasion d'étudier juscpi'ici, ces deux limites coïncident, de sorte que l'on connaît exactement le geiiic de la relation (i). Tout ce qui précède, je le répèle, ne s'applique qu'à (elles des fonctions fuchsiennes qui u'ex-isieut uu à l'intérieur du cercle fondaiiiculal.

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Comptes rendus de l'Académie dex Sciencex. i. '.]2, p. 957 (iS avril rSSr)

J'ai cluilié t'ii [liirl irulicr les toiiil liiii> tuclislcMiues y (;) tell('> nue, si l'on pose

Y\ et Tj satisfassent à une é(|iialion de la forme

C9 elanl rationnel en x.

J'ai reconnu : 1" que les points singuliers de l'équation (i) qui sont les

infinis de v>{x) sont tous réels; 2" que l'on peut choisir y (;) de telle façon que ces infinis de ^{x) soient aussi nombreux que l'on veut, et aient telles valeurs réelles que l'on veut.

En introduisant les fonctions zétafuchsiennes qui correspondent à ces fonctions f{:-). on intègre toutes les équations linéaires à coefficients rationnels dont tous les points sini;uliers sont réels.

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 9Î, p. 1198-1200 (23 mai 1881).

Parmi les l'ourlions tuclisiennes, il cii est qui jouissent de certaines propriétés spéciales sur lesquelles je désire attirer l'attention.

Soit un plan dont les dillerents points représentent la variable imaginaire 3, et, dans ce i)lan, le cercle fondamental dont le centre est l'origine et le rayon l'unité.

On pourra tracer dans ce plan l'axe des quantités réelles Ox et une série de cercles C,, Cj, ..., C„, définis de la manière suivante :

1" Ils coupent tous le cercle fondamental orlhogonalcmcnt. 2° Le cercle C| coupe Ox en a, et p, sous un angle — • 3" Le cercle C,- coupe le cercle G,,, en a,- et p,- sous un angle X,. /^" Le cercle C„ coupe Ox en a,,^, et j3„^, sous un angle -^■

Je suppose que cliacun des angles )>,, \.,, ..., )>„+, est une partie ali(piote de 2- et que

(1) Xi-l-îXj-t-lXj-r-. ..-H2>.„-t-X„ + ,<'27:(n — I).

Grâce à l'inégalité (ij, il est toujours possible de tracer la figure que nous venons de définir.

SUR LES FONCTIONS Fl'CHSIENNES. l3

Cela posé, définissons n + i fonctions de z, j,, z^, ■■■■, Zn+\ par les équations suivantes :

■ fi/H I

D'après la théorie générale des fonctions fuclisiennes, exposée dans un Mémoire que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie dans la séance du i/\ février 1881, il existera une infinité de fonctions F(^), uniformes en 5, n'exisiiuit qu'à rint(''i'ieur du cercle fondamculal, niéromorphes à l'intérieur de ce cercle et jouissant de la propriété suivante :

Entre deux quelconques de ces fonctions, {Wxci. fonctiotis fuclisiennes^ il y a une relation algébrique. Si, de plus, on pose

on aura {■^■) -^=yo(x),

C5 étant algébrique en x. de sorte que la fonction F(;) permettra d'intégrer l'équation (2).

Quel sera le genre de la relation alg(''l)ri(pie qui existe entre deux fonctions fuchsiennes cpielconqucs ?

Soient u et v deux de ces foncli(jns et

la relation qui les unit ; soit enfin

/ ^(u,v)du = G(3)

une intégrale abéliennc de première espèce dérivée de la relation (3). (j{z) n'existera qu'à l'Intérieur du cercle fondamental et sera holomorphe à l'intérieur de ce cercle. On démontre que toutes les périodes doivent être nulles ; la relation (3) est donc du genre o et toutes les fonctions fuchsiennes peuvent

'4- SUR LES FONCTIONS Fl'CHSIRNNES.

s'exprimer ratioimrlloiiioiil par l'une d'entre elles. Nous ;uliè\er(ins île diMiiiir F(:;) par les eouditions suivantes :

i" F(;^ sera l'une des fonctions fuelisienncs à l'aide desquelles toutes les autres s'expriment rationnellement.