ILS = II. S

c'csl-à-dire

H..ss'-i= n.

En elTet, les substitut i<ins fuchsiennes s et s' qui correspondent respecti- ^eulenl ii S et .S' changent toutes deux le point y' — i dans le point P. Donc la siilistitution \,s' ' n'altérera pas le point y/ — i .

On en conclura que les valeurs des quatre quantités a, ^. "'■ ^' 1"' corrcs- II. p. — II. Go

474 LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'aBITHMÉTIQUE.

pondent à ss'~', ou ce qui revient au même k SS'~', sont

a = coso, (i = sintf), ■(■ = — sintp, S = costp,

o étant un angle qiiclconnue ; d'où Ion déduira sans peine que la substi

lution $S'~' s'écrit

2 costp sin Ci

cos-o

— •! cosç sin cp

COS'^tp

— ces !o sinip sin- cp

siu-tf COStp sinœ

et, par conséquent, qu'elle n'altère pas H.

A chaque point du demi-plan correspond donc une seule forme H. S, par conséquent une seule forme <PS. Connaissant la forme définie HSt, on connaîtra la sul)>l itution rétluclrice ï cpii fait partie du groupe G et réduit HSt par rapport à (j.

A chaque point du tiemi-plan correspondra de la sorte une suLstitution réductrice et une seule. Nous pourrons donc subdiviser ce demi-plan en une infinité de régions, telles que, pour les points d'une niènie région, la substitution réductrice soit la même.

Ce mode de représentation géomélrique est analogue, mais non identique à celui qu'a employé M. Selling.

Nous avons vu que, dans certains cas, bien qu'il y ait une infinité de substitutions réductrices, il n'y avait qu'un nombre fini de réduites. Qu'arrive-t-il alors? Soient /i,/2, .■■./„ nos /( réduites. Nous avons subdivisé le plan en une infinité de régi(jns qui correspondent aux difïérentes substitutions réductrices. Soient /id, t'm '12, ■ • •) 'in • • • nne infinité de ces régions correspondant à la réduite y,, elles seront les transformées les unes des autres par les diverses substitutions du groupe fuchsien rclatifà F et à G. Soient de même 7"o„, /'j,, ..., /'a/, ... les régions qui correspondent à la réduite/2, — Soient enfin rnoi f'm^ ■■■ les régions qui correspondent à la réduite/,,.

Nous pourrons toujours sujiposer qu'on a choisi les indices de telle sorte que r-,/-. . . ., /•„, soient les transformées de /'201 •••i ' «u par la même substitution qui change /•)„ en r,i.

Cela

i pose, réunissons r,„, /j,,.

/■„„ on une région unique Ro et de

même /■,,. r.,i, — /„, en une région unique R,-. IjCS diverses régions R,- seront le> iriinsforiiK'cs les unes des aiilro par les diverses siibslilutions du grou[)C

lucliMcii 1 riiil il il \' (>\ il ( i .

Il -ii.iii ai^<■ de ramener ces régions Rq. .... R,, . .. à des polygones curvilignes,