F'= FT'= FUT=F'T'-'UT

de telle façon que T'~' UT' appartiendra au premier sous-groupe g' .

Le groupe inalti-ranl transformé de F sera le transformé de .i?par t~', ce sera donc

De même, le gioupc inallérani iransformt' de F' = $': T' sera

tT'^'T'-'t-i.

Mais nous venons de voir cjue

Il vient donc

•:T'^'T'-1t:-i = T.cT-i,

de sorte cjne les deux groupes inallérants tiansforinés se confondent. Les deux groupes fuchsiens se confondront donc également.

En particulier, si G est le groupe aritliméticjue, le groupe fuschien de F = <I>t par rapport à un groupe conimensurable à G sera commensurableavecle groupe fuchsien principal de F = «Pt.

Si T' est une siilistitution à coefficients entiers, les deux formes équivalentes F =z $-: et F' = <Ï>tT' auront même groiqie fuchsien principal.

Lemme IV. — Si G et (•' sntit deux groupes comniensural)/es, et si S est une substitution de G' , une des puissances entii-res de Sid'exposant di Jjérent de it) fera partie de G.

.Soit, en effet, g le groupe commun de G et G'; soit n l'indice du sous-groupe g par rapport à G'; cet indice est fini par hypothèse.

Si alors on prend an hasard ;/, -|- i substitutions dans G' (parmi lesquelles on peut toujours supposer que l'on comprend la substitution identique ij, on

LES FONCTIONS FUCIISIENNES HT I.' MllTIISIÉTIQUK. 47 7

pouiTa tdujoiirs inuncr parmi elli's deux subslitulions S, et S/,, lelles L[ue

appartienne à X' eti P<ii' conséquenl. à (i. Prenons, par exemjile.

S»=i, S, SS S3, ..., S",

qui tiintes (uni partie tlii t^roupe G'; soient alors

Alors

fera partie de ( j. | • <i- i • o.

Nous allons étudier maintenant quelipies-uns des soiis-;;roupes du groupe

aiitliiiK'l iqiie. Ce groupe e-'t formé, d'après sa dédinit lou. de toutes les sul)--]!-

tutions

ii bn /)3

fi <;'2 ''3

diint les ei)elliiient> ^out l'ntier^, el le deli-ruiinaiil égal à i.

Pour délinir un sous-groupe du gir)U|ie aiitliuiétique, il tant done assujell ir les coeflleients enlu'is tt. h, r :i de niuivelies conditions.

Je distinguerai les snas-groupes n congriiences où les neuf coeflicients «, b, c sont assujettis à satisfaire à certaines congruences suivant un certain module <j jii'emier ou cumposé.

LEMirF: \ . — fn sous-groupe à congruences est toujours un sous-groupe d'indice fini du groupe arillinu-lique.

Soit, en eUet, g' un s(uis-groupe d('lini par les /, congruences

(i) Pi^ P., = ...= P/,= o (modq),

où les P sont des polynonif's entiers par rapport aux «, />, c. Les congruences (\) devront être satisfaites si Ion fait