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(mod^r ),
47*» 'lîS FONCTIONS FUCHSIENNES KT l'aIUTHMÉTIQUE.
fl. on flirt, la Miiislil iitioii iJcnlKiiie
ileviii faire partie de g.
Le sous-i;n)iipc i,'', (iélini par les congruences (a), sera donc un sous-groupe du groupe g qui est lui-même un sous-groupe du groupe arithmétique.
Il est évident que g' sera un sous-groupe d'indice fini du groupe arithmétique; car cet indice sera certainement plus petit cjue </'■' {\\. se réduira à q'^ si </ est premier), puisque chacun des neuf coefficients a, h, c peut prendre (/ valeurs incongrues par rapport au module q.
Donc a fiiii i(i)i g i^eiw un sous-groupe d'indice fini du groupe arithmélic|ue.
Considérons maintenant une transformation T' à coefficients entiers, mais dont le déterminant soit égal à un entier A plus grand que i .
Soient G le groupe arithmétique. G' son transforme' par ï', g le groupe Commun à G et à G'; je dis que g sera un sous-groupe à congruences.
Soit, en efl'et,
Cl Ci C'3
une substitution à coefficients entiers faisant partie de G
a, aj
Tl "2 "3
la substitution définie plus haut.
La lr,insformée de .S par T' s'écrira
T'->ST'
A Pi
Pe
Ps
les P étant des polynômes entiers homogènes et du premier degré par rapport aux a, b et c, et dont les coefficients dépendent des a, p et y.
Pour que cette substitution fasse j^artie de », il faut et il suffit que ses
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET L'ARITHMÉTIQUE. 479
coefficients soient entiers, ce qui s'expiùme par les neuf congruences
P,'^o (mo(lA).
Cela montre que :,' est un sous-groupe à congruences; d'où Ton déduit aisément le lemme suivant :
Lemme V[. — ■ Le groupe arithméUque est. coinineiisiirable avec son transformé par une substitution à coefficients entiers de déterminant plus grand que 1 .
Ou, ce qui revient au même :
Le groupe arithmétique est commensurable avec son transformé par une substitution à coefficients fractionnaires .
Soit maintenant T' une substitution à coefficients fractionnaires; je dirai que la forme F est commensurable avec sa transformée FT' par la sidjstitution T'.
Lemme VII. — Considérons deux formes commensurables F et FT'; le groupe fuc/isien principal de F = <I>t sera commensurable avec le groupe fuchsien principal de FT' = <I>tT'.
En effet, le gi-oupe arillimétique est commensurable avec le grDupcG qui est son transformé par T'~'.
Soit ^'' le sous-groupe inaltérant de ( r par rapport à F; il sera commensurable avec le groupe principal de F.
D'autre part, le groupe principal de FT' sera le liansformé de g' par T'.
Le groupe transformé principal de F := <1>t scr.i le Iransfurmé par t ' tlu groiq)c principal de F; le groupe transformé principal de FT'=<I>tT' sera le transformé par (tT')"' =T'"''-r^' du groupe principal de FT', et, par conséquent, le transformé par t^' du groupe g.
^)v g et le groupe principal de F sont commensurables.
Donc les groupes transformés principaux de F := tp-c et de Fr'=; 'I>t T' le sont également.
Donc les groupes fuchsleus principaux de F = »I>t et de FT'='I*-T' sont commensurables. c. o. f. d.
'\So LES l'ONCrrONS FUCHSIENNES et l.'ARITiniÉTlQlIE.
