IV. Substitutions fractionnaires

On peiil se |)io|)iis('r de l'rcliciclicr (|ucll("~ -Miiit 1rs stihsliliil ioiis à rocHicu'iits Ir.iclidniiiUTi's (jui n'alliTciil pas une loriiie I* à CDeHiciciils entiers, du, en (I aiilrfs k'rnifs, quelles soiil les Ir.inslnrriiiil kids scuilihiliies Ir.icl icuinaires ije I" . Il esl alsi' ;le pri'voir, d'ailleurs, i|ue li' i;riiu|i(' lornii' |iai' ces tfaiistormal ions ne seia pas un i;ronpe discontinu.

On voit aussi iinmédiatemont que des substlliitions sendilahles iraclionnaire> de [■ (in punira d('duire les substitutions semblables tract ionna ires d'une t'ornie F'= KT eonuiiensurable a\ee K. En ellcl, les dernières seront les transformées des premières par la tr.insloniuil ina T.

Soit doue à U'iiuNer le> subsl itutions seiiildaliles Iractionnaires (Je la loinie

F = A j-^+ X'y-'+' A"^''-+- ■?.Bxz -+- ?,H'r; + 2 V.\ry. On a

V(A.\'— B"2)F = (AA'— B'2)(A,r-+-B'>--h IJ';)^

+ [( AA'-IS"2)^ + (AB-B"B');:]î-H AA-%

A désignanl le diseriiniiianl de I', de lidie sorte (pu' la lorme 1" est,it un lacteiir conslanl près. eoiniiÈensuralile a\cc

F'= (AA'— B"2|:;-2+jî-t- AA3-2.

\(jus somnu's doue r.iiiieiK's à (''liidiei- les suh^l il ni mus M'iiildables iracl lonniiires des lormcs tidies (pie

A.r^H- Bj^+ Cz'-,

ou pliilol. puis(pir nous a\oiis allaiie à une loiiiie ludèlinie, et si nous \(uilons liicllic les sii;iu's (;u (■\ideiiee,

A.r2+ Bj2— CzK

\(nis alliuis d'aliord luiiis poser le priibl(''iiie sui\aiil :

(JuuLLcs so/il les sahsiiliil iij/is J racliuiutaires qui n'allricnt ni z ni

Il 1.1 II I alors Iroin er (piaire nombres Ira cl k mi lia 1res a, jï, y, ô, tels (|iie \{'j.x + [iy)'^+ B(y.'--+- 0,))^= A.r2-i- lî, 2.

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET L ARITHMETIQUE

Aous mettrons les quatre nombres a. [ï, v, o sous la forme

X{, pi , -', , 0| , s étant entiers ou fractionnaires, nous pourrons toujours sujjposer que a, . y, et z sont entiers ; on aura alors

a, S, — piYi =ï% Aa? ^Byl = Ae', Aa,p, -r- ByiSi =0, \fJ"i +Bo| = B£2.

Supposons que l'on ail trouvé trois entiers a,, •', et z satisfaisant à

Aaf^-BY■i = A£^

il suffira de prendre

pour satisfaire aux trois autres équations. Il reste donc à résoudre l'équation

ByÎ= A(t-a,;(,s + a,).

Nous multiplierons donc H par un carré quelconque yj, mais de telle façon que Byj soit divisible par A, et de plus soit impair ou divisible par 4 (ainsi, si B est un multiple de 4 + 2, v, devra être pair; si A=:A,A^, A| n'étant divisible par aucun carré, y, devra être divisible par A, Ao).

Il sera facile ensuite de décomposer ——■ en deux facteurs tous deux pairs ou tous deux inq)airs, z — a, et î + «i, et d'en déduire, pour z et a,, deux valeurs entières.

Tel est donc le moyen de lornier les substitutions semblables fractionnaires de la forme binaire

Pour les étudier plus complètement, nous supposerons A = 1 . Cette hypothèse e&t toujours permise; car si l'on avait A > i, on multiplierait la forme par A, et l'on changerait ensuite de variable en posant \.x = j;'.

Considérons notre substitution fractionnaire

jSi LES FONCTIONS FUCHSIENNES li T ^ARITHMÉTIQUE.

et la siihslilutidii t'iitlisicnne correspondanle. Cette dernière sera évidemment 11 111 ■ Mil)>litiilioii tllipiique qui n'allércra pas un certain point du ]ilan. Ce point, (jue j'appelle 1', se détermine aisément, et l'on trouve qu'il est le même pour toutes les sulisl il ni ions fractionnaires de notre tonne

Pour délinir une sulistilulion fiiclisieaiic elliptique, il tant se donner non seulement le point V qui n'est pas altéré jiar cette substitution, mais encore l'angle de rotation ».

Ici nous avons

d'où l'on déduit Nous aurons alors

ces - ts = a = — , 1 ' e

■ ' ïi V' sin — ta = ! — —

Nous devons supposer que a,, y, et s sont premiers entre eux, et })ar conséquent que a, et y, sont premiers entre eu\. Les deux nombres complexes

« 1 -+- Yi /— B et a, — Yi / — ^

seront alors aussi premiers entre eux, et l'on aura

e = MN, a, + yi /— B= MS a, — 7, /— B = NS

Met N étant deux nombres complexes existants ou idéaux, conjugués entre eux et de plus premiers entre eux.

Cela posé, cherclions d'abord si es peut être commensurable avec 2-. Si cela était, on trouverait un nombre entier m tel que

(a, + Y, v/^rB)"' = e"' ou que

M et N étant premiers entre eux, cette égalité est impossible. Il n'y aurait exception que si s était égal à 1 et que a, — y, y — B fVil une unité complexe. Mais il faut faire attention au sens que l'on doit atlaclier ii ee mol. Pour que la théorie des nombies e(iiiii)lexps idéaux soit applicable, il faut prendre pour base du système \^: — B, si H- B (que d'ailleurs nous supposerons n'être divisible par aucun carré) est multiple de 4 plus 2 ou plus 1 ; il faut prendre, au con-

traire.

LES FONCTIONS FIKIISIENNES RT I, ARIT11MI;T1I,1I!K.

si B est imiltlque de i yiUis ?>. Dans ce dernier cas,

est considéré comme un entier complexe si a+3 est pair (voir Dedekind, Theoriedes nombres t'ulieisal^-t'britjties, p. (ji . Paris, riaulhier-Villars, 11^77). Alors on a, comme vmités complexes,

On doit donc conclure de celle discussion que lan^lccsne |)cul être comniensurable avec y.— que s'il esl ('Kal à -, à ±: -j à ± ^ ou à dz ^:^ •

On \oit, de plus, que les substitutions fractionnaires qui reproduisent à la

fois les deux formes

z et x^^-B^'

correspondent aux di\ers entiers complexes formés avec y — B, et que leur théorie dépend intimement de celle de ces nombres complexes et des idéaux correspondants.

Voilà donc une pi-emière catéf;orie de suijstitutions fractionnaires n'altérant pas la forme

Une autre catégorie se composera des substitutions qui n'altèrent ni >', ni x'^ — Cz- (sans parler d'une autre catégorie cjui sera formée de même des substitutions qui n'altèrent ni x, ni Bj'- — C;;-). Ces substitutions correspondront aux nombres complexes formés avec yC comme celles de la première catégorie correspondaient aux nomijres complexes formés avec y — B. Mais l'analogie de ces trois catégories de substitutions fractionnaires esl trop évidente pour qu'il soit nécessaire d'insister.

Je dis maintenant que toute substitution fractionnaire peut toujours être ramenée à celles que nous venons d'étudier.

Soit, en elTet,

484 LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET I.ARITHMKTIOUE.

une substitution fractionnaire quelconque qui n'altère pas une certaine forme quadratique F à coefficients entiers ou commcnsurables. Je supposerai, de plus, que celle substitution est droite au sens donné à ce mot dans le premier paragraphe de ce Mémoire.

On pourra trouver alors une forme linéaire

à coefficients entiers, qui ne sera pas altérée par la substitution. On pourra ensuite trouver encore deux formes linéaires

5^3^ + Psr + Taà coefficients entiei's, et telles que l'on puisse écrire

F= A,(aia-+[3,^r + Ti-2)' -i- K2(a,x -h ^iX -h -^îzT-

A,, Aj et A3 étant des quantités commensurables positives ou négatives. ElTectuons maintenant un changement linéaire de variables en faisant

a-' = «137 4- PijK + -Ci-=i c'= c(3 3^-f- 83JK-+- -,'33:

il viendra

F = A,.r'2-f- A2j'2+ Ajô's,

(le (elle sorte que, si l'on appelle T la substitution linéaire

1 h Yi

on aiu'a

La substitution

.1 Ps 73 FT-' = A,x2-+- Aoj/2-+- A3

TST-i

sera fractionnaire et n'altérera pas FT '. Mais il y a plus. eUe n'altérera pas z, ni par conséquent

\l.T--h Ao^)-2.

-Nous sommes donc l'amenés au cas précédent.

Il conviendrait peut-être, pour compléter cette théorie, de dire quelques

IKS FONCTIONS FUCHSIENNES ET L'ARITHMÉTIQUE. 485

mots des subslitntions fractionnaires gauches qui n'altèrent pas une torme quadratique. Mais je ne crois pas devoir m'y arrêter pour le moment. Je me boi'nerai à observer que, si S est une substitution fractionnaire gauclie n'altérant pas F, S- sera une substitution fractionnaire droite n'altérant pas non plus F.