On aura

F(c<,) = o, F(oc5) = i, F(a3) = oc.

Il en résultera rpie, dans l'équation (3), co sera rationnel en x et que les points singuliers de l'équation (2) seront

De pliis. la fonrlinn V ( z) reste réelle loul le lonj; des cercles C, , Cj, ..., C„, et, par conséquent, les points singuliers de l'équation (2) sont tous réels. Enfin on peut profiter des éléments qui restent indéterminés de telle sorte que F(ai), ¥(0.2), ..., F(a„^.,) deviennent respectivement égaux à « + i nombres réels quelconques donnés.

Dans le cas particulier où >i = 2, i'(''quallr)u (2) se réduit à l'équation hypergéométrique de Gauss et F(z) se réduli h cette fonction particulière sur laquelle j'ai appelé spécialement l'attention dans ma Note du i4 février et dont M. Halphen a fait ressortir les propriétés les plus importantes dans une Note insérée aux Comptes rendus le 4 avril 1881.

Si, de plus, on suppose

Xj = X2 = X, = o, ht lunction

se réduit à la fonction modulaire.

Ne su])|)os()ns plus n = 2, mais supposons

les |)ciints a,, y..^ a„^, seront rsjelés sur le cercle fondamental. La fonction

y{s) ne |jourra prendre, à l'intérieur de ce cercle, aucune des valeurs

F(ao, ^(«2), •••, F(a„+,)-

Supposons donc une équation diU'érentielle linéaire à coefficients rationnels en X et dont les points singuliers soient

ar==F(a,;, x=F(a,). ..., x = F(a„+,),

SUR I.KS FONCTIONS FICHSIRNNES. l5

on y fera

Les intégrales de l'équation proposée seront des fonctions zétafuchsiennes de -:, qui n'existeront qu'à l'intérieur du cercle fondamental et seront holoniorphes ù l'intérieur de ce cercle.

Cette méthode permet d'intégrer toutes les équations difTéreatielles linéaires à coefficients rationnels toutes les fois que tous les points singuliers sont réels.

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, l. 'J2, |i. 1271-137(1 (3n mai iSSi).

Dans la dernière JNole fjiie |'ai ou riinniiciir de |iréseiil('r h rAcadéniie, j'ai montré comment certaines classes de lonetious fiiclisi(Mmes et zélaf'uclisiennes permettent d'intégrer une équation linéaire à cocliicients rationnels, si tous les points singuliers sont réels. Je veux, aujourd'lnii, définir une classe plus étendue de fonctions fuchsiennes qui permet l'intégration dans des cas beaucoup plus généraux.

Supposons un polygone curviligne dont les côtés soient successivement A,, B|, Aj, Bo, ..., A„, B„ ; je suppose que ces côtés sont des cercles coupant orthogonalement le cercle fondamental; j'appelle a,- et pi les deux intersections des cercles A,- et B,-, X,- l'angle correspondant du polygone curviligne et 0- la somme de tous les angles de ce polygone ; je suppose que Xj et 0- — (À, -I- 5.2+ •■• + Kl) sont des parties aliquotes de 27c.

Je définis n fonctions de ; par les écpiations

On verrait, comme dans la Note précédente, qu'il y a une infinité de fonctions uniformes de z satisfaisant aux conditions

F(-) = F(i,) = FU2)=...= i-r;„)

et que toutes s'expriment rationnellement en fonction de l'une d'entre elles.

En faisant tendre les )> et <r vers zéro, on (jhlienl à la limite des fonctions

remarquables sur lesquelles je veux attirer l'attention. Sur le cercle fonda-

SIR I.HS KONTIIONS FUr.HSlIÎNNES.

mental je marque 2« points a,, jj,, an, 82, .... a,, , 3«, et je suppose qu'on les rencontre dans l'ordre que je viens d'indiquer, en suivant le cercle dans le sens positif; ces points devront satisfaire à la condition suivante, .le joins le point p, à 'fin, ^3, ..., |3„ par des cercles y,, y,, ..., y„ normaux au cercle fondamental ; je joins de même p^ •' ^s- ^:t à ?i? •••î Hh-i î» ?„ par des cercles S3, 04, ..., o„ normaux au cercle fondameulal ; par les points a,, a^, ..., a„ je mène des cercles G|, C2, ..., G„, coupant ortiioi;onalement les cercles (ondamental et normaux respectivement à y2. Oj, o,, ..., 5„, y„ ; par l'intersection de C| et Co je mène un cercle D,, normal au cercle fondamental et à ys ; par l'intersection de Cj et de D3 je mène D..,, normal au cercle fondamental et k y.,, etc. : D„ devra passer par a„ cl se réduire, par conséquent , à C„. Je définis n fonctions de ; par les équations

Il existera une infinité de fonctions unilormes de .; telles que

F(z) = F(.-,) = F(.-0=...= F(5,0, d'où

Toutes s'expriment rationnellement par une tl'cntrc elles cjuc j'appelle F(3) et que j'achève de iléfinir par les conditions

Cette fonction sera holomoi'phe à l'intérieur du cercle fondamental ; elle ne pourra, à l'intérieur de ce cercle, devenir égale à aucun des nombres

(I) F(«.), V(:^,), ..., F(a„), F(lî,).

Si donc, dans une équation linéaire à coefficients rationnels en x n'ayant d'autres points singuliers que les nombres (i), on sui)stilue F(;) à la place de X, l'intégrale sera une fonction zétafuclisienne de :.

F(z) dépend de 2« — 3 paramètres, à savoir les rapports anliarmoniques de oLi, aj, ..., a.,i, 8,, [3o, .... ^i„ par rapport à a,, aj, aj ; à cause de la condition énoncée plus haut, 11 reste a/i — \ paramètres indépendants. En ex[)rimaiit que les parties réelles et imaginaires de

F(aO, F(»5), ..., F(a„), F(p,)

ont des valeurs données, on a 2« — -4 équations qui déterminent ces 2« — 4 paramètres.

H. p. — II. 3

'8 SUR l,IÎS FONCTIONS FtCHSIENNES.

Si j'anii-e à démontrer que ces équations ont toujours une solution réelle, j'aurai montré que toutes les équations linéaires à coefficients algébriques s'intègrent par les transcendantes fuchsiennes et zétafuchsiennes.

.le voudrais douiier quelques ('■claircisseinenLs sur ma [irécéileute Cmniuuuication. J'y parle de la fonction 1* (^) (jnantl tous les \ sont nuls : j'entends la limite de 1' (;) quand tous les ). tendent vers zéro. J'ai dit que les quantités r (a,), F^ao), .... F(a„^,) peuvent prendre des valeurs réelles quelconcjues : cela n'est vrai que quand tous les 1 sont nuls.

Une dernière remarque : j'ai l'ait voir que les coordonnées d'un point d'une infinité de coui-bes algébriques s'exprimcul par des fonctions fuchsiennes d'un même paramètre (de même que les coordonnées il'un point d'une courbe de genre o s'expriment par des fonctions rationnelles et celles d'un point d'une courbe de genre i par des fonctions elliptiques) : parmi les courbes qui jouissent de cette propriété, il y en a de tous les genres possibles ; mais je ne sais pas encore si cette propriété appartient à une courbe algébrique quelconque.

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 92, p. 1484-1487 ( 27 juin 1881 ).

I. Dans le Mémoire que j'iii l'hunnciir de présenter à l'Aciuléinic, je commence par donner une l'orme nouvelle à la règle que j'avais exposée dans mon premier travail pour la formation des groupes tuchsiens.

J'appelle X l'axe des quantiti's réelles.

Soient rt, b deux quantités imaginaires, a', b' leurs conjuguées ; je pose

Envisageons deux arcs de cercles ab et cd ayant leurs centres sur X ; si

l'on a

il y aura une substitution linéaire à coefficients réels qui changera ab en cd.

Je l'appellerai la substitution

J'envisage maintenant un polygone curviligne situé tout entier au-dessus de X et dont les côtés sont de deux sortes : ceux de la première sorte sont des arcs de cercles ayant leurs centres sur X ; ceux de la seconde sont des segments de l'axe X lui-même.

Les côtés de la première sorte sont au nombre de 2n; deux côtés consécutifs de la première sorte sont séparés :

1° Soit par un sommet situé au-dessus de X et que j'appellerai sommet de la première catégorie ;

20 Sun LES FONCTIONS FI CllSIF.NNF.S.

a° Soit par un sommet situé surX et que j'upiu'llfrai .sommet de la seconde catégorie ;

3° Soit ]>ar un (("ilé île la seconde sorte (Jik: j'appelleiai. |i()iii' uniformiser le langage, sommet de la troisième catégorie.

Grâce il cette coinention, il est clair que l'on rencontrera, en suivant le périmètre du polygone, allcrnatix emeni un côté de la première sorte el un sommet de l'une des trois catégories. Le côté qu'on rencontrera après un sommet donne sera le côté suivant; le sommet qu'on rencontrera ensuite sera le sommet suivant, et ainsi de suite.

Je suppose qu'on répartisse d'une façon quelconque les côtés de la première sorte en paires et qu'un côté soit dit conjugué de celui qui appartient à la même paire. Je sujtposc maintenant qu'on répartisse les sommets en cycles de la manière suivante. On partira d'un sommet quelconque; on envisagera le côté suivant, puis son conjugué, puis le sommet suivant, puis le côté suivant, puis son conjugué, puis le sommet suivant, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on revienne au sommet primitif. Tous les sommets rencontrés de la sorte appartiendront à un même cycle.

Je suppose :

1° Que tous les sommets d'un même cycle sont de la luême catégorie;

■>." Que, si tous les sommets d'un cycle sont de la première catégorie, la somme des angles correspondants du polygone curviligne est une ])artie aliquote de 2tî;

3" Que, si Uibi et a\b'i sont deux côltis tl'unc même paire, on a

fa,-, &,) = («;, 6',).

A ces ciindilions, le groupe dirivé des sulislitutions

(«,/!»,•; a), b)) sera un groupi' I uiiisieu. el l'iui ohl leiulr.i de la sorte tous les groupes iuclisiens.

II. Je discute ensuite les ■?.n — 4 équations doul j'ai parl<' dans ma Note du 3o mai. Su|ipii>ant n = 3, je uu)ntrc qu'elles diU loujour-i une solution ri'elle. Je UKJMtre fpie les fonctions tuchsienaes el zétafuclisiennes peuvent servir à intégrer une équation linéaire à coefficients rationnels, pourvu que tous les points singuliers soient sur un certain nombre de cercl<;s se coupant en deux points a (il b sous des angles commcnsurables avec au.

Sin LKS FONCTIONS FICIISIENNES. 21

III. Dans une Lcllre que M. Klein, de Leipzig, m'a f;vit riionneur de m'adresser, je remarque le passage suivant :

Nehmen Sie ein beliehiges Polygon, begriinzt voii irgerid wclcheii sich berûhrendan (deux à deux) Kreisen ; so ivird die Vervieljâltigutig dtirch Sytnmetrie zu einer groupe disconlinu y«7i/cvi.

J'ajoute une condition que M. Klein n'a pas énoncée, mais qui ne lui a sans doute pas échappé : si l'on prolonge deux quelconques des arcs de cercles qui limitent le polygone, ils ne doivent pas se rencontrer. La remarque de M. Klein est aisée à vérifier, et Ion en déduit immédiatement le lliéorème suivant :

Soit une équation

ax- [(.r — rt,j- (x — a-,)- (.r — a,,)- x — ((, X — a„ \

Je suppose :

i" Ql

SB,= SA,+ SB,o,= 2SA,«,+ SB,a, = o,

Al = A., = .. .= A^ = — -;

2" Que les B et les a sont réels ;

3" Qu'ils satisfont à certaines inégalités ;

X sera alors fonction uniforme du rapport des intégrales.

J'ai clierché à généraliser le résultat de M. Klein, cl voici à quoi je suis arrivé :

Soient 7.71 cercles Ci, C., ..., C,j, C',, C^, ..., C'„ qui sont extérieurs l'un à l'autre ou se touchent extérieurement ; tout groupe dérivé de n substitutions linéaires dont la t'"™' change la partie du plan extérieure à C,- en la partie intérieure à C^- sera discontinu. 'Cela arrivera en particulier si les in cercles se touchent deux à deux de manière à circonscrire un polygone curviligne limité par des arcs de cercles a,, as, ..., a„, a',, a',, ..., a'„, appartenant i-espectivement aux cercles Ci, C^, ..., C„, G',, C',, ..., C^, et si la /'^"" substitution change a,- en a!- .

Il existe des fonctions qui ne sont pas altérées par les substitutions de ce groupe et que je propose d'appeler fondions kleinéennes, puisque c'est à M. Klein qu'on en doit la découverte. Il y aura aussi des fonctions thêta-

aa Sun les fonctions ftchsiennes.

kleinéennes et zétakleinéenues analogues aux fonctions thétafuchsiennes et zétafuchsionnos.

Grâce à cette j;éncralisaliou, je montre que le théorème relatif à l'équation (i), déduit de la remarque de M. Klein, est encore vrai quand même la seconde condition n'est pas remplie. Je montre aussi que les fondions kleinéennes intègrent un grand noinl>re d'autres équations linéaires à coelTicients algébriques, et entre autres des équations à intégrales irrégulières.

SUR

LES GROUPES KLEINÉENS

Comptes rendus de l'Acadcmie des Sciences, l. 93, p. 44-4*' ( " juillet i8Si

Dans mes précédentes Comniunicalions, j'ai montré comment on pouvait former tous les groupes fuclisiens, c'est-à-ifire tous les groupes discontinus formés de substitutions de la forme

{ces substitutions étant assujetties à ne pas altérer un cercle fixe appelé cercle fondamental). Une remarque de M. Klein, que j'ai citée dans ma dernière Note, m'a amené à rechercher tous les groupes discontinus formés par des substitutions de la forme (i) (sans condition relative à un cercle fondamental), groupes que je propose d'appeler kleinéens. Je vais montrer comment la pseudogéométrie de Lobatschewsky, qui m'a servi à trouver les groupes fuchsieas, peut me donner la solution du problème plus général que j'aborde aujourd'hui.

1. J'écrirai, pour abréger, ^5 et pst pour pseudogéométrique et pseudogéométriquement. J'appelle plan ps toute sphère ayant son centre dans le plan des xy, droite ps l'intersection de deux plans ps ; l'angle ps de deux courbes est égal à leur angle géométrique. SI l'on considère deux points quelconques a et 6, on pourra par ces deux points mener une droite ps qui coupera le plan des icy en deux points celd; le demi-logarithme du rapport anharmonique de a et 6 par rapport à c et c? sera alors leur distance jD5. J'appelle polygone ps une portion de plan ps limitée par des droiles ps , polyèdre ps une portion de

a4 sni i.Ks (iHoiU'KS ki.i:im;h;ks.

l'espace sitiu'c tout eiitit'ic au-dessus du plaii des ,rv' «'1 liniilée par des pliins /).s' (iu par le plan des .ry. Deux lij^ures sonl pst éijales i|uaii(l on pcul élablir enlre elles une eiirre^poïKJaiicc pmul jiai- polul el de leli<' sorte que les distances yw soieiU eouservées. (Iràee à ee> déliait ions, les lliéorcmes de Lobatschewsky Irouxeut leur apjilicalion conerèle (voir les travaux de M. Klein sur ce sujet dans les Mdthcmalische Annalen).