V. — Calcul des multiplicateurs

Soit

rt, f>, c, a-, ha <\

une substitution linéaire de délrrniinant i, cl

T-'ST

sa transformée par une substitution lin('airc (juciconque P. On aur.i

En d'autres termes, la somme «i + ^a+Cj sera un iinarianl. On pourra choisir la substitution T de telle façon que T"' ST soit de la forme canonique

Xi o o

Alors X), Xj et A3 seront les inulli|)lica(eurs de la subsiituiion S; ces multiplicateurs seront les racines de l'équation en ),,

a-i /;.>— "a Co

O:, fe,i C3—I

et l'on aura

.Si, eu particulier, S n'altère pas une forme quadratique et est une substitution droite, l'un des multiplicateurs est égal à i , et le produit des deux autres est aussi égal à i .

-Soit alors

IÎ86 LES FONCTIONS FUCIISIENNES ET 1. 'ARITHMÉTIQUE

hi sivl).slil 11 I ion liiL'lislenne correspondaiil à S : a +3 sera, pour celle siihstit ution. lin iii\.iriaiil ((iiiinie (/, -(- />j + (3 rctiiil [Kiiir S, l't lnn aur.i d'uilleiiis "

(a -t- S)' = fl| -H ^2-+- t'j-l- I.

Il résulte de là que la connaissance de a^ 0 sul'lit pour déleniiiner les trois multiplicatevirs, qui de^ronl satisfaire à l'équation du troisième degré

).H i(fa + 0)2— i]().2— X) = o.

Si S est une sujjslilulion à coefiicients entiers, la somme rt, + 60 + C3 devr.i <''lre un entier, et par conséquent a + o devra être la racine carrée d'un entier.

JjH somme a + o s'appellera V invariant de la subslilalion S el s'écrira, jiour al)réger, [S].

ÎNoiis allons traiter maintenant le problème suivant :

Oit se donne [A], [B] el l'imaiianl [AB]f/<? la combinaison AB des deux substitutions A et B. On demande de calculer l'iinarianl d'une combinaison quelconque de ces deux substitutions

A"'B", A"'B"A/', A"'B''A/'B'7, ..., m. //, /', Y étant des entiers quelconques positifs ou négatifs.

Tout d'ai)ord, il est évident que deux sul»lltu(ions inverses l'une de l'autre auront même invariant; on aura

De plus, une substitution aura même invariant que sa transtormée par une

Niilisl iliit ion (|uelron([ne ; ainsi

[A] = [B 'ABJ, [A"'B"A''B'/] = [B'/A"'B'' A/^], et, en particulier,

[BA] = [AB] = [A-iB-'J = [B-'A-i|-

•le vais maintenant chercher une relation entre

[A], [B], [AB] el [AB°-].

Nous pouvons toujours, par une transt'(U-matioa convenable, mettre la sub>tilution fuchsienne qui correspond à B sous la tonne

LES FONCTIONS FUCHSIËNNES ET L ARITHMETIQUE

Soit ensuite

la siibstiiutioii fuchsienne correspondant à A. Alors

a),;-l-3X\ / aA2ô-i-8X=

el

seront les substitutions l'uclisiennes correspondant respectivemenl à \B et à AB-, de sorte qu'on aura

3tX-t-^ = [AB], aXî-4- ^ =[AB2J.

On en tire aisémeni, par l'eliininalion de a, S et A,