AB=] + [A] = [AB)[B
les deux termes du premier membre, ainsi qiu' le terme unique du second membre, tlexront ('tre la racine carrée d'un entier. Mais 11 est aisé de voir que, si l'on a
Hes m. étant des entier>j, les trois expressions di'sroni être des entiers.
l,i:S FONCTIONS FUCHSIEXNES I:T LAKITHMÉTlyr K. 489
Il suit de là que les protluils
[A][AB=], [A][AB][B], [ABM[AB][B1 sont entiers.
Il est aisé d'en déduire que si [ V] est égal à un nonilire coiiiinensurable multiplié par ya- cl [B] «'gai à un noudjie comuiensuraMe inulli[)lié par y j3, [AB] devra être é£;al à un uouihie CDUinieasurable uiullLplié par ^ a^i, el [AB-] à un noMibre comuiensuraMe niulliplié |)ai' \/y. ou, ce qui revient au uu-uie, à un nombre couimensurabic iuulti|ilié par\ '■'■'^'■
Plus généralement, on auia
[A"'B"A''Bv] = ;ji, y/a"'+/' 3"+'/ = iJLo v/«'' ?>'•',
[j., et U..J étant commensurables, el /( el / étant égaux soit à o, soil ii i. suivant la parité de deux nond^res m + p et n + rj, et de telle sorte que
/( E3 m -h />, A = n-^q ( raod 2).
Cela peut s'énoncer encore d'une autre manière.
Considérons le groupe dérivé des deux substitutions linéaires A et B. Pour que toutes les substitutions de ce groupe aient leurs invariants égaux à la racine carrée d'un entier, il t'aui cl 11 suffit que
[Ap, [Bp et [A][B][AB] soient des entiers.
Nous allons inaintenani envisager un groupe dérivé de trois substitutions linéaires A, B et C. Je dis (jue l'on peut, à l'aide de la relation de récurrence démontrée plus haut, calculer les invariants de toutes les substitutions de ce groupe, à l'aide de sept Invariants
[AJ, [BJ, [C], [AB], [BG], [CA], [ABC].
Pour le démontrer, je rappelle d'abord que cette relation de récurrence permet (M, IN, P étant des substitutions quelconques) de calculer
[MHp]
(p entier positif ou négatif), quand on connaît
[M], [N] et [MN],
(ui plus généralement de calculer
[M^pP] H. P. — II. ^=
490 1,ES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ARITHMÉTIQUE.
quand on connaît
tMP], [NJ et [MNP].
Elle permet ainsi, connaissant [A], [B] et [ VB], de calculer les invariants de toutes les combinaisons de A et de B, ou à laide de nos sept invariants, de calculer ceux de toutes les combinaisons A, B et C, où l'une de ces trois substitutions n'entre pas. ,
Je dis qu'on pourra trouver de même
En effet, le calcul de cet invariant se ramène à celui de [A"'B"], (jui est connu et à celui de [A"'B"G]. Ce dernier se ramène à [A"'C], qui est connu, et à [A"'BC]. Ce dernier, à son tour, se ramène à [BC] et à [ABC], qui sont tous deux supposés connus.
Considérons maintenant une combinaison quelconque
[A"'B''CpB'7A'-C'B'C"].
On ramènera, par le même procédé, le calcul de cet inxariant îi celui de
[ABGBACBC],
où les lettres sont restées les mêmes et dans le même ordre, mais où tous les exposants sont réduits à l'unité.
Je dis maintenant qu'on peut ramener le calcul de cet invariant ii celui de
[ABC(AB)GBC],
où deux des lettres sont permutées.
En effet, notre formule de récurrence jiermet de réduire le calcul de
[ABC(BA)CBC1 à celui de
[ABC.CBC]
(où le iiond)redcs lettres est moindre, et que, par conséquent, on peut supposer [iri'alablemcnt calculé) et à celui de
[ABC(BA)-'CBG] = [ ABCA ' B-' CBC] :
en réduisant les exposants à l'unité, ce dernier devient
[ABCABGBC].
Il est clair qu'en appliquant d'une t'accui c(jnvenable le double procédé qui
LES FONCTIONS l'UCHSIE.NNES ET l'aRITHMÉTIQUE. 49'
permet de perriiiiter deux lettres quelconques et de réduire les exposants à l'unité, on arrivera à réduire de plus en plus le nombre des letlres de lelle façon qu'on sera ramené finalement à l'invariant connu [ABC].
On connaîtra donc ainsi l'invariant d'une substitution quelconque du groupe.
On peut en conclure ce qui suit :
Pour que toutes les substitutions du grou[)c aient pour invariant la racine carrée d'un entier (ce qui arrive nécessairement quand les substitutions A, B, C ont leurs coefdcients entiers), il faut et il suffit que
[A]^ [B]K \C]K fA][B][ABl, [B1[C|[BG], [Cl[A]fCA|
et
