A][B][C][ABC
soient des entiers.
Mais nos sept invariants eux-mêmes ne sont pas indépendants les uns des autres. Il y a entre eux une relation algébrique.
Cette relation se présente sous une l'orme |)lus symétrique, quauti ou considère, au lieu de nos sept invariants, les sept invariants suivants (ce qui levient d'ailleurs au même)
fA] = a. fB] = 8, [C] = fi'. [C-iB-'] = jî", [BAl = v, [<>A]=y', [C-'B-iAJ = y".
J'ai représenté, pour abréger, les sept iiuiiiiants par les lettres a, p, y. La relation s'écrit alors
.. a'-H?'+Y2+ jî'2-+-Y'2-i-p-l-T"'— 4
= «Py + a^'Y'H- ap"f'+ pY'y'+ P'yy"+ P"yt'
<Jn arrive à un résultat analogue dans le cas d"un groupe dérivé lic quatre substitutions ou d'un plus grand nombre.
^oil an groupe dérivé de n suOslilulions
Pour que toutes les substitutions du groupe aient pour invariant la racine carrée d'un entier, il faut et il suj/it que
/|9.>- LES FONCTIONS FICHSIENNES ET L ARITHMETIQUE
ainsi (jiie toutes les combinaisons
[A^'AVA|>...A^][A,]^.[A,p=...[A„]^..
(ofi les exposants e sont égaux soit à o, soit à i), soient des entiers.
Réduction des substitutions.
Voici la question que je me propose de traiter clans ce paragraphe.
Soit S uue substitution à coefficients entiers et de déterminant i ; soit T une
autre substitution à coefficients entiers et de déterminant i ; je dirai que la
substitution S et sa transformée
T-'ST
sont homologues et appartiennent à la même classe.
Cela posé, parmi toutes les substitutions d'une même classe, il y en a une qui est plus simple que toutes les autres, et que j'ap|)ellerai substitution réduite.
On peut se proposer, étant donnée une substitution S. de trouver la substitullim réduite qui ap[)artient à la même classe, ou, en d'autres termes de réduire la sid)stitution S.
(^n \()it d'abord tout de suite que deux substitutions homologues ont mêmes nuiltiplicateurs. Je supposerai, comme je l'ai fait jusqu'ici, qu'un des multiplicateurs est égal à i, ainsi que le produit des deux autres.
11 résulte de là qu'il existera une forme linéaire
à coefticients entiers et premiers entre eux, qui scia inaltérée par la sidjslitution.
Ou peut alors lormer une sul)stitution linéaire
T = ;jii [J-i iJ-3
•'l ''i Vj
à coefficients entiers et de déterminant i .
La substitution T~' ST, transformée de S par T, sera alors de la forint;
I o o Oi bï bi
Cl Cj C3
ce qui constitiu' une première réduction.
LES FONCTrONS FUCHSIENNES ET l'aRITHMÉTIQUE. 49^
Supposons d'abord que />, et c, soient nuls, et que la substitution S s'écrive
avec la condition
ad — bc = \.
Si Ton transforme alors S par une substitution T de la torme
à coefficients entiers et de délerniinaiil i , la substitution S conservera la uième forme après celte transformation.
Envisageons la forme quadrali(jue binaire
qui n'est pas altérée par la suljstilutuui linéaire
<■ d Que deviendra cette foi-me lorsque l'on remplacera S par sa Irausforinéc
T-i ST ?
Tout se passera comme si l'on avail appliqué à cette forme la substitution
A ;ji
D'où cette conclusion :
Pour que deux sulislilutions
tf
appartiennent à la même classe, il faut et 11 suffit que les deux tonnes
c i'-^ (d — a )fr, — b t,"et
soient équivalentes.
49Ï '-ES FONCTIONS FUCHSIENNES ET 1,'aHITIIMÉTIQUE.
Aous sommes donc conduits à dire par dtMinilion que la substitution S est ivduilu quand la tonne à l'est elle-inême. La somme des iiiulti|ilicateurs de S esl
a + rf -h I, et son invariant
La suhslilulion est elliptique si
(a -(-</}-< 4, d'où (a-hd) = o, (a-i-d)=±i,
paral)i)lif|nc si
(a-\-d)^=i, d'où a-hd = ±i,
hyperbolique si
La forme ai a pour discriminant
(d— ay+ il)C = (a -\-dy-— i.
Il résulte de là que le discriminant de '| est fonction de l'invariant de S, et |)ar C(>nsé(juent que les subslitulions S cViinaiianl dofuu' se reparussent en un nombre fini de classes.
La substitution S sera elliptique si ']/ est délinie. Les conditions de réduction
pourront alors s'écrire
b el c seront d'ailleurs toujours de signe contraire.
La substitution S sera liyperbolique si 6 est indéfinie. Il arrive alors que chaque classe de substitutions contiendra plusieurs réduites, comme cela arrive pour les formes indéfinies.
iNous prendrons alors pour unique condition de réduction que b et c soient de même signe.
Enfin la sultstitulion S sera parabolique si i se rétluit à un carré parlait. Nous dirons alors que <]; est réduite si elle s'écrit i :^ c;'-. de telle sorte que les conditions de réduction de S s'expriment couiuie il suit :
b = o, d'où rt = rf = d= 1 .
Enumérons maintenant les substitutions elliptiques réduites. Pour a + d=^ o, le discriminant de 2'L est égal à — 4i et celui de A à — i . Si 'j/ est une réduite, on a lionc
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET L ARITHMETIQUE
La substitution réduite S s'écrit alors
Pour a + rf = I , le discriminant de 26 est égal à — 3, et cettp loriiio 2 A est improprement primitive. On a alors, si 2'i> est réduite,
de sorte que l'on trou\c pour S
i'mir a -{- d ^= — I , on liniive encore
ce qui donne
Nous classerons encore, parmi les substitutions elliptiques, la substitution suivante :
Si =
pipiir laquelle la forme 'h, (''taiil identiipiement nulle, ne peut être re^ardi-e ni comme définie, m comme indi'linie.
11 y aura donc en tout quatre classes de substitutions elliptiques.
Nous remarquerons que la substitution S3 n'est autre cbose que le carré de la substitution So.
Quant aux substitutions puralioliqiies n-duiles, elles s'écriront, soit
soit
où c est un entier quelconque.
496 1.KS FONCTIONS KlCIISIENMiS ET L'ARITlIMÉTIyllE.
i\e supposons plus uuunlenant que />, el c, sont nuls el écrivons notre substi-
lution S sous la forme suivante :
bi a h
avec la ciuiditiiiu
ad — bc = i.
On peut supposer que la réduction a été laite comme si b, el c, étaient nuls et par conséquent que Ton a
si la substitution est elliptique;
si elle est hyperbolique, et
si elle est parabolique.
11 s'agit maintenant de réduire autant (aie |)ossible les coelficients h, et c,.
Pour cela, écrivons les équations qui définissent la substitution S de la façon suivante :
y—b,x-hay^ bz, ;' = Cja: -H c y -l- dz.
Posons ensuite
y = y, -l-aj-, z = z^+^x\
d'où
y = y\ + a.x\ 2' = s', -H- ^ar'.
Les deux dernières équations s'écriront alors
y'i = a;[èi-+-(a — i)a-+-6p \-^ ay^-^ bz^,
5',=a:[ci + ca -\- {d — \)'^\-\- cy^-\- dzx.
En d'autres termes, les coefficients de la substitution S n'ont pas changé par cette transformation, sauf que by et C) sont devenus
6i-l-(a — i)a4- b^, Ci-f-ca + («f — i)p.
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l-'ARITHMÉTIQUE. 497
Le pi'oblème consiste ;i détonniiier les entiers a et [i pour diminuer autant que possible b^ et C| . Je dirai que deux systèmes de nombres (6, , c,) et {h[ , c\) appartiennent à une même classe si l't)n peut trouver deux entiers a et p tels que
in — 1)7. + ^P, ca + (rf— I )^.
Le nombre des classes entre lesquelles se répartissent les systèmes (/),,C|)
est alors égal à
(a — Il b
Parmi les systèmes f 6,, c,) a|iparteiiaiit à une même classe, il v en aura un que l'on regardera comme plus simple que les autres et que l'on appellera système réduit: le nomlire des systèmes réduits est llm.
Alors, pour qu'une substitution
soil réduite, il faudra non seulement que les quatre entiers a, />, c, d satisfassent aux conditions (i), (2), ("Il ou ['[) énoncées plus haut, mais encore que le système (fe) , C\) soit réduit.
Nous avons vu plus haut que, si h^ etr, sont nuls, les substil iil ions S(l'in\ariant donné se répartissent en un nombrr fini de classes. D'après ce qui précède, cela est encore vrai si by et c, ne sont pas nuls.
Revenons au cas des substitutions elliptiques et cherchons à déterminer les svstèmes réduits (6, , r,). Il y a quatre cas à considérer, puisque les substitutions clli|it)ques, ipiand 6, = Ci = o, se répartissent en quatre classes.
Premier cas :
rt = rf = o, 6= — I, c — \ .
1 — a — f / r= 2 ; il y a deux systèmes réduits
61= Ci:
Deuxième cas
2 — a — c/= I ; il n'y a qu'un svstèine réduit
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET L ARITHMETIQUE
Troisième cas :
2 — o — (/= 3; il V a Irois systèmes réduits
Ci= o,
Quatrième cas :
2 — a — </ = 4 i '1 y 'i quatre systèmes réduits
6, = o ou I, C| = o ou I.
Mais, si nous observons qu'en appliquant à j et : une transformation linéaire, on fait subir cette même transformation à ft, et c, sans changer d'ailleurs les autres coefficients de S; nous verrons que ces quatre systèmes peuvent être réduits à deux.
Il y a donc liuit substitutions elliptiques réduites que je vais énumérer :
So
Si =
On peut faire une classification analogue pour les substitutions paraboliques, mais le nombre des classes est infini; on doit envisager d'abord le cas où les trois multiplicateurs sont égaux à i ; un trouve alors que la substitution doit être de la forme
Les transforiiKitioiis qu'on peut faire ne peuvent changer la valeur de a et de c. La seule réduction possible, c'est d'amener /; à être plus petit que le plus
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ARITHMÉTIQUE. 499
grand commun diviseur de a et de c (et par conséquent à être nul, si a et c sont
premiers entre eux) ; on peut également supposer que c n'est pas nul.
On considérera ensuite le cas où deux des multiplicateurs sont égaux à — i ;
on a alors
a = (/ = — I, 2 — ri — o?=4'
On a donc quatre systèmes réduits (6,, C|) et quatre substitutions réduites
Sc =
