VII. — Substitutions elliptiques

Nous allons chercher dans ce paragraphe quelle est la condition pour qu'une forme quadratique admette une substitution semblable elliptique, et d'abord quelles sont les formes qui ne sont pas altérées par les huit substitutions réduites S|, S'j, So, S3, S3, S^, S.', et S', définies dans le paragraphe précédent.

On a entre ces diverses substitutions les relations suivantes :

O2 — .-4, Cîj — I ,

Sg= I.

Cela posé, nous résoudrons successivement les problèmes suivants : 1" Formes inaltérées par S,. — ■ Ce sont les formes

2° Formes inaltérées par S'j. — Ce sont les formes

Ax2-+- A>2-h2B^';-(- A";;!— (A'-t-B)^^^ — (A"+B)r3,

où l'on doit avoir

A'=A"=B (mod2).

3" Formes inaltérées par S| et par conséquent par S^. — Ce sont les formes

500 LliS FONCTIONS FICHSIENNES ET LAIIITIISIKTIQUE.

4" Formes inaltérées par S, et par conséquent par S^. — Ce sont les

lornies

A a;' + A' ()'--!- ô- — xy — orz), où A' doit èlre pair.

:")" Formes inaltérées par So et par conséquent par S3 et par S.,. — Ce

sont les tonnes

Aa72-H A'(ji'2-T-y^ + ^2),

où A' doit être pair.

H n'y a d'ailleurs pas d'autre forme inaltérée par .S 3.

G" Formes inaltérées par S!,. — Ce sont les termes

A .jc- -h \'(y- -\- yz + 32 — xy — x:,), où A' est pair.

j" Fornies inaltérées par S'.,. — Ce sont les lormes

A x--h A' (j - -^ y: -^- z^ — ixy — 2xz), où A' est pair.

Nous allons chercher maintenant si une forme quadratique donnée admet une substitution elliptique; pour cela, il faut évidemment el il suftit qu'elle soit équivalenic à l'une des sept formes que je viens d'énumérer.

Je dis d'ahoid ([u'ou pouira reconnaître s'il en est ainsi par un nondjre limité d'essais.

En efTet, prenons d'abord la première forme

kx--i- k'y'' + 9. Byz + X" Z-.

Elle a pour déterminant

Un décomposera donc le discriminant A de la forme donnée en deux

facteurs