I2BI <|2B"-+-B|< |2B'-(-B

On ne pourra donc formerqu'un nombre fini de formes(2)et, par conséquent, qu'un nombre fini de formes (i) satisfaisant à la fois aux conditions

A = (2A -t- B'+ B") (2B'B"-i- BB'-f- BB"), B = o (mod2), I2BKI 2B"+ B| <| îB'-hB |.

On n'aura donc qu'un nombre limité d'essais à faire pour reconnaître si l'une de ces formes est équivalente à la forme donnée.

Supposons maintenant que B soit impair. On ne peut pas appliquer à notre forme binaire

(2 B"-i- B)j2 — 2 Bji + (2 B' -f- B ) ;2

une substitution linéaire quelconque sans que les trois coefficients de y-, de 2j'5 et de z^ cessent d'être tous trois impairs. Pour qu'une substitution

ne fasse pas cesser cette particularité, il faut que l'on ait

(mod2).

ou

Les substitutions qui satisfont à l'une de ces deux conditions forment un groupe G qui est un sous-groupe à congruences du groupe arithmétique.

Nous n'avons donc plus ici le droit de supposer que la forme (3) est réduite au sens ordinaire du mot, c'est-à-dire par rappoi't au groupe arithmétique, mais seulement qu'elle est réduite par rapport au groupe G.

Il est aisé de voir que les conditions de réduction s'écrivent alors

On ne pourra évidemment trouver qu'un nombre limité de formes (2) ou (i) satisfaisant simultanément aux conditions

i = (2A -H B'+ B")(2B'B"-h BB'-+- BB"), 8 = 1 (mod2), |B|<|2B"-(-B|<|2B'-^B|.

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'aRITHMÉTIOI E. 5o3

On n'aura donc encore qu'un nombre limité d'essais à faire pour reconnaître si l'une de ces formes est équivalente à la forme donnée.

Ce que je viens de dire s'applique sans changement à la forme

Aar2+ A'(7^-t- Z-— xy — xz) reproductible par S',.

Il nous reste à examiner comment on pourra reconnaître si une forme donnée est susceptible d'être reproduite par une substitution bomologue à S, ou à S,, c'est-à-dire si elle est équivalente à l'une des formes

(4) \x--i-'iB(y^-i-yz -h Z'—i^xy—^xz),

OÙ [3 = I ou 2.

J'appellerai d'alionl l'attention sur l'effet que produit sur cette forme la substitution suivante de déterminant 3

.r = 3a-,, y =r,-i- ^xi, z = Zi-^^jXi.

La forme devient

(gk-6B^^)x\-+--zB(y]-i-y,z,^z\).

Le déterminant de la forme (4) est, d'ailleurs, égal à

3AB2— 2B3p2

c'est-à-dire à

3AB2— 2B3 ou 3AB'— 8B',

selon que p est égal à i ou à 2.

Il est clair qu'on ne peut trouver que d'un nombre fini de manières deux nombres entiers A et B satisfaisant à l'une des deux conditions

3ABΗ 2B3 = A ou 3AB2^8B3=A.

Ou n'aura donc qu'un nombre limité d'essais à faire pour reconnaître si une forme donnée de déterminant A est équivalente à l'une des formes (4)-

Ainsi, dans tous les cas possibles, le nombre des essais à faire est limité, et il peut être diminué encore par la considération des ordres et des genres.

Il est clair, d'après ce qui précède et sans qu'il soit nécessaire d'insister, que toutes les formes n'admettront pas de substitution semblable elliptique.

Mais, en revanche, on voit tout de suite qu'une forme quadratique quelconque F est toujours commensurable avec une forme qui admet une substitution semblable elliptique. Et, en eflel, quelle que soit la forme F, on peut toujours

5o4 LES FONCTIONS FlICHSIENNES ET LAIIITHMÉTIQIJE.

trouver une sulistitiuion ;i coet'licients CDimiieiisurables T', telle que

FT'= A.r-''+ B>'^+ CzK

Cette forme FT', commeiisurahle avec F, iichiiel lu substitution elllpLique S^.

Cherchons maintenant quelles sont les formes qui admettent une des substitutions paraboliques S',., Se, S'^, S'^ et S™.

En preuiier lieu, les seules formes qui sont reproduites par une des quatre substilutions So, S^, S'^ et S'^' ont leur discriuiinant nul. Nous devons donc les laisser de côté et ne nous occuper que des formes reproduites par

Ces formes s'écriront

(5) Ax^-k- A'y^-i- iB'x:: -hiB"Ty

avec les conditions

A'a2+ 7.B'h + ih"o = A' n -h B'c = o.

Pour qu'une forme quadratique admette une substitution parabolique, il faut et il suffit qu'elle soit équivalente à la forme (5) ou, en d'autres termes, qu'elle soit susceptible de représenter o, conformément aux conditions du paragraphe CCXCIX des Disquisitiones arithineticœ.

Cela est conforme à un résultat déjà obtenu par M. Selling.

■yill. — Résumé.

Nous pouvons maintenant résumer ainsi les résultats encore très incomplets que no\is avons obtenus.

Au groupe des substitutions à coefficients entiers qui n'allèrent pas une forme quadratique donnée F correspond toujours un groupe fuchsien qui le détermine entièrement.

Les formes F peuvent d'abord se répartir en quatre catégories :

i" Celles qui n'admettent ni sulistilutiiuis elliptiques, ni sulistilutions paraboliques ;

:>." Celles qui admettent des substitutions elliptiques, mais pas de substitutions paraboliques;

LES FONCTIONS FUCIISIENNES ET l'aRITHMÉTIQUE. 5o5

.'5° Celles qui admettent des substitutions paraboliques, mais pas de substitutions elliptiques;

4" Celles qui adiuetleni h la fois des substitutions elliptiques et paraboliques.

Nous avons vu, dans le parafjraphe précédent, comment un nombre limité d'essais permet de reconnaitrc à laquelle de ces quatre catégories appartient une forme donnée.

Si la forme F est de la première ou de la deuxième catégorie, son groupe fuchsien principal sera de la première famille; si F est de la troisième catégorie, son groupe fuchsien est de la deuxième famille; si F est de la quatrième catégorie, son groupe fuchsien est de la sixième famille.

Si la forme F est de la première catégorie, le polygone générateur de son groupe fuchsien a 4p côtés, les cotés opposés étant conjugués. Les ip sommets forment un seul cycle, et la somme des angles est égale à 271:.

Si F esl de la deuxième catégorie, les sommets du polygone générateur peuvent lormer plusieurs cycles. (Il convient d'ajouter que le plus scuivenl ils n'en forment ([iiun seul et qu'il n'y aura plusieurs cycles que dans des cas exceptionnels.) Pour reconnaître ccunlnen ces sommets forment de cycles, on construira les formes

(la forme binaire A' }'- + A";--f- aBj's étant réduite) ou !)ien encore les formes (i) et (/\) du paragraphe précédent. .Si la l'orme F est ('quivalente à n des formes ainsi construites, les sommets du polygone générateur formeront n cycles.

La somme des angles de l'un (juelconque de ces cycles sera égale à ti, -> --

ou —• Si F est équivalente à une forme reproduci il)le [nir S, ou S',, la somme des angles du cycle correspondant sera t:; si F est équivalente à une forme reproductible par S, ou S'p la somme des angles du cycle correspondant sera -; si F est équivalente à une forme reproductible par Sojla somme des angles du cycle correspondant sera ^•, si, enfin, F est équivalente à une forme reproductible par S'j ou S3, la somme des angles du cycle correspondant sera^-

Si F est de la troisième catégorie, les sommets du polygone générateur sont tous sur le cercle fondamental, et ils forment un ou plusieurs cycles (en général un seul), dont la somme des angles est nulle.

i06 LES FOMCTIONS FUCHSIENNKS ET LARITEIMÉTIOIE.

Si F est de la (ju:\lrième catégorie, les sommets du polygone générateur sont les uns sur le cercle fondanienlal, les autres k l'inlérieur, et ils forment plusieurs

cycles dont la soniuic des angles peut être o, tï, -, - ou — -•

Nous avons rencontré aussi d'autres propriétés du groupe fuchsien principal d'une forme F. En premier lieu, les multiplicateurs des diverses substitutions devront satisfaire aux conditions exposées au paragraphe V. En second lieu, ce groupe fuchsien devra être commensurable avec ses transformés par une infinité de substitutions, correspondant aux substitutions fractionnaires étudiées au paragraphe I V.

Il me reste à parler des substitutions gauches.

Dans la théorie des groupes fnchsiens, on décompose le cercle fondamental en une infinité de polygones égaux entre eux au point de vue pseudogéométrique ; les angles sont égaux entre eux au sens ordinaire du mot, et les côtés sont égaux à notre point de vue spécial, c'est-à-dire qu'ils ont même L.

Considérons une circonférence coupant orthogonalement le cercle fondamental, et supposons qu'on transforme un de nos polygones R par inversion (par rayons vecteurs réciproques) par rapport à cette circonlérence. Nous dirons alors, au point de vue pseudogéométrique, que le polygone R et son transformé R' sont symétriques par rapport à cette circonférence. Ces deux polygones auront mêmes angles et mêmes côtés (à notre point de vue spécial), mais les éléments homologues seront disposés dans l'ordre inverse.

Si nous considérons ensuite un polygone R", égal à R' au point de vue pseudogéométrique, les deux polygones R et R" auront aussi les éléments homologues égaux, mais disposés dans l'ordre inverse. Nous dirons alors qu'ils sont symétriques en grandeur, mais non en position.

Si la forme F admet une substitution gauche, on peut décomposer le cercle fondamental en une infinité de polygones curvilignes ; deux quelconques de ces polygones sont égaux entre eux ou symétriques (en grandeur) au point de vue pseudogéouK'triqiic ; ileiix polygones adjacents sont toujours svniétriques, et la réunion de ces deux |)olyg(jues adjacents symétriques constitue le polygone générateur du groupe fuchsien forme en ne considérant que les substitutions droites.

La substitut ion

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'aRITHMÉTIQUE. 5o7

peut êlre ù volonté considérée comme droite ou gauche, puisqu'un de ses multiplicateurs est égal à + i , et deux à — i .

Nous avons vu que, pour savoir si la forme F est reproductible par une substitution homolog;ue à S<. il suffit de chercher si elle est équivalente à une

forme telle que

Aj:'+ A'>''h- -i-Byz -r- \" z'K

Mais deux cas sont à distinguer : ou bien la forme binaire

est définie, et alors nous regarderons la substitution S4 comme droite et elliptique, ou bien cette forme binaire est indéfinie, et alors nous regarderons S^ comme une substitution gauche.

On comprend ainsi ce qu'on doit entendre quand je dis que F est reproductible par une su!)stitulion gauche appartenant à la même classe que Sj. Si cela arrive, le polygone générateur peut se décomposer en deux polygones adjacents symétriques l'un de l'autre, non seulement eu grandeur, mais encore en position, le côté commun servant d'axe de syniétrie.

Les résultats que je viens d'exposer demanderaient évidemment à être complétés. Les propriétés nouvelles des groupes que nous avons étudiés ne suffisent pas pour les déterminer complètement; mais, en en faisant un usage judicieux, on peut notablement simplifier les procédés de calcul qu'on employait autrefois pour former ces groupes.