IX. — Généralisation du théorème d'addition

Dans ce qui précède, je me suis efforcé de montrer la possibilité d'employer les fonctions fuchsiennes dans des questions d'Arithmétique. L'application inverse de l'Arithmétique à la théorie des fonctions fuchsiennes est au moins aussi féconde.

L'analogie des fonctions fuchsiennes et des fonctions elliptiques est évidente; les premières ne changent pas quand l'argument subit une substitution linéaire appartenant à un certain groupe, de même que les secondes ne changent pas quand l'argument augmente de certaines périodes. Il y a cependant une propriété des fonctions elliptiques qui ne s'étend pas immédiatementaux fonctions fuchsiennes, c'est le théorème d'addition.

Si l'on augmente l'argument d'une transcendante elliptique d'une quantité

5o8 LES FONCTIONS FUCIISIENNES F.T LAniTHMÙTIOX E.

qui ne soit pas une période, il y a une relation algéijrique entre l'ancienne et la nouvelle valeur de la transcendante. Si donc F(s) est une fonction elliptique, il V aura une relation algébrique entre F(3) et F(; + h), h étant une constante.

Voici quelle serait la généralisation la plus naturelle de cette propriété. Soient F(s) une fonction fuchsienne, S une substitution linéaire n'appartenant pas à son groupe. Il devrait y avoir une relation algébrique entre 1" (:) et F(:;, S). (Je désigne par :;, S, selon l'habitude, ce que devient z quand on applique à cette variable la substitution S.) Il est aise de voir que cette propriété ne [>eut subsister pour toutes les substitutions fuchsiennes S, c'est-à-dire pour toutes les substitutions linéaires de S qui n'altèrent pas le cercle fondamental. D'autre part, il arrivera, en général, que cette propriété n'appartiendra à aucune substitution fuchsienne; ce n'est donc que pour certaines fonctions fuchsiennes exceptionnelles qu'elle appartiendra à quelques substitutions fuchsiennes.

A ce double point de vue, on peut dire que le théorème d'addition des fonctions elliptiques ne s'étend pas, en général, aux fonctions fuchsiennes.

Je vais faire voir toutefois que, pour certaines fonctions fuchsiennes particulières F(i;), il existe une infinité de substitutions S, telles que F(c) et F(s, S) soient liées par une relation algébrique. Il est clair que, dans ce cas, ces substitutions S formeront un groupe.

Que laiil-il pourqu'il en soit ainsi? Soit G le groupe de la fonction F(;). La fonction F(g,S) sera aussi une fonction fuchsienne, et son groupe sera le transformé de G par la substitution S, c'est-à-dire S~'GS. Si les deux groupes G et S"' GS sont commensurables entre eux, leur groupe commun ^' sera un sousgroupe d'indice fini pour chacun d'eux. Ce sera donc encore un groupe fuchsien. Mais alors on peut regarder F(z) et F(s, S) comme des fonctions fuchsiennes admettant le groupe g. Ces deux irancendantes seront donc liées par une relation algébrique.

D'où la Conclusion suixanle :

Pour qu^il y ait une relation algébrique entre une fonction fuclisienne F (s) du groupe G et sa transformée F(5, S) par la substitution S, il faut et il suj fit que les deux groupes G et S~' GS soient commensurables.

Je citerai d'abord un premier exemple sur lequel je ne m'arrêterai pas. Soient G un groupe fuchsien et g' un second groupe fuchsien, sous-groupe du premier; soit F (s) une fonction fuchsienne de groupe g. Soit enfin S une

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ARITHMÉTIQVE. Sog

substitution appartenant à G, mais non à g. Je dis qu'il y aura une relation algébrique entre F(s) et 1' (;, S).

Soit, en effet, $(5) une fonction fuchslenne de groupe G; nous pourrons la regarder aussi comme une fonction de groupe g- ; elle sera donc liée algébriquement à F{z). Mais nous pourrons de même regarder $(3) comme une fonction fuchsienne de groupe S"' ^ S, puisque S~'^ S est aussi un sous-groupe de G. Donc ^(z) sera aussi liée algébriquement à F(3, S). Cela prouve que F{z) et F(;, S) sont liées algébriquement l'un à l'autre.

Les substitutions S forment, dans ce cas, un groupe G qui est discontinu. Aussi ce premier exemple n'offre-t-il pas grand intérêt. JNous le laisserons donc de côté pour ne nous occuper que des cas où les substitutions S, telles que F(r) et F(z, S) soient liées algébriquement, forment un groupe continu.

C'est ce que nous observerons dans un second exemple, à savdlr quand F{z) se réduit à la fonction modulaire .1. Le groupe de cette fonction se compose alors de toutes les substitutions

où a, [i, V, 0 sont quatre entiers, tels que

«S — Py = • •

INous savons qu'il v a une relatimi algébrique entre F(;) et F/-j; c'est celle relation algébrique qui est iiien connue sous le nom d'équation inudulaire dans la théorie de la transformation îles fonctions elliptiques.

N'érifions que le groupe G, formé des substitutions

où a, [3, y, 0 sont entiers, est bien commensurable avec son transformé S~'GS par la substitution

où n est entier.

En ellel, le groupe S~' GS est formé des substitutions

\"' Yi=-i-o

où a,

P, y, S sont entiers el tels que

ao — fi-c = I

5tO LES FONCTIONS FL'CHSIENNES ET L ARITHMETIQCB.

Le groupe comimiu ^' aux deux groupes G et S~'GS est alors tonné des substitutions

où a, ^, V, 0 sont des entiers satisfaisant aux conditions aï— PY = I: y = o (niodn),

C'est donc, par rapport à G, un sous-groupe à congruences el par conséquent un sous-groupe d'indice fini. c. q. f. d.

Pour la même raison, on a une relation algébrique entre la fonction modulaire F(2) et F ( — )' p el n étant deux entiers premiers entre eux.

Plus généralement, je dis qu'il y aura une relation algébrique entre la fonction modulaire F(;) et F (''''"'" j) ' «> b, c et d étant des entiers quelconques.

Car la substitution

V cz -h a/

où a, b, c, d sont des entiers quelconques, peut toujours être regardée comme la résultante de jilnsieurs autres de la forme

ou de la forme

{z,pz) ou

L'ensendde des substitutions S, telles que F(5) et V{z, S) soient liées algébriquement, forme donc un groupe continu.

Jusqu'à présent cet exemple était isolé, mais nous sommes maintenant à même d'en citer une infinité d'autres.

Envisageons une forme quadratique indéfinie F à coefficients entiers el reprenons les dénominations du paragrajjbe II. Considérons le groupe reproductif de F formé de toutes les substitutions à coefficients quelconques qui n'altèrent pas cette forme, et le groupe principal de F formé de toutes les substitutions à coefficients entiers qui n'altèrent pas cette forme. A toute substitution du groupe reproductif correspondra une substitution fuchsienne et au groupe principal de F correspondra un groupe fucbsien G qui sera le groupe fuclisien principal de F.

Soit/(;) une des fonctions fucbsiennes engendrées par le groupe (i.

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET LABITHMÉTIQUE. 5ll

J'envisagerai également les substitutions du groupe reproductif qui ont des coefficients fractionnaires (ce sont celles que nous avons étudiées dans le paragraphe IV), les substitutions fucbsiennes correspondantes et le groupe V formé par ces substitutions fucbsiennes et qui sera un groupe continu.

Soit S une substitution fractionnaire du groupe reproductif de F; soit « la substitution fucbsienne correspondante appartenant à F. En vertu des leinuiesll et VI du paragraphe III, le groupe principal de V sera commensurable avec son transformé par S.

Donc G sera commensurable avec son transformé par s.

Il Y a donc une relation algébrique entre

fis) et f{z,s),

s étant une substitution quelconque du groupe continu V.

Les fonctions fucbsiennes arillimétiques jouissent. donc, comme la fonction

modulaire, de la propriété qui nous occupe. La fonction modulaire n'en est

d'ailleurs qu'un cas particulier et on l'obtient en prenant, pour la forme

quadratique F,

F = iy- — 1.TZ.

Ainsi, il y a une propriété que l'on peut regarder comme la généralisation du théorème d'addition, si l'on regarde les fonctions fucbsiennes comme la généralisation des fonctions elliptiques, mais que l'on peut aussi regarder comme la généralisation de la transformation, si l'on regarde les fonctions fucbsiennes comme la généralisation de la fonction modulaire.

Cette propriété n'appartient pas en général à toutes les fonctions fucbsiennes; mais elle appartient aux fonctions fucbsiennes arithmétiques.

Cela peut faire concevoir l'espoir que ces transcendantes arithmétiques

rendront, dans la théorie de certaines classes d'équations algébriques, des

services analogues à ceux qu'a rendus la fonction modulaire dans l'étude de

l'équation du cinquième degré.

Paris, i8 mars 1887.

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

ET

L'EQUATION

Journal de Mathématiques, 5" série, t. i, p. 107-230; 1898.