Considérons une sid)sl itiil lou de la loi'iiie (i). Soit
et ron^idi'rons x et j' comme les coordonnées d'un point dans un plan. La sul)slilulioii ( 1 I transformera Ions les cercles en cercles. Prenons maintenant dans Tespace nn point A : par ce point, je puis faire passer une infinité de plans jos ciiil \ iendront couiier le plan des j')' suivant différents cercles C. Ces cercles' seiiint eliani;i''s jiar la sulisl itui ion (i) en d'autres cercles C. Tontes les sphères (Mil ont même centre' et iiiiwne rayon que ces cercles G' viendront se couper en un iiiènie point B. A la sidistitution (i) correspondra dans l'espace une transformation (A, B) qui changera toute figure de l'espace en une figure j55< égale. V un groupe discontinu de substitutions (i) va donc correspondre un groupe discontinu de transformations (A, B).
3. Pour construire tous les groupes discontinus de transformations (A, B), il fiut diviser l'espace en polyèdres ps , pst égaux entre eux. Envisageons nn de ces [jolyèilies ps ; je distinguerai [)armi ses faces celles de la première sorte, qui sont formées de [)lansy;.v, et celles de la seconde sorte, formées de i)ortions du plan XY ', les faces de la |iremière sorte poiiri'onl ("tre distribuées en paires, comm(' cela a lien puni- les polygones curvilignes envisagés dans la théorie des groupes fucbsiens ; deux laces appartenant à la même paire seront dites conjuguées el devront être ])sl égales entre elles. Les arêtes pourront être di>tribii('es en cycles de la façon suivante. Partant d'une arête quelconque, on considère lune de> lace-, passant par celle ai('le, puis la face conjuguée, et dans cette lace conjuguée l'arête homologue di' celle qui a servi de point de départ, puis une autre lace passant pai- cette arêle, puis la lac(' conjuguée, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on l'etoiiibe sur l'arête qui a servi de point de départ. Cela posé, on trouve une condition nécessaire et suffisante pour que le polyèdre /M considéré donne naissance à un groupe discontinu. Il faut que la
somme des dièdres correspondant aux diverses arêtes d'un même cycle soit une partie aliquote de 2 tt.
4. Les considérations qui précèdent permettent d'obtenir tous les groupes discontinus de transformations (A, B). Pour que le polyèdre /)s que nous venons d'envisager donne naissance à un groupe discontinu de substitutions (i), il faut, en outre, que l'une au moins des faces de ce polyèdre soit une portion du plan des xy.
5. Appliquons ces principes à un exemple simple. Je suppose im polygone curviligne dont les côtés sont des arcs de cercles, et je me demande à quelle condition ce polygone engendrera un groupe discontinu par l'opération que M. Klein appelle la Ver^'ielfdltigung durch Synimetvie. Je prolonge les arcs de cercles de façon à former des cercles complets, puis j'envisage les sphères qui ont mêmes centres et mêmes rayons que ces cercles. Ces sphères limiteront un certain polyèdre /js dont tous les dièdres devront être des parties aliquotes de tï. Les principes qui ont permis de déduire de l'existence des groupes fuchsiens celle des fonctions fuchsiennes, thétafuchsiennes et zétafuchsiennes sont applicables aux nouveaux groupes kleinéens.
HP
