I. — Introduction

Considérons une équatinn ilillcrciilielle linéaire de la forme suivante:

où 'liix^y) est une fonction rationnelle de deux variables x et y liées par une relation algébrique

L'équation (i) adniettra uu eertain nombre de points singuliers qui seront les infinis de la fonction rationnelle o; pour cliaciin de ces points singuliers on pourra former l'équation déterminante.

Pour que x puisse être une fonction fuchsienne du rapport des intégrales, il faut d'abord que la différence des racines de chaque équation déterminante soit l'inverse d'un nouibre entier. iMais cette condition n'est pas suffisante.

Nous dirons que deux équations de la forme (i) appartiennent au même type :

i" Si la relation (2) est la même pour ces deux équations;

2" Si les infinis de la fonction es sont les mêmes;

3° Si, j)our chacun de ces infinis, les équations déterminantes sont les

mêmes.

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION Ak = e". 5l3

La question suivante se pose alors :

Dans un type quelconque (pourvu que la différence des racines de chaque équation fléterininante soit l'inverse d'un entier), y a-t-il toujours une équation fuchsienne, c'est-ei-dire telle que x soit fonction fuchsienne du rapport des intégrales ?

Cette question est d'une importance capitale dans la théorie des fonctions fuchsiennes, mais elle est extrêmement difficile ; on voit assez aisément que, dans un type quelconque, il ne peut v avoir plus d'une équation fuchsienne; mais il est plus difficile d'établir qu'il y en a toujours une.

La première démonstration qui ait été donnée est fondée sur ce qu'on appelle la méthode de continuité. INous y avons été conduits, M. Klein et moi, d'une façon indépendante. Dans mon Mémoire sur les groupes des équations linéaires, inséré dans le Tome 4 des Acta mathematica ('), j'ai insisté sur les ressemblances et les différences des résultats de M. Klein et des miens et j'ai donné en même temps un exposé complet de la méthode; je n'ai plus à y revenir. Je crois être arrivé à donner à cette méthode une forme parfaitement rigoureuse, mais elle n'en reste pas moins extrêmement compliquée et a un caractère indirect.

Peu de temps après, la Société royale des Sciences de Gottingen attira l'attention des géomètres sur une autre manière d'aborder la question, en proposant comme sujet de concours l'intégration de l'équation

\ii = e".

L'intégration de cette équation conduirait en effet directement à la solution du problème qui nous occupe.

La question posée par la Société de Gottingen fut résolue par M. Picard dans un Mémoire inséré au Journal de Mathématiques de M. Jordan (iiSpo) et complété par une Note des Comptes rendus (Tome IIQ).

La solution proposée par M. Picard consiste à intégrer d'abord l'équation dans un contour assez petit et à étendre ensuite le résultat à un contour quelconque par la méthode alternée de M. Schvvarz.

On peut revenir sur la question et chercher a se passer de ce détour. C'est ce que je me propose de faire ici.

Je me bornerai, dans ce Mémoire, aux fonctions fuchsiennes des première, deuxième et sixième familles, c'est-à-dire à celles qui n'existent qu'à l'intérieur

(') Ce Tome, p. 3no et suiv. N. E. N.