II. — La fonction

Nous emploierons les notations suivantes :

Soient Z et Z' deux variables complexes liées par une relation algébrique

correspondant à la relation (2) du paragraphe précédent. Soit

Z = X-t-jY, Z'=\'-i-jY'.

Considérons ensuite les quantités

imaginaires conjuguées de Z et Z'. Elles seront évidemment liées par une relation

(ibis) /o(Zo, Z'o) = o,

où Jq est un i)nlynome dont les coefficients sont imaginaires conjugués de ceux de /.

.Supposons maintenant que Z et Z' soient des fonctions fuchsiennes

di- la variable complexe

z =x-\- iy.

Alors Zo et Z|| seront des fonctions fuchsiennes

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQDATION ^U = e" . " 5l5

de la variable conjuguée

20 = T — iy.

Le cercle fondamental aura pour équation

OU bien

Cela posé, supposons que la variable Z décrive dans son plan un arc infininienl petit JS, et que la variable z décrive dans lo sien l'arc infuiinient |)etil correspondant. Soit ds la longueur de cet arc décrit par ;, longueur évaluée au point de vue de la géométrie non euclidienne, cest-à-dire ce que j "ai appelé la L de cet arc dans mes Mémoires du Tome 1 des Acta mathematica ('). On aura

Soit

I — ZZi,

une substitution du groupe (ucbsien. (^uand la variable :; décrira l'arc considéré dont la L est ds, la variable — % décrira un arc dont la L sera encore ds,

et la variable

qui sera encore égale à Z, décrii-a un arc dont la longueur sera encore dS.

Le rapport

dS ds

n'est donc pas altéré par les substitutions du groupe fuclisien; c'est donc une

l'onction uniforme de Z, Z', Zo, Zj,.

Posons alors

„ ''*' dz dz„ " - dS^ ~ dl dZ,^' ~ '-"' "' d'où

dZ rfZo

U = — log^rr — log^T^ 2 log(l— 3Co).

Si l'on observe que Z est fonction seulement de z et Zq de Zo, on trouvera ^^" „ ^- ''"o d^ ^og(i — zzo) ^dz dzo ^ ,. w2

dZ rfZo f/Z rfZo rfs dzo dZ dZ^

(') Ce Tome, p. ii4 el 117. N. E. N.

5l6 LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION \u = e".

OU enfin

rfZ rfZo

Si l'on passe des variables Z et Zq aux variables X et Y, on trouve

d^ii d^u , d-^u

rf,\2 (A 2 ^dZdZo OU bien

Pour que la fonction (/ cesse d'être finie, il faut que l'un des facteurs

dz rfjp

d'L dXo soit nul ou infini.

Le facteur i — zzq ne peut jamais être infini; si la fonction fuchsienne est de la première famille, c'est-à-dire si le polygone Rq n'a pas de cycle de la troisième espèce, le facteur i — z-Zg ne jieut pas non plus devenir nul, parce que le polygone Ro n"a aucun point sur la cii-conférence du cercle fondamental.

Si, au contraire, le polygone R^ a des cycles de sommets de la troisième espèce, le facteur i — zz^ ne peut devenir nul qu'en un sommet appartenant à l'un de ces cycles.

En dehors des sommets appartenant aux cycles de la troisième espèce, la fonction u ne peut donc cesser d'être finie que si l'un des facteurs

dz dzo dZ ' dZo

est nul ou infini. Comme ces deux facteurs sont imaginaires conjugués, ils deviendront nuls et infinis en même temps.

La condition pour que u cesse d'être fini, c'est donc que

rfZ dZ

-;- = O OU -r- = CO.

</; dz

On aura -t— = o dans deux cas :

ciz

1° Aux sommets de R„ qui appartiennent à un cycle de deuxième ou de troisième espèce; nous y reviendrons.

2° Si l'on a à la fois

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET L ÉQUATION \u = e" . 5l7

c'est-à-dire si la tangente à la courbe /(Z,Z') = o est parallèle à l'axe des Z'.

Si le point correspondant n'est pas un point double de la courbe / = o, on aura

mais on n aura pas

ni, par conséquent,

Si, alors, on pose et

rfZ' = °'

df

dZ'

dz

dS' = sfdLdVl

c'est-à-dire si «' est la fonction qui joue, |>ar rapport à Z', le uièuie rôle que a

par rapport à Z, cette nouvelle fonction u' ne deviendra pas infinie au point

correspondant.

Supposons maintenant que le point considéré soit un point double An f ^ o;

on aura alors à la fois

dL dT

Mais posons

R étant une fonction rationnelle de Z et de Z'; nous pouvons choisir cette fonction R de telle façon que Z" prenne des valeurs dilTérentes au point double sur les deux branches de courbe qui s'y croisent. Dans ces conditions, on n'aura pas

dV

et, par conséquent, si h" est la fonction qui joue par rapport à Z" le même rôle

que u par rapport à Z', u" ne deviendra pas infinie au point correspondant.

On peut d'ailleurs toujours supposer que la courbe /= o ne présente d'autre

singularité que des points doubles ordinaires. Si, au contraire, le point :; était

un sommet de Ro, appartenant à un cycle de deuxième ou de troisième espèce,

toutes les dérivées

d7. d'L dV Tz' lï" ~dû

5l8 LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET L'ÉQUATION Lu = e" .

seraient nulles à la fois et toutes les fonctions

deviendraient infinies à la fois.

3° On aura

quand on aura Mais si l'on pose

Z = oc.

et si u" est la f(5nctlon qui joue par rapport à Z" le même rôle que (/ par rapport

à Z, on aura

et. par conséquent, on n'aura ni

dV

En résumé, si la fonction fuchsieiine est de première espèce, c'est-à-dire s'il n'y a pas de cycles de deuxième et troisième espèces, les fonctions

II, u', >t°,

ne peuvent devenir infinies à la fois.

Dans le cas général, ces fonctions ne pourront devenir infinies à la fois qu'aux différents sommets des divers cycles de deuxième et de troisième espèces.

Examinons maintenant ce qui arrive en un sommet d'un cycle de deuxième espèce.

Si la somme des angles du cycle est — et si a est un sommet de deuxième espèce et A la valeur correspondante de Z, la fonction fuclisienne

sera développable suivant les puissances de z — a, et le développement commencera par un terme en (g — a)". Le développement de -7-- commencera donc par un terme en. [z — a)"~' ; il vient donc

log(Z — A)= /ilog(2 — a) + Q,

log^ =(n-i)log(--a) + Q',

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET LÉQUATION A« = e«. Sig

Q et Q' restant finis pour z- ^ a, et, par conséquent,

dZ - Il — I , , „ „

log^ = — ;;— log(Z - A ) + Q",

et enfin

log-j— = .iog(Z„— A„) + Q^

azo n

u = log I Z — A I -+- 7,

Q'i Qo ^t 7 restant finis pour z = a. J'ajoute que q est développable suivant

les puissances de Z — A, Z,, — Ao, \/(Z — A) (Zq — Aq).

Passons aux sommets d'un cycle de troisième espèce; on aura alors, dans le

voisinage de ce cycle,

— ! — = 4/(Z)+ 6 log (Z — A), z — d

b étant une constante el '|i une fonction développable suivant les puissances de Z — A. On tire de là

dz d'où

log^ = log(Z — A ) — 2 log(i — rt) + Q,

Q désignant une quantité qui reste finie pour :; = a. On aurait, de même,

log-r-2 =log(Zo— An) — 2log(jo— «o)-+-Qo,

Qo restant fini pour ; = (t; comme le sommet a est sur le cercle fondamental, on a ««0=: 1 et, par conséquent,

M = — 2log| Z — A| -h 2 log '-^^-^ — -1- q,

q restant fini pour ; =a.

Observons maintenant que l'on a identiquement

(t '"l\('r " „ \ = ^ :; "•" T V -+-!=«* l0g(Z — A)-+- CTo^O log(Zo — Ao) + 7',

«jr' restant fini pour z ^ a.

Mais il est aisé de vérifier que le produit ab doit être réel, de sorte que

ab — a^b^

5àO LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION ^ll = e".

et

,, ^^7-""" , = iaè logl Z - A I + y' = - logl Z - A I er,

q" restanl fini pour ; = a.

IVous tromons rl(inc oiiriii

u = — 2 log| Z — A I — 2 log logl Z — A I — ïq" -¥- q.

Plus précisément, nous aurons

,/ =2log| Z — A I — 2log(log| z — A 1-4-4-) -(-<p,

'i et es étant holoniorphes en Z — A et Zq- — Ao- Ainsi donc :

1° Dans le voisinage d'un sommet de la deuxième espèce, la différence

reste linie ou, plus exactement, toutes les différences

u H logl Z — A |, u -\ logl Z — A I, M H logl Z — A I

ne peuvent pas devenir infinies à la fois.

2" Dans le voisinage d'un sommet de la troisième espèce, toutes les différences

u + 1 logl Z — A I -H 2 log logl Z — A |,

(/'+ 2 logj Z' — A' I + 2 log logl Z' — A' I, «"+ 2 logl z — X" I 4- 2 log logl Z"— A" |.

ne peuvent |)as devenir infinies à la fois.

Il importe de se rendre compte de la raison de cette ditTérence entre les

sommets de la deuxième et de la troisième espèce.

Soit ^^=x-+y-, et supposons, pour simplifier, que u soit fonction de p

seulement; l'équation

à M = 8 e" peut alors s'écrire

, , d- Il I du

Supposons que l'on veuille intégrer par approximations successives de la

LES FONCTIONS l'rCIISlE?<NES ET LÉQI'ATION ^U = C" .

façon suivante; nous prendrons

d- Uo I cluo dp- p ap

d^u, I rf«t

rfp2 p dp

d^ U-2 I rfM»

rfp2 p ^p

«^2^(3 I dU}

do' p <^p

= 8(e"ii+"i — e"o),

Bornons-nous aux deux preuiières approximations; nous aurons, par

exemple,

f<o = />logp, e'h=pi',

L'expression de u, devient illusoire pour^^ — 2, et l'on peut en conclure que l'équation (4) ne peut avoir d'intégrale de la forme

u = 2 logp -I- V,

V restant lini pour p = o; elle en a une, au contraire, de la forme

Il = p log p -T- c

si p n'est pas égal à — 2.

En revanche, l'équation (4) admet pour intégrale

a = — -2 log p — 2 log logp — logj.

Je me contenterai de cet aperçu qui suffit pour faire comprendre la ditlerence entre le cas des sommets de la deuxième espèce qui correspond à p différent de — 2, et celui des sommets de la troisième espèce qui correspond h p ^= — 2.

La variable ,: est le rapport des intégrales d'une certaine équation fuchsienne

qui correspond à l'équation (i^ du paragraphe précédent. Si le « type i> de cette équation est donné, on connaîtra :

5a2 LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET I-'ÉQUATION \ll = 6".

1° La relation algébrique

fil. Z') = o;

2° Les valeurs A de Z qui correspondent aux divers cycles de sommets, soit de la seconde, soit de la troisième espèce ;

3° Le nombre entier 71 relatif à chacun des sommets de la seconde espèce.