III. — Surfaces de Klein
M. Klein a Imaginé un mode de représentation des fonctions algébriques dont l'emploi peut nous être utile.
Considérons une courbe algébrique délinic par l'équation
On peut construire une surface fermée, et de telle façon qu'à tout point réel ou imaginaire de la courbe (2) corresponde un point réel de la surface et un seul. Cependant, à un point double de la courbe (2) correspondront deuxpoints réels de la surface, appartenant respectivement aux deux branches de courbe qui se coupent au point double.
Nous supposerons, d'ailleurs, que les coordonnées du point de la surface sont des foncti(jns continues des coordonnées du point correspondant de la courbe, et même que ces fonctions continues ont des dérivées de tous les ordres.
Les surfaces de Riemann ne sont que des cas particuliers des surfaces de Klein; une surface de Klein se réduit à une surface de Riemann quand elle est infiniment aplatie et réduite à un certain nombre de feuillets appliqués sur un plan. *
Mais nous devons faire une distinction et séparer les surfaces de Klein isotropes des surfaces de Klein a ii isotropes.
Une surface de Klein sera dite isotrope si le mode de correspondance entre les |ioints de la courbe et ceux de cette surface esl telle que la représentation du pli\u des Z, sur la surface de Klein soit une représetilation conjonne. Aux dlfFérents points du plan des Z correspondent diflerents points de la courbe (2) et, par conséquent, diflerents points de la surface de Klein; cette correspondance définit une transformation d'une région du plan des Z dans une région de la surface de Klein; pour que la surface de Klein soit isotrope, il faut que cette transformation conserve les angles.
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION \U = e" . 5a3
Nous pourrions ne nous servir que des surfaces isotropes; les travaux de MM. Schvvarz et Klein permettent, en effet, d'affirmer que les différents points d'une courbe algébrique quelconque peuvent toujours èlre représentés sur une surface de Klein isotrope.
Mais il est préférable de ne pas s'imposer celte restriction, ce qui ne compliquera pas beaucoup notre analyse; et, en effet, on sera dispensé de s'appuyer sur le théorème que je viens de citer et dont la démonstration est assez longue.
Au contraire, on peut pour ainsi dire regarder comme évident que, si l'on se donne une courbe (2) quelconque de genre p et une surface fermée quelconque 2p + 1 fois connexe, on peut faire correspondre d'une façon univoque les points de la courbe à ceux de la surface.
Ainsi, l'on pourra faire correspondre d'une façon univoque les points réels d'une sphère et les points imaginaires d'une courbe unicursale quelconque ; ou bien les points réels d'un tore et les points imaginaires d'une courbe de genre 1 quelconque.
Précisons la nature de la correspondance.
ÏNous pouvons, sans restreindre la généralité, supposer que la courbe (2) n'a d'autre singularité que des points doubles ordinaires et qu'elle se comporte régulièrement ii l'infini, c'est-à-dire que ses directions asymptotiques sont toutes distinctes et ntm parallèles aux axes.
Cela posé, soit M un point de coordonnées courantes sur la surface, correspondant au point Z, Z' de la courbe; soit P un point de la surface de Klein,
correspondant au point
de la courbe.
Si la distance MP est très petite et si au point
on n a pas
dZ="'
la distance MP est du même ordre de grandeur que | Z — A | Si, au contraire, on a
df mais si l'on n'a pas
rfZ=°'
df
324 LKS FONCTIONS l'UCIlSIENNES ET l'ÉQUATION ^U = 6" .
la distance MP ne sera pas du même ordre de grandeur que ] Z — A ]; elle sera, en général, du même ordre de grandeur que le carré de | Z — A | el en tout cas du même ordre de grandeur que ] Z' — A'|. Si l'on a à la fois
dl ~ dZ' ~ '
c'est-k-dire si le poinl Z = A, Z'= A' est un point double de la courbe (2), la distance MP ne sera plus du même ordre de grandeur que |Z — A| ou que I Z' — A'|; mais nous pouvons poser
R (■tant une fonclion ralionn(dle de Z et Z' dont le numéraleiir el le dénominateur s'annuleal au point double.
Si A" est l'une des deux \aleurs que prend Z" au point double el celle précisément qui correspond au point 1^, la dislance MP est du même ortire de grandeur que | Z" — A"|.
Si enlin le point P correspond à un point à l'infini de la courbe (2), la distance MP est du même ordre de grandeur que =• •
Considérons maintenant une fonction u des coordonnées du point M ; le point M correspond à un point du plan des Z dont les coordonnées sont X et Y, parties réelle et imaginaire de Z. Alors u est aussi une fonction de X et \.
Soient f/S un arc infiniment petit dans le plan des Z et dv l'arc correspondant sur la surface de Klein ; soient dQ une aire infiniment petite dans le plan des Z et c/io l'aire correspondante sur la surface.
Par l'extrémité Z de l'arc c?S, je mène un arc infiniment petit ZZ, normal a. dS el dont la longueur sera f/N.
Soit MM, l'arc infiniment petit de la surface de Klein correspondant à l'arc ZZ, et aboutissant, par conséquent, à l'extrémité M de l'arc d<7.
Supposons d'abord la surface de Klein isotrope; alors, si j'appelle dn la longueur de l'arc MM,, l'arc MM, sera normal à d<j et l'on aura
^ ^ 5n' dâ
Soit u la valeur de la fonction (/ au point M, ou, ce qui revient au même, au point Z et
du , du ...
-T- dn = « H — 7^ rfN dn rfN
LBS FONCTIONS FOCnSIENNES ET l'ÉQI ATIOX ^ll = e" . 525
sa valeur au point M, ou, ce qui revient au même, au point Z, . On aura
du , du ,
Le théorème de Green, appliqué dans le plan des Z, nous donne (3) Jiudii=J^dS,
ou, en considérant deux fonctions u et r,
r , f du .„ f/du dv du dv\ ,^
Les intégrales sont étendues soit à tous les éléments r/Q d'une certaine aire plane, soit à tous les éléments dS du contour qui limite cette aire. Les fonctions H et V sont supposées continues, ainsi que leurs dérivées du premier ordre.
Posons maintenant
D u = Xu -rdu)
et
de telle sorte que
^ , / du dv du dv \ dQ
Les équations (3) et (4) deviennent alors
(3 his) j l) u dià = / — d<j,
( 4 bis ) I V T> u dw = I V -j- rfa — / E ( u, v ) do).
Ces équations représentent le théorème de Green étendu à la surface de Klein; mais la première est susceptible d'une interprétation physique remarquable. Supposons que u représente la température d'un point de la surface; alors -jreprésentera la dérivée de cette température estimée suivant la normale à l'arc ûÎt.
Si la surface est supposée conductrice et qu'elle soit homogène et isotrope au point de vue de la conductibilité calorifique, le produit
du ,
-j-dn
dn
526 I.ES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉOUATION Am = e" .
représentera le llux de chaleur qui traverse l'élémenl cIt pendant l'unité de temps, pourvu que l'on choisisse convenablement les unités.
L'intégrale
du ,
représente alors la quantité de chaleur qui entre dans l'aire / (Im à travers son contour.
L'expression D»û!to représente donc la quantité de chaleur cédée à l'élément de surtace (Im par les éléments voisins de la surface.
Supposons maintenant la surface de Klein anisotrope.
D'abord l'arc MM, ne sera plus normal à l'arc d<7.
Si l'on considère sur le plan des Z un cercle iniininient petit ayant pour
centre le point Z, la figure correspondante sur la surface de Klein sera une
ellipse infiniment petite, ayant pour centre le point M. Alors les tangentes à
l'arc MM, et à l'arc d<7 seront deux diamètres conjugués de cette ellipse.
Nous n'aurons plus alor^
MMi d<s
mais nous pourrons poser
et nous aurons
dN ~ dS' du
MM
dS i' du
a' et b' étant les longueurs des diamètres conjugués de notre ellipse qui sont dirigés respectivement suivant les tangentes à MM, et à dv. Ayant ainsi modifié la définition de dn^ nous aurons
du , du ,„ dn dN
Nous conserverons les définitions de Dm et de E(m, r) et nous retomberons sur les équations (3 bis) et (4 bis).
L'interprétation physique subsiste; si, en eflet, la surface est supposée conductrice, mais que la conductibilité ne soit pas isotrope, le flux de chaleur qui traverse l'élément dir sera encore représenté par le produit
du , la définition de d/i avant été modifiée comme nous venons de le dire.
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION ^U = e" . 5iy
L'équation (3 bis) entraîne comme conséquence
/ D a doi = o,
quand l'intégrale est étendue à la surface de Klein tout entière; et, en eflet, cette surface est fermée.
L'interprétation physique de cette équation est évidente : la conductibilité de la surface amène des échanges de chaleur entre ses diverses parties, mais ne peut altérer la quantité totale de chaleur que possède la surface entière.
