IV. — La fonction U
Nous considérons diverses quantités
toutes fonctions rationnelles de Z, Z', et les fonctions correspondantes
ti, u', u",
telles qu'elles ont été définies dans le paragraplie II.
Posons maintenant
dQ
gt gM ^.
dw
On en conclurait, si la surface de Klein était isotrope,
ds''-
eV :
Dans tous les cas on aura également
dOJ
e^ = e" -5— , dm
l'aire dÇi' étant Taire du plan des Z' qui correspond à Taire dO. du plan des Z ; et, en eil'et, Ton a
„ds^ „, ds^ dil dS-^
^"~dS^' ''" ~ dS^^' do' "dS^^'
On aurait de même
I, „ da" do>
La définition de la fonction U est donc indépendante du choix de la fond-
5ï8 LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉOI'ATION A« = e".
tioii Z parmi les diverses fonctions
11 vient alors
D « = Aw -=- = 8 e" -^ = 8 e^' aw au)
et enfin
DU = 8ei'+DIog^; ao)
comme Dlog-j^ est une fonction connue que je puis poser égale à — <I>, je puis écrire
(i) DU = 8ei'— *.
La définition de U ne dépendant pas du choix de Z, on devra avoir
, ^. dQ y., do.' du"
— "I» = D log-9— = D log-r- = D log— ; — = . . . ° diM " dtu " rfo)
et par conséquent
r,, dii' ^ , diï
Dlog^=o, Alog^ = o,
ce qu'il est d'ailleurs aisé de vérifier.
Je dis maintenant que la fonction <I> ne peut devenir infinie. En effet, elle ne peut cesser d'être finie que si log -5— est infini, c'est-à-dire si
/=« ou ^ = 0.
Alais il faudrait en même temps que
ce qui entraînerait
dQ'
y. df
A = X ou -^ = o.
dL
11 n'y a donc de doute que pour les points de la surface de Klein qui correspondent aux points à l'infini ou aux points doubles de la courbe
Mais il faudrait encore que, pour toutes les fonctions Z", on eût
, dQ-
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATIOX A(( = G". Sîg
Or c'est ce qui n'arrive pas, pour un point à l'infini, si l'on fait
ni pour un point double, si l'on fait
le numérateur elle dénominateur de R s'annulant à la fois au point double.
La fonction •!> est donc toujours finie. c. q. f. d.
Que dire maintenant de la fonction U.
Si on laisse de -côté les points de la surface de Klein qui correspondent à un
sommet de deuxième ou de troisième espèce du polygone Rq, on pourra trouver
une fonction Z' telle que
, do."
u et lOg-;—
soient finis. J^a fonction U est donc finie.
Si la fonction fuchsienne est de première espèce, la fonction U sera donc finie sur toute la surface de Klein et elle sera définie par l'équation
(i; Di: = SeL— *.
Supposons maintenant que a soit un sommet de deuxième espèce de Ro et soient A, A', A" les valeurs correspondantes de Z, Z' et Z" et P le point correspondant de la surface de Klein.
Aous pourrons supposer que l'on a choisi la fonction Z" de telle sorte que
dû reste fini ; alors la diftérence
* dM
— - — log|Z -A I
et, par conséquent, la difl'érence
U-+- — ^logMP
resteront finies.
Une observation cependaiil ; lorsque Z" tend vers A", l'expression
n+— ^logi:Z"-V'l
53o LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION A« = e".
tend vers une limite iinie et déterminée; mais quand le point M se rapproche de P, l'expression
à moia s que la surface de Klein ne soit isotrope) reste finie, mais ne tend pas vers une limite déterminée; sa limite dépend de la direction <le la droite MP. Si p est le rayon d'un cercle très petit situé dans le plan des Z" et e le diamètre de l'ellipse correspondante de la surface de Klein dont la direction est la même que celle de MP, c'est l'expression
1>l — 2 , p. MP U H log
qui tend vers une limite déterminée quand MP tend vers zéro. Posons
il viendra
— iog|Z" — A"|,
J.yf 2-2/1 Jqw
diî ' ' da
On voit que la fonction r" satisfait à une équation de la forme
dQ
où 9 est une fonction donnée, constamment positive, mais devenant infinie pourZ"=A'.
Posons maintenant
. da"
Si nous conservons aux lettres 9 et <I> leur signification
înUl do"
0=8|Z"-A"| « ; * = — Dlog-^,
il viendra
Au poiui P (correspondant au point Z"=A"). la fonction f| deviendra infinie, mais V^ et <l> resteront (inis. ^ Envisageons de même un sommet de la troisième espèce; nous choisirons u"
de telle laçon que
u" -¥- -1 iog| Z"— A" I -f- i log logl Z" — A" I
LES FONCTIONS FUOHSIENNES ET LÉQUATION \u = 6" . 53l
[•este (îni el nous poserons
v" = h" -4- 2 logl Z" — A" I -f- 2 log Iog| Z" — A" I, 0 = 8| Z"- A" |-2 log-2| Z'' A" |.
Nous aurons alors
A..-'=A.-+2àloglog|Z"-A-'| = g(8e'r , y,,^ ^,„ ,, .^g, ^ y,, ^„ ,
et, SI nous posons encore
rtOJ
ii viendra
Nous sommes ainsi conduits à rliani;er la déllnition de U. Nous poserons
U = „^-log— ^/,,
où II est une fonction uniforme qui reste finie en tous les points de la surface de Klein, sauf aux points qui correspondent à des sommets de deuxième ou de troisième espèce de Pi,,.
En un sommet de la deuxième espèce, la difTérence
h ;;— 'ogl ^■ — A"|
devra rester finie; en un sommet de troisième espèce, la difTérence
/( — ■>. log I Z"— A" I — ■' log logl 7; — A" I devra rester finie.
Nous pourrons toujours choisir la fonction h de façon à satisfaire à ces conditions et même de telle façon que la fonction h en dehors des sommets de deuxième et de troisième espèce, et les fonctions
h — VLilJ: logl Z"- A" I ; A - 2 logl Z"- A" | — 2 log log| Z"- A" |
dans le voisinage de ces sommets, que ces diverses fonctions, dis-je, aient leurs dérivées de tous les ordres finies et continues.
Dans ces conditions . la fonction U sera toujours finie el elle satisfera à V équation
DU = 8 e' e-i> -f- D lo^ ^ -4- D/(,
532 LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET LÉQUATION ^ll — e" .
OU, en posant
à V équation
(ibis) DU = 9eU<j>.
Les fonctions 0 cl <I> sont des fonctions données: la première est toujours positive, elle ne peut jamais s'annuler; elle ne peut devenir infinie qu'aux sommets de deuxième et de troisième espèces; la fonction <I> ne peut devenir infinie qu'aux sommets de troisième espèce.
Aux sommets de deuxième espèce, 9 devient infinie comme
Aux sommets de troisième espèce, 9 et <I> deviennent infinies comme
(|Z"-A"|log|Z"-A''|)-î. Le rapport
1) reste donc fini; la limite de ce rapport est d'ailleurs égale à
elle est donc positive.
Ainsi, s'il y a des sommets de troisième espèce, la fonction $ peut devenir infinie, mais infinie positive; elle n'a donc plus de limite supérieure, mais elle a toujours une limite inférieure.
