V. — Maxima et minima

La propriété fondamentale de l'expression D« est la suivante : Si la (onction M est maxima, Dm est négatif; si la fonction u est minima, Dm est positif; ce qui signifie, au point de vue physique, qu'un point où la température est maximum peut céder de la chaleur aux points voisins, mais ne peut en recevoir.

Examinons la chose d'un peu plus près, et pour cela reprenons l'équation (3 bis) du paragraphe III

{'ibis) jDudoi=l-^d-y.

Si au point P la fonction u est maximum, dans le voisinage de ce point, les

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET 1,'ÉQUATION \tl = e" . 533

courbes u = const. seront de petites courbes fermées s'enveloppanl mutuellement et enveloppant le point P.

L'intégrale / 77- '^^i prise le long d'une de ces petites courbes, sera toujours

du ■ . . • i'

négative, car -r- sera toujours negatii.

L'intégrale / Dw c/w, étendue à l'aire limilée par une de ces petites courbes,

sera donc négative.

Il faut donc qu'à l'intérieur de chacune de ces petites courbes u puisse prendre des valeurs négatives et, comme je puis supposer cette courbe aussi voisine du point P que je le veux, on pourra trouver, aussi près du point P qu'on le veut, des points oîi Du sera négatif.

Si la fonction Du est continue, elle ne pourra pas être positive en P; elle pourra s'annuler en P, mais à la condition qu'il y ait dans lexoisinage de P des points où elle est négative. Il peut se faire que Du devienne infinie en P, mais toujours à la condition qu'il y ait dans le voisinage de P des points où elle soit négative.

Il convient toulefois de s'assurci- que, si Du devient infini, l'intégrale

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reste finie. C'est ce qui arrivera dans le pioblème qui nous occupe.

Nous avons vu que, aux sommets de la deuxième espèce, DU devient inlini de l'ordre de