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et l'on vérifie aisément que ces deux intégrales sont finies.
534 LES FONCTIONS KUCHSIENNES ET L'ÉQUATION Ah = 6".
Considérons alors l'équation
DU = e gi' — *.
Je suppose que 9 est toujours positif et ne peut s'annuler; je supposerai en outre que 9 et <5 sont toujours iinis (c'est ce qui arrive, comme nous l'avons vu, clans le cas des fonctions fuchsiennes de la première espèce).
Eufin, je supposerai d'abord que <I> est toujours positif et ne peut s'annuler.
Alors 9 et <ï>,ne pouvant ni s'annuler, ni devenir infinies, admettront chacune un minimum 9,, et '&„ et chacune un maximum 9| et <I>| ; toutes ces quantités sont j)ositives.
D'autre part U', étant fini, am-a un maximum [] , et un minimum Uo.
Pour le maximum, on aura
DU<o et, par conséquent,
OeiJ,i|><;o, ou (I foitiori
Oofi^'i — *i<o.
Pour le minimum, on aura
DU > o,
il'où
ou a /orliori
0, pli,, <!.„> o.
La fonction U satisfera donc toujours aux inégalités
(1) liig*!,— Iog0,< U < log<I>i— Iog0„.
On peut obtenir des limites plus rapprochées en considérant le rapport -^;
les inégalités
Bei'i — <i><o, 0 6-ii> — <t> > o
montrent que e^ reste toujours compris entre le miniuium et le maximu de-.
Ce résultat serait illusoire si <ï> n'était pas toujours positif.
Supposons maintenant que <I> ne soit pas toujours positif, mais qu'on puisse trouver une fonction /, , telle que
<I>-t- Dt)
soit toujours positif.
Posons alors
l'équation de\ ient alors
DV = eeOeV—*— Dr.
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET L'ÉyUATION ^U = g". 535
Les fonctions He'^', <I> + D-ri étant toujours finies et positives, les résultats précédents peuvent s'appliquer, et l'on voit que e^ reste toujours compris entre le maximum et le minimum de
<{) + Dr,
Si donc Yio et y,, sont le minimum et le maximum de yi, et si vq et i^( sont le
minimum et le maximum de
<!>-;- Dï)
— Ô ' on aura
(2) Çoe''i«-'l'<e''< Çi c'O'--')».
Si 0 et <I» peuvent devenir infinis, les résultats précédents subsistcnl-ils ? Dans les cas dont nous aurons à nous occuper, B ne pourra devenir mlini qu'aux sommets de deuxième et de troisième espèces et <!> aux sommets de troisième espèce.
Dans tous les cas, l'expression
(3> et--
restera Unie et déterminée; cette expression devra être négative pour les maxima (sans qiLoi DU ne pourrait devenir néf^atil ilans le voisinajje du point correspondant au maxiiniim) et positive pour les minima.
Si donc <I> est toujours positif, e^ sera toujours compris entre le maximum cl le minimum de ■;- •
Si «ï> n'est pas toujours positif, mais si <1> -r Dr, est toujours positif, les inégalités (2) subsisteront.
Envisageons maintenant l'équation
(4) DV = eeiV — '}/.
Soient V ( et \ o le maximum et le minimum de \ ; on devra avoir
«guy, — iK 0,
eel'V„-4;>o,
ce qui montre que V reste compris entre le maximum et le minimum du rapport
Jl
6eU' Comme Ôe"^ est essentiellement positif et ne peut s'annuler, ce résultat
536 LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION A« = 6".
reste vrai, soit qno i soit conslaiiiinenl positif, soit que <]> puisse chan^'er de signe.
Il reste vrai encore et n'est pas illusoire, quand 6 et même quand 'ji peuvent
devenir infinis pourvu que le rapport ^ demeure fini.
Je dis maintenant que l'équation (4) ne peut admettre deux solutions; si elle en admettait deux, V et V, la différence \^ — V satisferait à l'équation
D(V — V')= eei'(V— V).
Cette équation est de même forme que (4), mais A est nul. Sont donc également nulles la limite supérieure et la limite inférieure entre lesquelles peut varier V — V, d'après ce que nous venons de voir-. Donc
De même, l'équation
DU = 0 ei' - *
ne peut admettre deux solutions, car si elle en admettait deux, U et U + V,
on aurait
DV = eei'(eV,).
.Si V, et V(| sont le maximum et le minimum de V, on devrait a\oir
d"où
V,L:0, V„io, V,2Y£Vo,
ce ipii enlraïur
Y| = V = Vo= <). I • t> F- u-
