VI. L'équation L)(/ = o

,Tr me propose d'intégrer l'équation

où u est la fonclidu inconnue qui doit être finie el continue ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres, et la fonction^ qui est donnée. C'est comme si l'on demandait la température finale de chaque point de la surface, en supposant qu'elle ne cède pas de chaleur au dehors par rayonnement, mais que chaque élément diù de la surface est le siège d'une source de chaleur produisant dans rniiili': île I(,mii|)-' nue quantité de chaleur — or/w.

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION A!< = e" . 537

Pour que le problème soit possible, il faut d'abord que (2) / <fi diii = o,

rintégrale étant étendue à la surface entière. En effet, nous avons trouvé plus haut

D II dtx) = o

et, d'ailleurs, l'équilibre thermique n'est évidemment possible que si la quantité totale de chaleur fournie par les sources est nulle.

Supposons cette condition remplie. Pour résoudre notre problème, nous allons introduire une fonction qui jouera le même rôle que la fonction de Green dans la théorie du potentiel.

Reprenons la courbe algébrique

qui est la même que la courbe (2) des paragraphes précédents. Considérons l'intégrale abélienne

J = TrCZ, Z')o?Z,

où R est une fonction rationnelle de Z et de Z'. Soient alors

(Z= Zo, z'= z;,), (z= z„ z'= z;),

quatre points analytiques pris sur la courbe (3). Les deux premiers (Zj, Z^), (Z|, Z',) seront les limites inférieure et supérieure de l'intégrale (4).

Cette intégrale elle-même sera une intégrale abélienne de la troisième espèce admettant pour points singuliers logarithmiques les deu\ points analytiques

Donc, sauf aux points analytiques (Uo, ^''„)i (U|, U',), la fonction J sera holomorphe; dans le voisinage de (Uo, U^), la différence

J-+-log(Z,- U„) — log(Z„— Uo)

et, dans le voisinage de (U,, U',), la différence

J-log(Z,-U,)-*-log(Zo-Ui)

seront holomorphes en Z, et Zq.

H. P. - II. fis

;")38 LES FONCTIONS KUCHSIENNES ET l'ÉQI ATION Xll = C" .

Pour achever de définir l'intégrale { \), nous supposerons que les parties réelles de ses 2p périodes cycliques sont nulles.

L'intégrale .T ne change pas quand on permute les deux points analytiques

(Zo, Z'„), (Zi, Z,) avec les deux points analytiques

(u„, u;,), fLi,, u'i).

C'est le résultat bien connu dans la liiéorie des fonctions abéliennes sous le nom de Verlauschung von Parameter uncl Argument.

Je désign^erai par M, P, M,, P, les points de la surface de Klein qui corresp(iii<lenl aux quatre points analytiques

et par

la partie réelle de l'inlcgrale J.

On voit que

G, G-hlog

G — los

seront des fonctions harmoniques de X et "1 (si l'on pose Z,:=X + /\ j, la première pour tous les points analytiques sauf pour Uo et U|, la seconde dans le voisinage de U„, la troisième dans le voisinage de Ui-

Observons enfin que la définition précédente devrait être modifiée si l'un de nos quatre points analytiques venait en un point de la courbe (3) où

dZ

dZ

il conviendrait de remplacer alors par la fonction Z' la fonction L cjui joue le rôle prépondérant dans notre définition; ou liien encore, si l'un des quatre ]5oints analytiques venait en un point double de la courbe (3), il faudrait remplacer 'L par

P et O étant deux poh nomes entiers s'annulanl lou? deux au point doul)lc.

Soient diù et c/to, deux éléments quelconques de la surface de Klein; soient M il M| le-, ceiilres degraxili' i\^' ics (■liMucnls ; soient P et Pj deux pointsyf.re.v

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET LÉQUATION \u = e". 53lJ

quelconques sur la surface de Klein. Soit tp, une fonction quelconque des coordonnées du point M,.

Considérons l'inlégrale

(5) p= TgCM, P; M,, Pi)9, rf<o,,

étendue à tous les éléments du), de la surface de Klein. C'est une fonction des coordonnées du point M.

Je dis d'abord que cette intéorale est finie, si la fonction '^, est finie elleniènie. Et, en efTet, la fonction G ne peut devenir infinie que si le point M, vient en M ou en P (elle s'annule si M se confond avec P et, par conséquent aussi, à cause de la Vertauschiing , si M, se confond avec P,); mais, si M, vient en M ou en P, la fonction G de\ ient infinie logaritlimiquemcnt, de sorte que notre intégrale reste finie et déterminée.

Pour pousser l'étude plus loin, je divise la surface de Klein en deux régions, l'une S' réduite à une petite calotte entourant le |ioint .M, l'autre S" comprenant le reste de la surface, et je pose

v' et c" représentant la uième intégrale étendue respectivement à S' et S".

Je suppose que le point 1\I ne se confond ni avec P ni avec P, .

Considérons d'abord l'intégrale f"; si M, reste dans la région S" qui ne contient pas le point M, les trois distances MAI,, MP, MP, restent finies et l'on peut assigner une limite supérieure à la fcmclion G et à chacune de ses dérivées.

L'inlégrale

H 'i 1 dw I

où H est une dérivée quelconque de G, est non seulement finie, mais uniforméme/il convergente. Nous pouvons donc a|)pliquer le procéilé de la dlflérenliation sous le signe / et nous voyons d'abord que toutes les dérivées de i'" sont finies.

Il vient ensuite

Dr"= I DGtpic^w, = o,

puisque

DG = o.

Considérons maintenant r'; la portion S' de la surface étant très petite pourra

540 LES FONCTIONS FUCHSIENNKS KT l'ÉQUATION Ak = e".

être représentée d'une façon univoque sur le plan des Z et nous aurons

.=jG,.g...,

dQf étant l'aire de l'élément du plan des Z correspondant à l'élément d(x>, de

la surface de Klein et l'intégration étant étendue à tous les éléments dû, de

la portion du plan des Z qui correspond à la région S'.

Mais on a

G = log|Z,-Li,| + H,

H étant une fonction harmonique de X et de \. Nous aurons alors

dQ, '

'''i = / log] Z,— U, \(f:

/, , dw 1 , ""'^^dé/'-'^-

Nous voyons d'abord que l'on peut appliquer à l'intégrale r'^ le procédé de la différentiation sous le signe / , de sorte que toutes les dérivées de i\ sont

finies; d'ailleurs on a

, /" ,, dm, ,„ APj = / ah tp, -^ rfû, = o,

d'où

Easuite les propriétés du potentiel logarithmique nous apprennent : 1° Que (''i est fini ainsi que ses dérivées des K premiers ordres, si o, est fini ainsi que ses dérivées des R — i premiers ordres; 2° Que

^'^^-■'"■'fdU'

dm , , , dm, , , . -^w

(p et -T^r représentant les valeurs que prennent », et -j— quand le point i\l|

vient en M. On en conclut

D p , = — 2 irtB.

En résumé, i' est fini ainsi que ses dérivées des K premiers ordres et es est fini ainsi que ses dérivées des K — i premiers ordres, et l'on a

D f = 2 Tttp.

J'ai supposé que M ne se confondait ni avec P, ni avec P,.

LES FONCTIONS FICHSIENNES ET l'ÉQUATION Ak = e" . 541

Si M se confond avec P, G et p' sannulent.

Il me reste à faire voir qu'aucune singularité ne se présente quand M se confond avec P, , et pour cela je vais montrer que l'intégrale c ne dépend pas de la position du point P, .

Si nous remplaçons P, par un autre point Po. (' se change en

/"g(M. P; Ml, P.J-^idio,.

Puisque

G(M, P; M,, P,) = G(M, P; Mi, P,) — G(M, P; P,, P,),

je vois que i^' a augmenté de

rG(M, P; P,, P,)(f, f/io,= G(M, P: P,, P-J^^o, rft..,.

Or cette expression est nulle à cause de lu relation (^:>). Donc r n"a pas changé. c. y. F. u.

En résumé, la solulioii de réquation (i) nous est donnée par la formule (6) (/ = ^- rG(M, P; M|. P,;9, </w,.

La solution donnée par Téquation (G) n'est pas unique; on peut évidemment j ajouter une constante arbitraire ; à part cela, il n'y en a pas d'autre.

Ce qui caractérise la solution particulière (6), c'est qu'elle s'annule au point P.

La solution (6) satisfait à une inégalité qui nous sera utile dans la suite.

Soient Y, une fonction quelconque, toujours positive, et ti, la valeur de cette fonction au point Mj. Soient

On aura évidemment

I « I < ( max. (Je I ■} I ) / ■! ^— •

L'intégrale

/^|Gh,cfu),

est une fonction de M; la fonction sous le signe / ne peut devenir infinie que dans trois cas : i° si le point M vient en M| ; 2° si la fonction yii devient infinie ; 3" si le point M vient en P, . '

Afin d'exclure ce troisième cas, je décrirai autour de P, une petite courbe