l9. LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET L EOl'ATION \u = e

teniiéc et je supposerai que le poiiil M ne pénètre pas à l'intérieur de cette courbe fermée.

Lorsque le point M est voisin de iM|, la l'onction G devient infinie de l'ordre de logJMM, ; en outre, je supposerai que la l'onction r,, devient infinie en certains points A c|ui correspondront aux sommets de la deuxième espèce, et cela

infinie de l'ordre de i\l| A " ; je suppose qu'il n'y ait pas de sommets de la troisième espèce et qu'en tous les autres points la fonction y), soit finie. Alors l'intégrale

est finie et même converge uniformément. Et, en elVel, dans le cas le plus défavorable, c'est-à-dire si le point M coïncide avec un point A et si AI, est très voisin de M, la fonction sous le signe / sera infinie de l'ordre de

MMT^logMM,,

et l'intégrale ne devienclra pas infinie. Nous pouvons donc assigner à cette intégrale une limite P' et écrire

(7) pt|<fl'(max. clc|4,|).

Cette inégalité est vraie pourvu que M ne pénètre pas à l'intérieur de la courbe qui entoure le point P,.

Mais nous avons vu que u ne dépend pas de la position du point P, et ne change pas quand P, vient en Po ; nous aurons donc

(7 bis) ' I " I < hl"(max. île | 'l-l),

pourvu que M ne pénètre pas à l'intérieur d'une petite courbe entourant Po. Si, alors, p est le plus grand des deux nombres p' et 'i", nous aurons

(8) |a|<!î (niax. de l'H),

quelle que soit la position du point M.

Ce résultat est vrai pourvu que la fonction f] ne devienne jamais infinie que

d'ordre 2 •< 2.

C'est une condition à laquelle satisfait la Jonction 9e'' quand il n')' a pas de somme! de troisième espèce.

LES FONCTIONS KUCHSIENNES KT l'ÉQUATION A(( = fi". 543