VII. — L'équation Du^^nu

Considérons l'équalion (i) Dii=z\t]u — tp — \^.

.le supposerai la solution iléveloppable suivant les puissances de A et je la mettrai sous la forme

a = (;/„+ Co) -+- X( «i-H Cl ) -i- X=( m, + c. ) -t- . . . .

Les c/i sont des constantes et les Ma s annulent au point P. J'aurai la suite d'équations

; Dko=— ?, l Dm, = -(](«o-+- Co) — 4/, (2) ( Dm2 = r,((<, -^-Cl).

/ DH3 = r,(«2H-C2),

Pour que la solution soit possible, nous devrons avoir

o = / tf do> = I [r,( u„-^ Co) — il] dw = / T, ( « , -f- C| ) rfw = . . . ,

ce qui nous donne la suite d'équations

c,i / r, dm = I '\i c/dj — / r, «„ rfoj, [ fo / f, (/tu = — / r, «2 û^iUi

Si ces conditKjiis sont supposées remplies, la lorinule (6) du paragraphe précédent nous permettra de calculer iio, "1, ■ • •• Ainsi, pourvu que l'on ait

niuis pou\ons calculer successi\eiiieiit, par les équations (a) et (3), d'abord «„,

|)UIS Co, Il \ , c, ■ '/j, C2, ■ ■ ■ ■

Sdicnt y, , yj, ... les masima de | "1 1. | '(.i|, ....

544 I-ES FONCTIONS FUCHSII'NNES ET l'ÉQUATION ^ll = 6".

5'(' la fonction r^ est supposée toujours positive, on aura

I c, [ I f] (Au < I r,\ /(, I rfio < Y, I T, rf(0,

d'où

et, lie luènie,

L'inégalilé (8) du paragraphe précédent nous donnera ensuite

Y2< [i(max. de | «,+ c'i |) < î^Yi et, de même,

Y3<'i[iY2. Ï1<2PT3,

La série

converge donc, pourvu que

el par conséquent, à cette condition, la série

converge uniformément.

Si u est la somme de cette série, u sera donc une fonction finie et continue des coordonnées de M.

Nous aurons, d'autre part (puisque la série converge uniformément),

/ T, (/ (Al) = / r, ( H„ + Co ) (/eu -r- X / /, ( M, + r, ) (/(U + . . . = o,

Nous piiuiroiis alors, par la formule ((>) tlu paragraphe précédent, trouver une fonction c t|ui satisfasse à l'équation

D i' = Xt; « — (i — h\i.

.le dis que cette fonction r est identique à u. Posons, en effet,

u = («o+co) + X(mi-+- Cl ) -4-. . .-i- '/."(u„-h r„) -4- B„,

(' = {uo~Co) -i-X(((i -h Cl) -)-...+ X«+'(!(„+i + c„+i) + S„;

Il \ icndra

DS„=Xr,R„.

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION Au = e" . 545

La série (4) convergeant uniformément, nous aurons

K étant une constante assignable; on conclut

|SJ< K(2X8)''+'.

Ouand n croît indéliniuieiU (z'kp)" el, par conséquent, | R„ | et | S„| tendent vers zéro. La différence u ■ — v est égale à

Elle tend donc vers zéro quand n croît indéfiniment et, comme elle ne dépend pas de 7(, elle est nulle. Donc u = r. Donc u satisfait à l'équation

Du — Xt, (/ — -O — A'!;. c. Q. F. D.

Cette démonsiratiou suppose que r, , tp, é restent finis ou ne peuvent devenir infinis qu'en certains points (qui correspondraient aux. sommets de la deuxième

espèce) et seuU'menl infinis d'ordre i <C 2.

]jar la remarque si

n Je terminerai iiar la remarque suivante :

Si, dans une certaine région de la surface de Klein, Y), es et '| sont finies ainsi que toutes leurs dérivées, il en sera de même de u.

Soit, en effet, Dt' ^ 6, équation que l'on peut intégrer par la formule (6) du paragraphe précédent.

Nous avons vu que, si, dans une certaine région, 6 est finie ainsi que ses dérivées des K premiers ordres, c sera finie ainsi que ses dérivées des K + i premiei's ordres.

Appliquons ce résultat à l'équation

D M = Xrj u — Xcp — \^.

Comme u est finie, le second membre est fini; donc u est finie ainsi que ses dérivées du premier ordre; donc le second membre est fini ainsi que ses dérivées du premier ordre; donc u est finie ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres, et ainsi de suite. ... c. q. F. d.

Supposons maintenant que l'on sache intégrer l'équation

546 LES FONCTIONS FUCIISIENNES ET LÉQIATION \tl = e" .

et proposons-nous trintégrer

(fi) Dk = (y, -t- ÀT,')« — tp.

Les deux fonctions /, et v)' sont supposées toujours positives.

Soit

(/ = r(|) + "A iii -i- A' «2 + • • -

l'équation (6) nous donnera la suite d'équations

/ D «0 = ', "o — 9i ' D», = r, Ui + "','«0, fl //» = y, (/o-l- '/"il

Les équations (7) étant de la forme (rî), nous saurons les intégrer et elles nous donneront successivement Hoi *'ii "2' •■■■

Les principes du paragraphe Y nous donnent les inégalités suivantes :

I u„ I < max. (le

U\ I < niax. de

«2 I < niax. de

Soient alors v/;. le maximum de | (//,[ et ,3 celui de — ; il viendra

■,'i<!3yo, Y2<(iYi^

Donc la série

(8) «„-l- ÀMi-f- À2«2 + . ..

conxerge uniformément pourvu que

J'ai supposé plus haut que nous savions intégrer l'équation (5); je précise cette hypothèse en disant que nous sa\ons l'intégrer quelle que soit la fonction », piiurvu (|uc le rapport - soit limilé. J'ai supposé aussi plus haut que le l'apport — a une limite supérieure, et c'est cette limite supérieure que j'ai appelée fl.

.Soit alors 11 la >oruuic de la série {^)', cette somme est linie: nous savons

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION A(t=e".

alors intéo;rer l'équation puisque le rapport

est limité.

Je dis que rintégraie v de celte équation est précisément égale à n. Soient, en effel.

i' = «0-+- Ji"]-^. ••+ ),"+'«„ + ! ^ S„ : (jn aura

DS„=r,S„^),r/R„.

Or

I l'i„ I < K(X3)", K étnril une conslaïue.

Les principes du paragraplie \ donnent ensuite

I S„ I < mas. fie

Ka[i)"+'.

Donc la dillérenc

tend vers zéro quand // tead vers l'infini ; elle est donc nulle et u = v.

On démontrerait ensuite comme pins liaul que si, dans une certaine région, 7i, cp et 7^' sont finies ainsi que toutes leurs dérivées, il en est de même de u. Considérons mainlenant l'écpiation

et posons

Les A sont des constantes positives; la tonchon », est assujettie à la condilidii iinKjue

mai'- elle e^l il ailleurs arbitraire.

Nous allons intégrer successivement les équations

D !( = Xi r, M — '^, — Xi ij/i , D H = X| Tf) « -i- X.2 r, H — Q , ('O) D !( = ( X, + X2)-riM + X3TJ K — a.

D« = (X,T- Xi-H. . .+ X,, -,)r|(/ -t- X,j-/;m — 9.

548 LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET L'ÉQUATION A;/ = e".

La première équation (lo) est de la forme (i); nous saurons donc l'intégrer, pourvu que

P étant la quantité qui figure dans l'inégalité (8) du paragraphe précédent.

Les autres équations (lo) sont de la forme (6); on les rend identiques à l'équation (6) en changeant

XiT) en Yi, T, en r{ , 1-2 en )., pour la 2' équation (10), (Xi + Xj)t) en r,, r, en 1)' . Àj en 1, pour la 3' équation (10).

I A| -t- Xs-h. . .-T- Xp i )») en r, ; r, en ï/, X,j en X, pour la />'"""^ équation (10). Nous saurons donc intégrer SMCces5Ùe»ie«/ ces équations (lo), pourvu que X,< ' , X3< —

niax.de t — ma\. de

iiia.'v. »n, -, i

ri (Xi + >'2)''-,

ou

X2<Xi, X3<Xi+X,, ..., X,,<X|+ X2 + ...-i-X;,i.

Or nous pouvons toujours satisfaire à ces conditions et aux relations

X, -)->,-+-... -h x^ = I, ^'<7fl'

en choisissant rentier^ assez grand.

Donc nous saurons intégrer Véquation (9), pourvu que :

1° Le rapport \— soit limite;

2° Que Tj soit toujours positif et ne s'annule pas ;

3° Que Ti soit partout fini ou ne puisse devenir infini qu'en un nombre

limité de points (correspondant aux sommets de deuxième espèce) et seule-

men t d 'ordre 1 <' 2 .

L'intégrale u est partout finie et continue.

Si, dans une certaine région, les fonctions données yi et to sont finies ainsi que toutes leurs dérivées, il en sera de même de u.

LES FONCTIONS FLCHSIENNES ET L'ÉQUATION \ll = fi". 549