VIII. — Extension aux sommets de troisième espèce

Les résultats précédents s'appliquent, pourvu que la fonction r, ne devienne infinie qu'en un nombre limité de points et seulement d'ordre 2 < 3.

C'est la condition k laquelle satisfait la fonction ^e^, s'il n'y a pas de sommets de troisième espèce. Mais aux sommets de troisième espèce, cette fonction 9e^ de\ ient infinie de la même manière que

X» log'x devient infini pour x = o.

Nous sommes donc conduits à examiner ce qui se passe quand, en certains points (sommets de troisième espèce), la fonction r, devient infinie et cela de telle sorte que le produit

r,\\K^ log^MK

tende vers une limite finie et déterminée quand le point M se rapproche indéfiniment du sommet de troisième espèce K.

Dans ce cas, l'intégrale

G I r, 1 dot 1

considérée à la fin du [laragraphe \l, n'est pas finie quand le point M vient en R; on ne peut donc pas lui assigner une limite supérieure P' ; on ne peut donc plus écrire l'inégalité (8) du paragraphe ^ I.

Si alors nous reprenons les équations (1), (2) et (3) du paragraphe VII, nous pouvons encore former les fonctions «<„, «1, Mo, ...; mais nous ne pouvons plus écrire les inégalités

ni, par conséquent, affirmer que la série

S =2 >>*("/. + a-) converge.

D'ailleurs, il est aisé de voir que

deviennent infinies au sommet de troisième espèce K et infinies respectivement

J3o LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET I.'ÉQUATIO.V ùilt = e".

du même ordre de grandeur que

ioglogMK, log-logMK, logMogAlK, ....

Néanmoins, nous verrons plus lard que la série S converge en tous les points de la surface de Klein, sauf aux sommets de troisième espèce, et que la somme de cette série tend vers une limite Unie et déterminée quand le point AI se rapproche de l'un de ces sommets.

On |inurr,iil dire, dans un langage abrégé mais peu correct, qu'aux sommet> de troisième espèce la somme de la série est finie, bien que ciiacun des termes soit infini.

Un exemple sim[ile fera mieux comprendre ma pensée.

-Soit À un nombre positif, et considérons la fonction x^; nous pouvons la développer sui\anl les puissances de X et écrire

Chacun des termes dev ient inlîni pour x ^= o, mais la somme de la série x^ reste finie.

On pourra donc encore intégrer l'équation (i ) du paragraphe \ II.

Mais, ])our (jlablir toutes ces propositions, nous rencontrerons bien des difficultés. Ces mêmes difficultés, non encore surmontées, se retrouvent dans la métiuide de ÎNI. Picard et dans toutes les méthodes d'approximations successives.

Pour en triompher, nous allons procéder par étapes.

Supposons d'aboixl qu'il n'y ait qu'un seul sommet de troisième espèce, que nous appellerons K, et proposons-nous d'intégrer l'équation

Dans cette équation, Z. et •:> sont deux fonctions données cl la dernière est partout finie. Quant à v, elle est partout positive et elle est finie, sauf au point K où elle est infinie comme

MKMog^MK

aux sommets de deuxième espèce, s'il y en a, où elle devient infinie comme y\ et au point P, où elle pourra de\cnir infinie comme logMP,.

LES FONCTIONS FICHSIENNES ET LÉQUATION A(/ = e" . 55l

La solution de l'équation (i) nous sera donnée par la formule

u= AitfiG(M, k; .M,, P.tfl'oJi,

analogue à la formule ((V) du paragraphe VI.

Cela s'établirait par des raisonnements tout à fait analogues à ceux du paragraphe \'I, mais qu'il est inutile de répéter ici.

Remarquons toutefois que la condition

n'est plus ici nécessaire puisque la fonction h peut devenir inlinie pour AI = P, . Cela posé, on a évidemment

|«|<T ("r, |G(M. K: M,, P,)|rf<o,.

Etudions l'intégrale

(r,|G(M, K; M„ P,)|rf<o,.

C'est une fonction des coordonnées du point M qui ne peut présenter de singularité que quand le point M vient en K ou en P, .

Qu'arrive-t-il d'abord quand iM est voisin de K ? Partageons la surface de Klein en deux parties par une petite courbe fermée entourant le point K.

Nous aurons d'abord la région S extérieure à la petite courbe fermée; la portion correspondante de l'intégrale sera très petite de l'ordre de AIK.

Considérons maintenant la région S' intérieure à cette petite courbe; si les

deux points M et M| sont dans cette région, G sera de même ordre de grandeur

que