KM, MM

Ces deux régions seront séparées l'une de l'autre par la droite tt, perpendiculaire au milieu de MK.

L'intégrale, étendue à la première région, est plus grande que l'intégrale étendue k la seconde région.

En premier lieu, le champ d'intégration est ]3lus grand ; en second lieu, si nous envisageons deux points M, symétriques l'un de l'autre, par rapport k n, et situés, l'un dans la première région, l'autre dans la seconde, nous remarquerons que la valeur de

plog'p

LES FONCTrONS FLCHSIENNES ET L ÉQUATION A« = fi".

est plus grande pour le premier de ces points que pour le second, tandis que la valeur de

log —

est la même pour les deux.

Notre intégrale est donc plus petite que

ib

log-

p|log3p|'

l'intégration étant étendue à la première région seulement. Mais, dans cette

los

, 0 , MM, , KM,-f-MK = log- = log < log

= log H^

KM, " " KM, MK

Donc notre intégrale est plus petite que

/■ \ do di

■il) j log

?l log'p l'

ou a fortiori plus petite que la même intégrale étendue au cercle de rayon R tout entier, c'est-à-dire que

4ti6 / log 1+ - ) 1 ,

'Pi

Décomposons l'intégrale de la façon suivante :

l^a lettre Rq désigne une quantité que nous déterminerons plus complètement plus tard, mais qui doit être > r.

Considérons d'abord la troisième intégrale prise de Ro à R; entre ces limites on a

log(,+ :-)<^-.

L'intégrale est donc plus petite que

r dp j" dp r

'J p^iiog^pi <''J "^ < ïï;' ■

Envisageons maintenant la seconde intégrale prise de /■ à Ro ; entre ces H. P. - 11. 7"

55; LES FO^■CTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION A» = e".

limites un a

r<p, logj'i-^ H <log2,

et l'intégrale est plus petite que

""./ pllog'pl 2 \log2R(, log^/-/ ^ îlog^Ro

\ enons enfin ;i la troisième inléf;rale prise de où/'; entre ces limites, on a p </•; l(ig(i + M = logh+ ^J +log^ <log2-i-log^-

L'intégrale est donc plus petite que

r dçi Ti '■ '^P '""2 I

°S\/ p|log3p|+J °S- p|log3p| -ï^^"^2|logr|'

Notre intégrale est donc plus petite que

, /■ , , [ 17:6 loea '.-b

H„ ' ""log^'Ho log2,- |iog/-|

et cela quel que soit R,, ; en prenant, par exemple, Ro= V^''- on voit que noire intégrale est de l'ordre de grandeur de

|logr| |loglMK|

Supposons maintenant M très voisin de P,.

Nous pouvons trouver une quantité positive H telle que l'on ait constamment

I G |< I logMM, I -f- I logMP, I + log| KM, | + H ,

et, en effet, si l'uni' des distances iVIM,, ]MP,, KM, est très petite (par

exemple MM,), G est égal à dzlogMlM, t- une quantité finie.

Si deux de ces dislances sont très petites, par exemple MP, et KM,, nous

pouvons ramener au cas précédent en introduisant un point auxiliaire K' et

écrivant

Pour chacune des fonctions G qui entrent dans le second membre, une seule des distances est très petite.

Or, les intégrales

^ll:,rf(0|, /^l logMM, |r,<:/'0,, Tlogl KM, |r, r/(0|

LES FONCTIONS FlCHSIE^'NES ET l'ÉQUATION ^ll = 6".

sont finies; l'intégrale

y"iiogMP, 1^, rfoi,=|iogMP, I y^r.rfa

est de l'ordre de | log MP, |.

D'où cette conséquence : l'intégrale

y|G|r, «fco,

est finie, sauf dans le voisinage du point K. m'i elle est de l'ordre de et dans le voisinage du point P, où elle est de l'ordre de | log MP, |. Il existe donc une quantité b' telle que

j |G|r,(Ao,<è'

log.MP,

losiMK

et, par conséquent, telle que (3) IwKavè'

Si nous posons maintenant

logMPi

logMK

r. u = Cç

log MK I

et si nous observons qu'on peut trouver une quantité s (elle que

r, logMK

ç <' û^pip;

il viendra

(4) Iç'KaV (oi = b'i).

Soit donc y' le niiwiniuui de |cs'|; nous pourrons trouver une quantité a ne dépendant que des points K et P, et telle que l'on ait toujours

Consitlérons maintenant l'équation

(6) D (/ = Xr;K + 'f

et proposons-nous de trouver une solution ii de cette équation qui s'annule au point K et puisse devenir au point P, Infinie comme logAIP,.

Proposons-nous de développer cette solution suivant les puissances de A et soit

Il = IIq -h a î/, -h Â- («2 -H .

556 LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION \U = C".

Xous aurons, en introduisant une série de fonctions »o, 'fi, ■••, la série

d'équations suivantes :

Çtfi, = -/)«„; DM,= ^œ,;

que l'on traitera comme l'équation (1).

Si alors | cpo| est limité et que y„ soit son maximum, si y^ est le maximum de I c5a| on aura, en vertu des inégalités (5) et (î),

T/,< a-/A.-i< a'fyo; I "a\< P3t/,-MK| logMP, \.

La série (7) est donc convergente pourvu que

et elle nous fournit la solution de Téquation (6). Si Ton avait eu

I t<fodui = I Çfidw =. ..= j ÇcpA rfoj :

les fonctions u„, ti,, ... auraient été indépendantes de la position du point Pi, ainsi que je l'ai expliqué dans le paragraphe V^I ; nous aurions donc pu affirmer que ces fonctions, et par conséquent la fonction a, demeurent finies, même au point P). C'est le raisonnement de la fin du paragraphe VI. Prenons maintenant l'équation

(8) Bu = lriu + tf -h ix'\f;

0 et A sont deux fonctions données; ^ est une constante indéterminée que je supposerai développée suivant les j.uiissances de 1,

|Jl = (Au -I- ). IX| + X2 fjl, -4- . . . ,

et il s'agit de déterminer u et [x de façon que u soit partout fini et s'annule en K.

Je suppose que / 'h cIm ne soit pas nul.

Nous avons la suite d'équations

/ 'f (Itii -4- |j.o / t!/ dio = o ; ÏÇo = <? -^ I-'-o't''- D î/o = ÇÇi) ;

/ r, «0 dh> -h IX, I '\i (iixj = o ; Çipi = ï; Uq -+- i-tj 'i ; D «1 = Ço, ;

/ r, ;/ , di» -H |ji2 / '{/ rfo) = o ; Çtpj = tj » , -h jji, 'J/ ; D m, = î?2 ',

LES FONCTIONS FUCHSIENNES HT I.'ÉQUATION \ll = 6". 557

que l'on traitera comme l'équation ( i); les propriétés de l'équation (i) subsisteront, mais il y a plus : à cause de la relation

Çepi- </(!) = G,

la fonction Uh ne dépendra pas de la position du point P,, de telle façon qu'en choisissant convenablement la constante //, l'inégalité (:>,) pourra être remplacée par la suivante :

"''< llc^MKl'

ce qui nous permet d'écrire

nous avons

/ r^u/. d(ij < e'-j-/,,

s' étant une nouvelle constante, cl enfin

I H*+i I < ^"ta,

en désignant par -j la valeur de / Ac^w •

Soit a' une quantité plus grande que le maximum de l-^

et nous pouvons trouver une quantité a ne dépendant que du point K, telle que

I =a|logMK|.

Il viendra alors

La série (j) converge ilonc pourNU que

Enonçons le résultat obtenu :

On peut satisfaire à l'équation (8) et cela de telle façon que u s'annule en K et soit toujours fini, poun'U que les rapports

? 4' Ç' t soient limités.

Soit maintenant c une fonction définie de la façon suivante :

558 LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION AM = fi".

Traçuiis autour île K une petite courbe fermée, et soit A la valeur de Z qui corresponil au sommet de troisième espèce K.

\ l'inlt'-rieur de la petite courbe, c sera égal à lot; -. j- •

A l'extérieur r ne pourra s'annuler ni devenir infini.

Enfin ])aitoul, sauf au point K, c est fini ainsi que ses dérivées des trois premiers ordres.

Soit h un exposant constant quelconque.

A l'intérieur de la petite courbe, on aura

cftu

Faisons d'abord une bypothèse particulière sur y, et supposons qu'à l'intélieur de la petite courbe v) se réduise à

Z — A|2|oe2

dv>

J'appellerai y,„ celte fonction Tj particulière satisfaisant à cette condition. II est clair alors qu'on aura, à l'intérieur de la petite courbe.

si l'on suppose

Je puis donc poser

il étant nul à l'intérieur de la petite courbe et reslani linl à l'extérieur de cette courbe, saut aux sommets tle troisième espèce, ou le ra|)port -^ et, par conse-

quent, le rapport -p restent finis.

Supposons donc que l'on ait l'équation

(8 bis)

IJ (/ = /,'•(■,„ « + tp -t- iji'];,

OÙ I est limité et où «L est la fonction que nous venons de définir.

Dans cette équation, ^ est une constante indéterminée de sorte que l'équation est de même forme que l'équation (8). Mais nous devons faire plusieurs remarques :

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'KQUATION Aî( = e" . 559

I" Jj'iulégrale / 'J> dio ne peut être nulle ; on a, en effet,

/ ']/ dio = — X / r,of'' rfoj,

et y,„ et v sont essentiellement positifs.

2° La fonction '1/ di'pend ile A; elle est même développable suivant les puissances lie X; en effet, on trouve aisément

Dv''= /h''-iDv-+- hdi — \)i-i'-'- E(i', v).

On voit que h est développable suivant les puissances de X, et qu'il en est de même de ("^ à l'extérieur de la petite courbe, puisque dans cette région v ne devient ni nul ni infini; il en est donc aussi de même de Dc^.

A l'intérieur de la petite courbe A est nul, et à l'extérieur

sera développable suivant les puissances de A.

On pourra alors résoudre l'équation (S bis) de telle façon que u s'annule au

point K, pourvu que

Dans celte inégalité, a ne dépend que de la position du point K, elle ne dépend donc pas de A; il en est de même de la quantité e' définie plus haut;

mais il n'en est pas de même de a' et de %,•

En rIVet, a' doit être plus grand que le maximum de y et ^ est égal

à I 'Il (hù ■

Or. n(iii> a\on>

•} = /îc'i -1 De -f- /,^/, 1),''-' E(i', r) — >.T|oc''.

A l'intérieur de la petite courbe ■} est nul; à l'extérieur -y est limite;.

Nous a\ons

cette équation, considérée comme déterminant /*, admet deux racines, l'une négative, l'autre positive (puisque nous supposons A positif). j\ous prendrons la racine négative; celte racine est plus petite que X en \aleur absolue.

Si alors l'o est la plus petite \aleur à l'extérieur de la petite courbe, on

56o LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'eQUATION iu=e".

pourra trouver une constante A telle que