Î|<AX
Si maintenant nous envisageons
v'' dw.
nous voyons que cette expression est plus grande en valeur absolue que
' dix).
l'intégrale étant étendue, non plus à la surface de Klein tout entière, mais à l'extérieur de la petite courbe ; et, en e (Tel, les éléments de l'intégrale supprimés sont essentiellement positifs.
Si r, est la plus grande valeur de c à l'extérieur de la petite courbe, on aura, puisque /* est négatif,
et, par conséquent,
\ I r,o (■'' do> > À c^' / T,o dio
I il doj
B étant une constante.
I^a condition à laquelle doit satisfaire — ^ est
%' l" A /Co
Si, en effet, cette condition est remplie, on aura certainement
3('> niax. de
À < Xn, A /r„\''.
JNous supposerons
/o étant une constante et
g '- __ A / ro
où /(„ est la valeur do // qui correspond à Xo ^'t' telle sorte que
>.,i = ho( /lu — I 1.
LKS FONCTIONS FICHSIENNES ET LÉQUATION Am = 6". 56l
Alors la condition imposée à -^ sera bien remplie, et cette quantité est devenue indépendante de A.
Alors on pourra satisfaire à l'équation (8 bis), pourvu que
Supposons donc que nous ayons à la fois
et soit u' la solution de l'équation (8 bis); on aura, puisque nous supposons À = X',
D u' = Xy;o i<' -h o -i- ijn}/,
et la valeur de [ji. ne sera pas infinie. On a, d'ailleurs,
Si donc nous posons
u = u' — ;jir'', il viendra
D'ailleurs u ne devient pas infini au point K, mais, au contraire, s'y annule; car u' et c" (l'exposant /( étant négatif) s'y annulent l'un et l'autre.
On peut donc résoudre l'équation (9), pourvu que j soit limité.
Nous avons, il est vrai, fait une hypothèse toute particulière sur la fonction -fi, supposée égale à T|o; posons donc l'équation plus générale
(10) \)ii =z r, M -i- tp;
je dis qu'on saura également l'iiilégrer. Posons, en effet,
T, = Xt,o-)- T,',
en attribuant à ), une valeur assez petite pour qu'on ait
X < Xo, Xa < 1
et que, par conséquent, on puisse intégrer l'équation (9). Envisageons l'équa- I ion
(11) D« = (Xr|(,+ |j.r/)a + tp.
On peut assimiler cette équation à l'équation (6) du paragraphe précédent, H. p. - II. 71
LES FONCTIONS FUCIISIENNES ET l'ÉQUATION A» = e".
l'équation (9) élanl elle-même assimilée à réqualion (5) du même paragraphe.
Le rapport t-^ est, d'ailleurs, limité.
On voit doue, par le raisonnement du paragraphe précédent, que l'on saura intégrer (11) piuir\ u que ij. soit assez petit ; et ensuite, en répétant le raisonnement applique à l'équation (()) à la fin du même paragraphe, que l'on sait encore intégrer (11), quelle que soit la valeur attribuée à [jl, et en particulier pour [Jl ;= 1 .
On sait tlonc intégrer l'équation (10).
Le tliéorèine une fois établi pour le cas ovi il n'y a qu'un sommet de troisième espèce, la méthode de J\L Picard permettrait facilement de le généraliser quel que soit le nombre de ces sommets.
Mais je préfère arriver directement au résultat; je suivrai une voie peu dillerente de celle qui m'a servi dans le cas particulier traité d'abord et que je ])ourrais suixre encore, si je ne craignais de trop me répéter.
Je supposerai deux sommets de troisième espèce Iv et K,.
La f(jnction T| sera partout positive; elle ne deviendra infinie qu'aux sommets de deuxième et de troisième espèce; aux sommets de deuxième espèce, elle
sera infinie de l'ordre 2 ; en K, elle sera infinie de l'ordre
MKnog2MK
et, de plus, développable suivant les puissances de MK et de même en K, .
La fonction Ç sera partout positi\e et le rapport
Ç|logi\lKlogMK, I
loeiMK
?t de
sera limité, de telle façon qu'au point K, par exemple, 'C, sera de l'ordre de
MKMoijSMK
On verrait alors, comme plus liaut, qu'on peut trouver une constante b'
telle que
r lo^MP, I
j r,rfco,|G(M, K; M,, !',)]< 6' "°""^'l
logMK r
, NogMP,
y^, ^/<o, I G(iM, K, : M„ P,) K 6' I glJ^
LES FONCTIONS FlICHSIENNES ET l'ÉQUATION lu = e" . 563
Soit ensuite cp une fonction satisfaisant aux conditions
(1-2) Jt<fdo> = o; rï.,^iG(K,, K; Ml, Pi}rftoi = o (|<p|<Y),
et soit
u = foili G(M, K; M,, P,)rf(o,.
A cause des relations (12), on aura également H = To,^, G(M, Iv; M,, P,K(fa,|
= ^9,r, OrM, K; M,, P,)<rAo,= ftp,?, G(M, K,; M,, P, (rfuj,,
P;, étant un autre pi>int aiiiitraire île la >urface de Ivlein. Un pourra donc trouver une constante h' telle que l'on ait à la fois
logMK
logMPj logMK
logMPj I
logMPi I
logMK, r
logMPj
logMK,
En d'aulres termes, (/ est fini mémo dans le Noisinage de P, et de Po el très
pel it de l'iudre de
-i — ,.,. , ) TT — ,,, , 1 dans le voisinage de K el K,. log MI\ I I loi; MK, I °
On aura donc, en clioisissant convenablement la constante />",
l"l< llogM^'^
Posons
' ' ^ I logMK. logMK, I
•/] Il = r<?' ;
soient •,'' le maKimum de 1 cs'l et -77/ celui de z—, — .,, '. ■,„ ,
' ' ■ ' 6" Ç I logMK logMK, I
inégalité analogue à {'i).
Cela posé, envisagecjns l'équation
iNoiis aurons
X)u = Xr^ « -!- cp H- ijiij; -t- ;i' 'Y,
OÙ (5, 4, 'V sont des fonctions données; u. et a' des constantes indéterminées. Peut-on l'intégrer de façon que u soit toujours fini ? Nous supposerons :
564 LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉOVATION A" = e" .
i" Que les rapports ^, î, i. sont limités;
2° Que les intégrales
r<>''^w, A, G(K, K,, M,, P,)rf(o,
sont diflerentes de zéro.
J'écrirai, pour abréger, g au lieu de G(K, K,, M,, P,);
3" Que
/ i!/ cho = j Vf dw = G.
Nous supposerons u, ji. et ^' développés suivant les puissances de )., iNous aurons la suite d'équations
/ T| u„ diM -+- ;x', / 'Y diM = o, T, «0+ \^\ 'V = ?'' / o', g dixii ■+- iM I 4-1^ dw, = o,
j r, Ut dui -r- iJl', / Y doi = 0, Tj «1 + ix', ij*' = <f",
I ?'; gdiMs^ \>.i j ■i^ig diOi = o,
T) «1 -+- ;j.2t|; H- fJl'j Ip' = ?<fô' D«2=^(5j.
Bien entendu, '|,, es',, cs'J, ... représentent les valeurs que prennent les fonctions <b, ti', a", . . . quand le point M vient en M| .
On voit que cooi '-Bo' ^li ■ ■ • ^'onl aucun rapport avec tp,, o', , »'(, ... ou avec <?, f', <?", ••••
Soient Yo) To Y2ï • • ■ les maxima de Oq, 'f Ô» «pô» • • • •
J'aurai d'abord
WoK
logMK.IogMK, I
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ëQUATION Am = e" .
d'où je conclus que je puis trouver une constante c telle que
dia
< cYo,
et comme l'^f'db) est une constante différente de zéro, je puis trouver une constante c' telle que
H'i < c'yo.
Si alors |3 et ^' sont les luaxima de
et
on aura
qiogMKIogMK,
<(fi + c'ji')Y„.
Or [l'intégrale li = j^fgdMf est une constante finie, et l'intégrale h' = l 'Itgdoi, est une constante différente de zéro. On a donc
et
Or
<([3-t-c'P')AY„
Si 3" est le maximum de ^ , il viendra
ou, en posant
on trouverait de même ou, plus généralement, Nous voyons que la série
converge pour
Yi < «Yo ;
et comme
LES FONCTIONS FlICHSIENNES ET l'ÉQUATION A« = e".
il en sera de même de la série
logMK.logMK,
\kUlc.
Traçons maintenant, autour de K et de K,, deux petites courbes fermées. Soit d'ailleurs e une fonction déflnie comme il suit :
Je désigne par A et A, les valeurs de Z correspondant aux deux points K et K,.
A l'intérieur de la petite courbe entourant K., on aura
V = log
A l'intérieur de la seconde petite courbe, e est partout nul.
A l'extérieur des deux courbes, c ne peut s'annuler ni devenir infini. Enfin
V est partout fini ainsi que ses dérivées des trois premiers ordres.
Nous poserons ensuite
CÀ = /i( A — I),
Gelant la valeur que prend Vi | Z — A|-log-|Z — Al au point Iv cl // élant la racine négative de cette équation du second degré; soil
Dt'''=Xïit"''-i-e.
Je dis que la fonction ^ est limitée.
En effet, c'est seulement au point K que le rapport ^ pourrait devenir infini. Or, dans le Miisinage du point K, la fond ion r, , par bjpothèse, est développable suivant les puissances entières croissantes (positi\es ou négatives) de
(Z — A), (Zo— A») et
loe
il en est de même de
v'' log-''
, D 1''' log-''
et, par conséquent, de
eiog-''
Dans le développement de 6, les termes qui sont de l'ordre le plus élevé, c'est-
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l' ÉQUATION Au = e".
à-dire de l'ordre de
I Z — A I -2 loe-!+''
se détruisent, et les termes de l'ordre immédiatement inférieur, c'est-à-dire de l'ordre de
I Z — A|-Mog-3+''
seront très petits par rapport à Z, (puisque h est négatif); donc ^ reste fini.
Soit maintenant i' une fonction engendrée comme c, mais de telle façon que le point K, joue le rôle du point K et inversement, c'est-à-dire que l'on ait, à l'intérieur de la première petite courbe.
et à l'intérieur de la seconde
v' = loÊ
Soit G' la quantité qui joue, par rapport à K,, le même rôle que C par rapport à K; soit enfin li' la racine positive de l'équation
et posons
G'X = h'ih'—i) Di'''= Xr, i''''-r-0';
nous verrons encore que y est limite:
Soient maintenant •]; et '}' deux combinaisons linéaires de 0 et 9' :
.;, = cï9-+- ao',
Je dis qu'on peut choisir 1rs coefficients constants a. b, c, d de telle façon que
Pour que cela fût impossible, il faudrait en eU'et que l'on eût : ou bien
A do> = A' dw = o,
ou bien
/ 9 do) I 6', ff dwi — / 9' diu j Oiff f/ojj = o.
568 LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION Ai/ = g".
Comme r et c' sont arbitraires sur une partie de la surface de Klein, on pourra toujours s'arranger de façon que cela n'ait pas lieu.
Seulement il importe de remarquer que 'h et <\i' dépendent de X; le rapport
entre le maximum de r el / J'i^'f/wi , et le rapport entre le maximum de y et / iji'cZtJL) dépendent aussi de X.
Il importe de rechercher si ces rapports ne deviennent pas infinis quand X
s'annule.
fi ft' Cherchons donc les limites de r- et ^ l>our X = o.
Pour cela nous nous servirons de la formule
D,./, /,,./.-! De + /((/(. — i)i''-2 Rio, (•).
Si l'on tient compte alors de
Dp'' = Xr)^'''+6; CX = /j(A — i),
il viendra, en divisant par X et faisant tendre X vers o.
Si nous appelons G» et 6|, les limites de r- et —> nous voyons que les fonctions y cl y sont limitées; en effet, dans le voisinage des points K etK,, De s'annule et la difl'érence
est, au plus, de l'ordre de
|Z-A|Mog3
c'est-à-dire de l'ordre de ^.
D'autre part, comme »• et c' sont arbitraires sur une partie de la surface de Klein, nous pourrons nous arranger pour que l'on n'ait pas
/ 60 dio = / 6', d(<) — o,
/ e,, rfw / e'„,,^rfoji— / e'o du> 1 6o,,^rfto, = o,
c'est-à-dire que l'on peut s'arranger pour que les rapports dont il a été question plus haut ne deviennent pas infinis quand X s'annule.
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION iîf = C". 569
Formons alors l'équation (i5) Dm = X't, M -H (f -h (jt'l -+- jjt''y.
C'est l'équation (i4)i sauf qu'on a changé \ en a' : elle est donc intégrable
pourvu que
L;i quantité a a été définie plus haut; elle est seulement assujettie à avoir une limite inférieure. Mais cette limite inférieure dépend de ), puisque 4 et -V dépendent de "k.
Toutefois, elle ne deviendra pas infinie pour ), = o, puisqu'il en est ainsi des deux rapports dont il a été question plus haut.
Donc, si nous faisons varier X de o à lo» cette limite inférieure restera plus
petite qu'une certaine quantité jj, et il suffira de prentire a indépendant de X
et plus grand que p, pour que nous jouissions affirmer que noire équation (lo)
est intégrable toutes les fois que
aÀ'<i.
Soit {/„ la solution de cette équation (i5). et soit maintenant l'équation (16) D« = Xr|M-ho, /tf di-o = o.
On résoudra cette équation en faisant -
u = «0 — tJ.(ai-''-+- Ci-''') — ii'(bi-''-\- dv''''), en avant soin de faire et cela sera permis pourx u que
X' = X < Xo, X' = X < i • a
On remarquera quelques dilTérences entre la démonstration que j'ai donnée dans le cas d'un seul sommet de troisième espèce et celle que j'ai donnée dans le cas de deux sommets.
Dans la première, j'ai employé un détour en me servant de la fonction auxiliaire-rio; dans la seconde, j'ai évité ce détour, mais j'ai dû supposer que v) était d'une forme particulière, c'est-à-dire développable suivant les puissances
croissantes de Z — A, Zq — An,, — r^ 7-1 • Cette condition est, d'ailleurs,
log I Z — A I
remplie dans les api)lications que nous aurons à faire.
