LES FONCTIONS FUCHSIENNES liT l'ÉQIATION \ll = e

J'aur.iU |iii toiil aussi l)iiMi f.iire le coiitr.ure, mais j'ai voulu donner un exemple de deux procédés difVéreuts de démonstration.

Si l'équation (i6) est inlégrable pour / cpc/w^o, elle le sera également quand cette condition ne sera pas remplie, car nous pouvons trouver une lonction i' telle que

7) t' dui "' 0.

Nous pouvons ensuite choisir la constante a de telle sorte que [1 j (De — Xt| c) dw = — X,u / T, (' dbi = / 'f d">-

Nous pourrons alors intégrer l'équation

(17) Du = )iïi« -+- [ç — |jl(Di> — Xr)r)],

qui satisfait à la condition

[cf. — |ji{ D r — Xr, r)] rfio =0.

L'intégrale de (16) est alors égale à l'intégrale de (i") augmentée de iac.

En résumé, ce que notis avons dit au paragraphe précédent de l'équation (1) reste vrai quand il y a des sommets de troisième espèce; ce que nous avons dit dans ce même paragraphe des équations (5), (6) et (g) reste donc vrai également. - — -

Nous pouvons nous résumer en disant que l'équation

(18) ï)ll = TlU U

est susceptible d'être intégrée. Ce résultat n'est établi jusqu'ici qu'en suppo-

sant que le rapp(jrt y est limite.

Je dis maintenant qu'il sera vrai encore pourvu que le rapport - soit limité et partout bien déterminé.

Nous avons, en effet,

» Cp T,

Le rapport ~ est fini, saut' aux sommets de troisième espèce; nous n'avons

donc qu'à examiner ce qui se passe dans le voisinage de l'un de ces sommets. Nous avons supposé plus haut que, dans ce voisinage, /, est développable

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l' ÉQUATION ^U = C". 371

suivant les puissances croissantes de

log 1 Z — A I

Nous supposerons qu'il en est de même de 2.

Si, alors, nous appelons a la valeur du rapport -^ au sommet de troisième

espèce K et que nous posions

<B = n/j + tp,,

le r.ippart -^ restera fini au point k.

Supposons donc, pour H\er les idées, deux sommets de troisième espèce K

et K| ; soient a et a, les valeurs de * aux points K et K|.

Soit f une fonction quelconque, finie et continue ainsi que ses dérivées des trois premier-; ordres et prenant les valeurs a et a, aux points K et K,; on aura

(19) D(jt — i;) = •r)(î< — (■) — (? — T' -+- Dv).

Comme le rapport

reste fini aux points K et K,, on saura intégrer l'équation (19) et, par conséquent, l'équation (17).