IX. — Application du calcul des variations
.rarri\e à l'étude de l'équation (1) DU = Ofi'— *
dont, nous l'avons \u, dépend le problème de la ft)rmation des fonctions fuchsiennes.
Mais, avant de démontrer, par des procédés rigoureux, l'inlégrabilité de cette équation, je veux d'abord la faire pressentir par un de ces aperçus fondés sur le calcul des variations dont on fait quelquefois usage en Physique mathématique.
Pour cela, je suppose d'abord que <i> soit toujours positif, et je donne à la fonction U un accroissement infiniment petit SU.
572 LES FON'CTIONS FIICUSIENNES ET L ÉQUATION \u = €".
.renvisage 1" intégrale (2) AuÉ^u)(8eL— * — DU),
étendue à la surface de Klein tout entière. L'intégration par parties donne
TsUDUrfuj =- fE(U, oU)rfw, de sorte que l'intégrale (2) devient
rrfto[(eei' — <Î>)SU 4- E(U, SU)].
Or
(9eU—<î>)5U = 3(0^1'— tu ); E(U. SU) = - S E(U, U).
jNotre intégrale (2) n'est donc autre chose que la variation oJ, en posant J = fdoiïlE(V, U)-H6eU — <l>ul.
La \arialion oJ ne peut d(jnc s'annuler sans que l'équation (1) soit satisfaite.
L'intégrale J admet-elle un minimum "? E(U, U) est essentiellement positif;
quant à l'expression
eef— <I>U,
elle atteint son minimum pour
équation à laquelle on peut satisfaire, puisque <I> et 9 sont toujours positifs. Le ininiiuuni atteint est
^(.-losl)- Donc, on a toujours
J > / rf'0<t>( I — logj j .
Donc J a un minimum.
Donc on peut satisfaire k l'équation (i).
Supposons maintenant que <I> ne soit plus toujours positil, et soit $0 la valeur moyenne de <I>, de telle façon que
<J>o / rftu = / <î> dw .
!N()us ])ourrons jioser alors
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION Am = C". SpS
et l'on aura
/ <Pi rfto = o.
Je dis qu'on peut satisfaire à l'équation (i), pourvu que <i>o soit positit. En elTet, puisqu'on a
/ <l>i d(xi = o,
on peut trouver une fonction c telle que
De = — *,.
Posons alors
l'équation (i) devient
(ibis) DV = ee"ev<t>„.
On pourra résoudre l'équation (i bis) qui est de même forme que (i), car 9e'' est toujours positif et 4>9 est une constante positive. Peut-on maintenant résoudre l'équation (i) quand
/ <î> diii < o ?
Non; en eflet, on a
JDV d(u = o et, par conséquent,
/ «f" dii) — / 6 fil dtu > o.
Donc, la condition nécessaire et suffisante [xiur qu'on puisse résoudre l'équation (i), c'est que
/ <t> rf(o > o.
