X. — L'équation DU=9e^ — (b
Nous allons maintenant donner de ce résultat une démonstration rigoureuse. Envisageons d'abord l'équation
(t) D« = e e" — ta;
supposons qu'on saciie l'intégrer et qu'elle admette comme intégrale
Envisageons ensuite l'équation
574 LES FONCTIONS FL'CHSIENNES ET LÉQL'ATION \ll ■= e" .
Je me [propose de cliercher à quelles condilions cette nouvelle équation sera intégrable.
Pour cela, je suppose n développé suivant les puissances de ). et j'écris
Alors e"~"' sera éi;alement développable suivant les puissances de À, et je pourrai écrire
e"-"o= I -I- À îi, -+- X2 ;/2+ >.3 „3-4-. , .^ -t- A- IV2 + )i' «'3 -)-... .
J'aurai évideuiuienl
(<| H? «} Iti 117 Un
En général, les tr seront des polynômes entiers par rapport aux ii/, et les coefficients de ces polynômes seront tous positifs.
Alors Uq, «,, ... nous seront donnés successivement par les équations
f Dm, = fl (;"«!(,— il, \ D((.,= 6<"'./«2-hcr2),
<3= ee«c,(«3+ tVs),
Nous avons supposé qu'on savait intégrer réquation(i). D'autre part, d'après les paragraphes \'IT et VIII, on sait intégrer les équations (/>).
Dans la première équation (3), 9, Uo et '1 sont connues, et u, est la tonction inconnue; dans la seconde, 0, Uç, et (Vj sont connues et «2 est la fonction inconnue et ainsi de suite.
Voyons maintenant à quelles inégalités satisfont le^- fonctions U/, ainsi formées.
Quand «2 atteint son maximum, Du^ doit être négatif; donc
Au contraire, quand «2 atteint son iniaimum, on doit avoir
Donc le maximum de u^ est plus petit (pie celui de ( — n'j) et le minimum de «2 plus grand que celui de ( — n'a)-
Donc le maximum de ] M2I est plus petit que celui de | n'nl.
LKS FONGTION'S FLCMSIENNES ET LÉQUATIOX \U = e" .
On verrait de même que le iniximmn île |M:,| est plus petit que celui de [(t'ai et, en général, que le max^imuni de \i(ic\ est plus petit que celui de |h'a|.
Pour la même raison, le maximum de | iif\ est plus petit que celui de
(Rappelons que 9 et e"» sont essentiellement positifs.)
Donc
max de «i < — : •
mine"»
Mais «0 satisfait à l'équation
Dmo= 9 e"o— œ.
Quand Uq atteint son minimum, on doit donc avoir
e e">—'J> > o et, par conséquent, si a est toujours positif,
d'où enfin
min de e"» > min
max| (/, I <■
Soit (/'|, (/j, ..., H^, ... une suite de constantes positives, soit i\\ un polynôme formé avec les //' comme (V/, l'est avec les itj.
Comme les polynômes w/, ont tous leurs coefficients positifs, si l'on suppose
«', > ma\| ((, ], îïi '^ '"'^^1 "2 !• ■■■■< "a-i > 'iiax I u/,, I,
on aura
€t si l'on suppose
»'/,> ma\| tv^ I,
on aura
u'/, > inax I IV,, I > max I «/, |,
de sorte ([ue, de jjroclie en |)roclie, on aura
(4) M/, = "■/,, «'/, > max I iv/. |, II'/, > max | ;//. |.
576 LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION Alt = e" .
Posons maintenant
(5) p = Xh', -(- ),2(ij-i-. . .;
il viendra, d'après la définition des polynômes w et iv',
-I- X" iv'j -t- X3 w'j H- . . .
on. à cause de l'égalité u'/, = iv^,
(G) 6"= 2V -hl — \ll\.
Gomme ii\ nest assujetti qu'à être plus grand que le maximum de H|, je prendrai
max ir
De l'équation (6) je tirerai c en série ordonnée suivant les puissances de )>, et la limite de convergence de cette série correspondra à la valeur de X pour laquelle Téquation ((3) a une racine double.
Or, en dllTérentiant l'équation (6), je trouve
e''= 2, f = loga ; Xm'i = log4 — 1.
Donc, la série (5) converge, pourvu que
I >>"'i I < 'og4 — I-
Donc, en vertu des Inégalités (4),
u = i<o -h X î< I -+- X' uj -t- . . .
converge absolument et uniformément.
Il en est de même de la série
e"= e«o(i -H Xh,h- X^Hj-H. . .-+- X'Wî-i-.. .).
En effet, les termes de cette série sont respectivement plus petits que ceux (le la série convergente (à termes positifs et constants)
l'orinons donc les deux séries
fie"— !f — X<j/ = VoH-XVi + X'Va-H...
LES FONCTIONS FtCHSlENNES ET L ÉQl ATIOX ^U = C". 377
et
fv; G diot -H À Cv] G c/wt-h X2 fvi G dm
où j'ai écrit, pour abréger, G au lieu de
