l,ES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION Am

Soieiil donc it la somme «le la première série et J celle (Je la deuxième; soil c colle de la série ^ a^C^. On aura

et, par conséquent,

D» = D.I = Oe" — 'i — lij.

JNotre équalion e>t donc satisfaite.

Cela suppose que o est toujours positif et que les rapports ^ et ^ sont limités et partout Ijien déterminés.

L'équation

Du = 0 e" — ï6

admet-elle une solution, quelle que soit la constante positive a ? Oui, car elle admet pour intégrale

(( = log ï.

Soit maintenant l'équation

(8) Dh = 0 <?" — aO — |ji'l/,

où ']; est une fonction toujours positive et telle que ^ soit limité.

Est-elle toujours intégrable, quelles que soient les constantes positives x et i>. ?

Changeons a en |jl 4- X; l'équation devient

(S bis) D(( = Oe"— ocO — |ji'!; — X'^>,

qui se ramène à la forme (2) en ])Osant

Comme [j.'I> est essentiellement positif, nous avons

min de

Si donc l'équation fS) est intégrahle, il en sera de même de (8 his) pourvu

que

log4-

Si d(jnc l'i^quatiou (8) est intégral)le pour

LES F0>'CTIONS FLCHSIENNES ET L ÉQllATION \U = e".

elle le sera encore pour

|io< H < Ho-H (log4 — i) —

et, par conséquent, pour