I-io < 1^ < f^o
(log4 — 1),
et, comme le nombre /( peut élre pris aussi grand que l'on veut, elle sera inlégrable pour toutes les valeurs de ^ supérieures à aj.
Or l'équalion (8) est inlégrahle pour iji = o, puisqu'elle se réduit alors à l'équation (7); elle est donc intégrable pour toutes les valeurs positives de u.
On peut conclure de là que l'équation
D« = fif"— es
est toujours intégrable pourvu :
1° Que la fonction s soil toujours positive et ne puisse s'annuler;
2° Que celle fonction reste finie, sauf aux sommets île deuxième et de troisième espèce, où f) devient infini;
3° Pourvu, enfin, que le rap|)Ort | tentle vers une limite déterminée quand on se rapproche de l'un de ces sommets et que cette limite ne soit ni nulle, ni infinie.
Dans ces conditions, en effet, le rapport ï restera constamment compris entre deux limites positives, de telle façon que
Nous pourrons poser
P > t > cp = 2O -t- 1]/.
Alors '!^ sera toujours positif et le rapport -^ sera limité.
L'équation
D» = 6 e" — czO — (J1.4/
sera donc intégrable pour toutes les valeurs positives de a et, en particulier, pour la valeur i . c. q. f. d.
Dans le cas particulier des fonctions fuclisiennes de la première espèce, il n'y a pas de sommets de deuxième et de troisième espèce, la fonction 9 est
5So LES FONCTIONS FLTIISIENNES ET l'ÉQL'ATION i« = €" .
liuijouis linie, et IV'qualiou (i) est intégrable si la l'oiiclion a est toujours })t)sitivc et toujours Ihiie. Elle l'est, en particulier, si cp est une constante positive.
Supposons mainlenanl que es soit toujours finie, mais ne scjit pas toujours positive. Soit Oq l'i valeur moyenne de o, de telle sorte que
Il existera alors une fonction r qui satisfera à
Dv — tfd — (p ,
puisque / (oo — ■s,)d(.i}=o. (C/. §VI.) Il existera une fonction w satisfaisant à
Div = 6 e''e"' — <fo,
pourvu que la constante 'Jq soit positive.
La fonction
satisfera alors à
U « = 0 e" — cp.
Donc, (hiiis le cas des fonctions fuchsiennes de première espèce, c'està-dire dans le cas où 9 est toujours fini, si. d'ailleurs , la fonction a est toujours finie, la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (i) soit intégrable, c^est que la iHileur moyenne de es soit positive.
On peut généraliser ce résultat pour le cas où il y a des sommets de deuxième et de troisième espèce.
Supposons, en ell'et, que la fonction co soit toujours finie, sauf aux sommets de deuxième et de troisième espèce, où le rapport ^ tend vers une limite positive déterminée qui n'est ni nulle, ni infinie.
Supposons de plus que
/ !» dui > o.
*.' Il est évident qu'on peut poser
(f = tp,-|- Oj
et cela de telle façon :
1° (^ue », soit toujours positive;
LES FONCTIONS FUCHSIBNNES ET l'ÉQLATION \u = e" . 58l
2° Que 'Jj soit toujours finie ; 3' Que
/ Cio du> = 0.
Alors le rapport -^ ternira vers une limite finie et difierente de zéro dans le
voisinage des sommets et l'on aura
'Ji dtii > o.
Donc on trouvera des (onctions v et w qui satisferont à
D w = 6 e" e"' — cpi.
La fonction
satisfait alors à l'équation (i).
Donc Véquation est inti'grable aux conditions saii'antes :
1° Si la valeur moyenne de » est positive ;
2" Si le rapport | tend vers une limite.positive finie et différente de zéro quand on se rapproche d 'un sommet de deuxième ou de troisième espèce.
Il subsiste encore une restriction dont je voudrais me débarrasser.
Le rapport ~ doit être fini aux sommets de deuxième et de troisième espèce^ et, de plus, en ces sommets, il ne doit pas s'annuler. Cette restriction est essentielle en ce qui concerne les sommets de troisième espèce, mais elle doit disparaître en ce qui concerne ceux de deuxième espèce.
Soit, en effet, à une fonction quelconque assujettie aux conditions suivantes :
1° Sa valeur moyenne sera nulle; 2° elle est finie partout, sauf aux sommets de deuxième espèce; 3° aux sommets de deuxième espèce, le rapport ^ sera positif et différent de zéro; on pourra alors, en vertu des principes du paragraphe VI, intégrer l'équation
On ne le pourrait pas si nous avions supposé que le rapport^ était différent
582 LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION ^U = 6".
de zéro aux sommets de troisième espèce. L'intégrale
/"tj-, G(M, P; M,, P,U/oû,
ne serait pas alors restée finie quand M serait venu en un de ces sommets. Soit, d'autre part, l'équation
( I ) D « = 0 e« — tfi
et supposons que o satisfasse aux conditions suivantes : 1° On a
tf> c?io > o ;
2° Le rapport -^ a partout une valeur finie et déterminée;
3° Aux sommets de deuxième espèce, cette valeur peut être positive, négative ou nulle;
4° Aux sommets de troisième espèce, elle sera positive et différente de zéro.
Si nous posons
u, — Xc = w,
il viendra
(g) Dw = 1) e'-" e"' — 9 — Xi}/.
Nous pourrons prendre la constante positive \ assez grande pour que, aux sommets de deuxième espèce, les rapports
soient positifs, et, en effet, -^ est positif, ^ est limité.
Aux sommets de troisième espèce, ces rapports sont égaux à
et, par conséquent, positifs d'après l'hypothèse.
On pourra donc intégrer l'équation (i)) et, par conséquent, l'équation (i). En résumé, voici les conditions pour que V équation (i) soit inté-
£(rable :
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION \u — e" . 583
1° On (loir avoir
o dui > o ;
2° Le rapport j doit avoir partout une valeur finie et déterminée; 3" Cette valeur, qui peut être quelconque aux sommets de deuxième espèce, doit être positive et différente de zéro aux sommets de troisième espèce.
