XI. — Application aux fonctions fuchsiennes

Nous venons de voir à quelles conditions peut s'intégrer l'équation (i) du paragraphe précédent; or, au début de ce travail, nous avons montré que la formation des fonctions fuchsiennes dépend de l'intégration d'une équation de même forme,

(i) DU = Oei'-<l>.

Voyons si elle satisfait aux conditions énoncées.

La fonction <I> est finie, sauf aux sommets de troisième espèce, et en ces sommets la valeur du rapport -7- est finie, déterminée, positive et différente de zéro; c'est ce que nous avons montré à la fin du paragraphe IV.

11 reste donc à vérifier que l'on a

> dti> >• o.

Je rappelle que

— * = Dlog^ -t-D/i,

Il étant une fonction partout finie, sauf aux sommets de deuxième et de troisième espèce et telle que la différence

(2) /, (^2 rj|og|Z-A|

reste finie aux sommets de deuxième espèce et que la différence

(3) /i — 2loglZ- A! — ■2loglog|Z — A|

reste finie aux sommets de troisième espèce.

Nous supposerons que Z est lié à Z' ]iar une relation algébrique

ViZ. Z') = o.

584 LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUVTION Ah = €".

Cette relation représente une courbe algébrique d'ordre m; je |niis, sans restreindre la généralité, supposer que celte courbe a ses m directions asymptotiques distinctes et qu'elle n'a d'autre singularité que des points doubles ordinaires.

Je puis supposer aussi que les sommets de deuxième ou de troisième espèce ne correspondent ni à un point double de la courbe, ni k un point à l'infini, ni à un point où la tangente est parallèle à l'axe des Z [c'est ce qui m'a permis tout à l'beure d'écrire Z — A et non Z" — A" dans les formules (2 j et (3)].

Cela posé, quand log -j^ devient-il infini?

1° C)nand -^ devient infini, c'est-à-dire quand le point Z, Z' s'éloigne à

l'infini sur l'une des branches asyinptotiques de la courbe; 2" Aux points où la tangente est parallèle à l'axe des Z, on a

et, par conséquent,

dQ ^=°

dQ' ^ [, . dQ ^ , et, comme — p- est lini, -r— est nul,

du> ciw

:')° Aux points doubles, on a, à la fois,

dF dF dZ~dr ~°''

mais Z' est fonction liolomorplie de Z et -y- reste fini. Nous avons donc

I ^ dQ ,

dw

et 'i devient logarillimiquement infini en un certain nombre de points singuliers qui se répartissent en quatre sortes :

Première sorte. — Ce sont les 7?i points à l'infini de la courbe F = o.

dF dl'

m (m — I ) — id,

Deuxième sorte. — Ce sont les points où -t=7 = o ; leur nombre est

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQI'ATION \u = e". 585

d étant le nombre des points doubles, ou bien

lin ^ ip — 2 ,

p étant le genre de la courbe.

Troisième sorte. — Ce sont les sommets de deuxième espèce. Quatrième sorte. — Ce sont les sommets de troisième espèce.

Entourons chacun de ces points singuliers d'une courbe infiniment petite. La surface de Klein se trouve partagée en deux régions : la région intérieure à ces petites courbes, qui est infiniment petite, et la région extérieure qui est finie.

L'intégrale / ^dw. étendue à la région intérieure, est infiniment petite. L'intégrale étendue à la région extérieure est

J^H.=jLU,d.=J'Ad,,

en vertu de l'équation {?> bis) du |)aragrapbe III; dn et Jt sont définis comme au paragraphe III, que hi surlace de Klein soit isotrope ou anisotrope.

L'intégrale du troisième membre est étendue au périmètre de toutes les petites courbes; mais il faut observer que les dn positifs doivent être comptés vers l'extérieur de la région où se fait l'intégration double, c'est-à-dire vers l'intérieur de la petite courl)e.

Considérons d'abord une petite courbe entourant un des m points singuliers de la première sorte : ceux où Z devient infini.

Nous prendrons

d'où

du

dO"

dZ 12

rfZ"| |Z"|*

A l'intérieur de notre petite courbe nous avons donc

</Q" 0; = 4 log|Z"| — log-^ — /(.

Or, log -7- -I- /i reste fini : notre intégrale est donc égale, en négligeant des infiniment petits, à

dn H. P. — II. 74

586 LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION ^U = 6".

OU bien, toujours avec les notations du paragraphe III,

rfS"et rfN" étant les arcs infiniment petits qui correspondent sur le plan des Z"

aux arcs ih et dn de la surface de Klein.

Si nous posons

et si l'on suppose que la petite courbe a pour équation p = const., et correspond à un cercle sur le plan des Z" ; cette intégrale peut s'écrire

.l'ai mis le signe — , parce que les t/IN" positifs doivent être comptés vers l'intérieur du petit cercle p = const.

Considérons maintenant une petite courbe entourant un îles

2 m -H ip — -1

po

ints singuliers de la deuxième sorte.

Soit Z = A, 7J =^ X' ce point singulier. Nous aurons

du du'

iL = — los;-r-7 — log— ;— — li.

" dio' " du

D'autre pari, on aura

H étant une série ordonnée suivant les puissances de Z' — A' et ne s'annulant pas pour Z'= A'.

On en déduit

H' ne s'annulani pas pour Z'= A'.

Il vient donc

dZ

dZ'

■). log I Z' — .\' I -H2 logH',

dÇ>'

L'expression

= - 2 log| Z'- A' I - -1 logH' - log V- - /'•

1 ij' 1 '^^ 1

2 log H -I- log — ; h /'

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION \u = €" . 587

reste finie; donc l'intégrale se réduit à

Le même calcul montrerait que cette intégrale est égale à ,\tz.

Considérons une courbe entourant un point singulier de la troisième sorte; il vient

/, = (2-- )Iog|Z — A| + /i,

/;, étant (ini et, par conséquent,

^-.)log|Z A|-/„-log^,

, , du . ...

Il, + log-;- clant hni.

jNotre intégrale est donc égale à

VloglZ — A

(dans cette formule, la lettre n figure deux fois dans deux sens différents; Il est un nombre entier et dn une longueur infiniment petite; mais aucune confusion n'est à craindre), c'est-à-dire, toujours d'après le même raisonnement, à

Passons enfin aux sommets de la quatrième sorte; on a

/i = 2 log I Z — A I -H 2 log log I Z — A I -t- A 1 ll^ restant fini; notre intégrale se réduit donc à

rf log I Z - A I ^ /■ rf log log LZ - AJ ^^^

dn

La première intégrale se réduit à 4''^- Quant à la seconde, si nous posons

et si nous supposons que la [)elite courbe a pour équation p = const., elle se

réduit à

/d log logp , r du S- ^J- p rfu) = 2 / -, — d? J log

diu

âgP

et tend vers zéro quand p tend vers zéro.

âSS LES FONCTIONS FUOHSIENNES ET l'ÉQI ATION A(( = e" .

L'intégrale se réduit dune linalement à 4~- En résumé, nous trouvons :

i" Pour les ni |)oints de lu première sorte,

— 8 ni 7t ;

2" Poiir les im + ip — 2 points de la deuxième sorte,

3" Pour les ^points de la troisième sorte (sommets de la deuxième espèce),

4" Pour les q' points de la quatrième sorte (souimets de la troisième espèce), Nous avons donc finalement

Considérons le ])olygoiie luchsien R,,, et soient 2 k le nombre de ses côtés, h le nomljre des cycles de sommets de première espèce, <j et q' ceux des cycles de sommets de deuxième et de troisième espèce.

La somme des angles est égale à

Le déficit angulaire (proportionnel à la surface non euclidienne) est

2t:(a-,-/,-VI').

On a, <raulrc |>art,

d'où

ce qui montre que le liélicit angulaire est égal à

2Tt ( 2/) - 2 ^ 7 -^ 7 -^ ^ ) •

L'intégrale / 'P dio est donc égale au double du déficit angulaire.

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET L'ÉQUATION \U = e". SSg

Elle est donc positive. c. q. f. n.

Donc, l'équation

DU = fie^ — <i>

peut s'intégrer; donc, dans tout tjpe t'uclisien, il y a une équation fuchsienne.

Le théorème fondamental est démontré pour toutes les fonctions fuchsiennes qui n'existent qu'à l'intérieur du cercle fondamental; je me réserve d'j revenir en ce qui concerne les autres fonctions fuchsiennes et, en particulier, celles de la troisième famille.