XII. — Formation des équations fuchsiennes

Soit

notre équation fuchsieune, où es est une fonction rationnelle des deux variables Z et Z' liées par la relation algébrique

Les deux intégrales fondamentales de cette équation seront

et Z sera une fonction fuchsienne de z.

Si l'on désigne par i" et i" les imaginaires conjuguées de r, el c^, on aura

D'autre part, nous avons posé

d'où

- '■!- /dl /dL^ ,

' ^=V/si/^^'-^-^'

ou bien

u L'exponentielle e ' est une fonction de Z et Zo et nous avons, dans ce Mémoire

âgO LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉOUATION Am = e".

appris à former cette fonction pour les couples de valeurs Z et Z„ qui sont imaginaires conjuguées.

Cela posé, il vient

d'-e~~- dU', d^ç,

dV- ~ dZ"- ' dV^ - '

ou, à cause de l'équation (i),

ou enfin.

La fonction u est connue pour tous les couples de valeurs conjuguées de Z

et Z„, c'est-à-dire pour toutes les valeurs réelles de X et de \ (en posant

Z = X4-îV).

On connaît donc aussi, pour toutes les valeurs réelles de X et de ^ , les

, , . , du du dérivées -p^ et jr; et, par conséquent,

dZ^ -'

•2 dz^ "^ ,: