KS

du dZ

I /du du \

2 \dX ^ Td\) '

d^u i /d'- u 1 d' u dHi

5Z^ ~ 2 \lm "^ i d\ d\ rfY2

Nous connaissons donc tp et, par conséquent, l'équation fuchsienne est formée. U est aisé de vérifier que » est fonction de Z seulement; en elTet,

do \ d'-'u I du d- u

dZo 2 dZ'^dZo 1 dZ dZ dZ^

Or

rfs u d^ u du

dZdZ^~ ' dZ^ f/Zo dZ

Donc

aZo

On vérifierait facilement les autres propriétés de la fonction tp.

Ces considérations peuvent nous permettre d'entrevoir une autre démonstration de l'existence de l'équation fuchsienne.

Supposons que nous considérions les équations d'un même type tuclisien; la fonction es qui y figurera ne sera pas entièrement arbitraire; elle dépendra seulement d'un nombre fini N de paramètres.

LKS FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION Au = C" . Sgl

Les intégrales i', eL cj dépendront de ces N paramètres et, en plus, de quatre constantes d'intégration.

Si l'on forme de cette manière l'expression

ce sera une fonction de X et de Y qui dépendra de N + 4 paramètres. Seulement, la fonction ainsi définie pourrait n'être pas uniforme sur la surface de Klein; on la rendrait uniforme par des coupures.

On formerait ensuite l'intégrale du paragraphe IX et l'on répéterait le raisonnement de ce paragraphe fondé sur le calcul des variations. Mais celte fois ce raisonnement serait rigoureux, parce que l'intégrale ne dépendrait plus d'une fonction arhitraire, mais d'un certain nombre de constantes arbitraires.

On serait donc certain qu'elle a un minimum.

FONCTIONS MODULAIRES

FONCTIONS FUCHSIENNES (

Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 3" série, t. 3, p. i25-i49 (igu).