I. — Séries «^ à indice négatif

Les fonctions modulaires ne sont qu'un cas particulier des fonctions fuchsiennes; le groupe fuchsien correspondant est celui des substitutions (:,^ — ^) où a, p, y, S sont des entiers tels que ao — ^y =z i . Le cercle fondamental se réduit à une droite, axe des quantités réelles, de telle façon que les fonctions n'existent qu'au-dessus de cet axe. Il est clair que les propriétés générales des fonctions fuchsiennes s'appliquent aux fonctions modulaires; je me suis déjà occupé de cette application dans un Mémoire intitulé : Sur les ini-ariants arithmétiques, inséré au Tome 129 du Journal de Crelle (1905), mais j'ai laissé dans l'ombre un certain nombre de points sur lesquels je voudrais revenir. Dans les renvois qui vont suivre, la lettre A se rapportera au Mémoire Sur les fonctions fuchsiennes ^Acta matheniatica, t. I (2)] et la lettre C au Mémoire Sur les invaiiants arithmétiques que je viens de citer (^).

Rappelons d'abord les principes fondamentaux en quelques mots :

1° Line fonction fuchsienne est une fonction de :, méromorpbe dans tout l'intérieur du cercle fondamental (ici pour tout point situé au-dessus de l'axe des quantités réelles, cet axe étant exclu) et satisfaisant à la condition

f) H. PoiNCARÉ n'a pu corriger les épreuves de ce Mémoire, dont il avait envo\é le manuscrit à l'impression le 7 juillet 1912, la veille du jour où il est entré à la Clinique où il devait être opéré. {') Ce Tome, p. i69-25'7. N. E. N.

{') Le Mémoire désigné par la lettre G ne figure pas dans ce Volume.

FONCTIONS MODULAIRES ET FONCTIONS FUCHSIENNES. îgS

2° Une fonclioa [liétiifuchsienne est une lonctionde 5, laéromorphe à l'intérieur du cercle fondamental et satisfaisant à la condition

(la fonction est alors d'ordre m).

On peut avoir avantaf;e à mettre une fonction thétafuchsienne sous la forme

homogène. Posons :; = - et

©(;, -i\) sera une fonction homogène d'ordre — 2m en q et /| et la relation (2) deviendra

(2bis) e(a5 -I- pr,, f; -1- St) ) = e(Ç, t) ).

Pour revenir d'ailleurs de la forme homogène à la forme ordinaire, il suffit de faire ; ^ ;, Tj ^^ 1 .

3° Une fonction thétafuchsienne s'exprime facilement à l'aide des fonctions fuchsiennes ; donnons en particulier cette expression dans le cas des fonctions modulaires. Dans ce cas, le polygone fuchsien est un quadrilatère formé de deux ti'iaiigles égaux (au point de vue non euclidien) et dont les angles sont o, - et ^- Soient A, B, G les trois sommets de ce triangle; le sommet A est sur le cercle fondamental (je |>uis clioisir mon polygone fuchsien de laçon que ce sommet soit le point ; ^ ao). Il existera une fonction fuchsienne

à l'aide de laquelle toutes les autres pourront s'exprimer rationnellement et

telle que l'on ait

^ = xenA, 3" = oenB. 3- = ienC;

on aura alors, pour une fonction thétafuchsienne quelconque d'ordi'C m,

R étant une fonction rationnelle de x; mais il convient de distinguer quatre espèces de fonctions thétafuchsiennes :

i" Celles de la première ou de la quatrième espèce seront celles qui deviennent infinies à l'intérieur du cercle fondamental. La condition pour H. P. - II. 75

594 FONCTIONS MODULAIRES ET FONCTIONS FUCHSIENNES.

qu'une fonction (-) ne jnusse pas devenir inliiiie à l'intérieur de ce cercle, c'est d'abord que R ne puisse devenir inlinie que quand -^ s'annule, c'est-à-dire pour a; = o ou jc = I , et que l'ordre d'inlinitude de R soit moindre que l'ordre de petitesse de l'autre facteur \--fz) '< "" devra donc avoir

P étant un polynôme de degré /) et X, et Xj étant des entiers tels que

(^bis) ^'=T' ^'=— •

2° Si les conditions (4) et ( 'i bis) sont remplies, la forme 0 est de deuxième ou de troisième espèce; mais uni' autic distinction est nécessaire. On a démontré [A, p. 275 ('); A, p. 21 5 (2)] que pour qu'une fonction tliétafuchsienne de la forme (3) puisse être représentée par une série thétafuclisienne, l'expression x'"V\. doit tendre vers zéro quand x croît indéfiniment, si x=ao correspond k un sommet situé sur le cercle fondamental, ce qui est ici le cas. Cela nous conduit à la condition

jo £ Xi -f- X2— ni — I.

Si plus généralement on a

ri p P

P et Q étant des polynômes de degrés p et q ne s'annulanl ni pour x = o, ni pour a; = I , on devra avoir

(5 bis) p — qiXi + \,^ m — i.

.3" Si les conditions (5) et (5 bis) sont remplies, la fonction est de première ou de seconde espèce; dans le cas contraire, elle est de troisième ou quatrième espèce.

4° Une série tliétafuclisienne est une série de la forme suivante : soit H( ;, r,) une fonction rationnelle liomogène de degré — 2m en ? et en ti ; la série en question est ^

la sommation étant étendue à toutes les substitutions du grou[)e fuchsien. Pour

( ' ) Ce Tome, p. ■•']!.

(■) Ce Tome, p. if<«.

FONCTIONS .MODULAIRES ET FONCTIONS FUCHSIENNES. SgS

que cette série converge, il faut que m soit au moins égal à 2 et que la

fonction H(;, /i) ne devienne infinie pour aucune valeur de - située sur le cercle

tondninental. Dans le cas particulier qui nous occupe et où le cercle fondamental se réduit à l'axe des^ quantités réelles, cette seconde condition doit s'énoncer ainsi : la fonctitui rationnelle H(Ç,yi) ne doit devenir infinie pour aucun système de valeurs réelles de ; et de yj, le système \ = o, Tj := o étant mis à part.

Je suis obligé d'insister sur ce point à cause d'une inadvertance que j'ai commise dans le Mémoire cité (C, p. 92). J'ai dit que H(Ç, r,) devait avoir un zéro d'ordre ik au moins pour y) = o ; cette conclusion n'était nullement justifiée par le raisonnement qui précédait et qui conduisait tout simplement à l'énoncé que je viens de donner; je nen ai heureusement fait aucun usage et le reste du Mémoire a été écrit sans en tenir aucun compte.

Quoi qu'il en soit, nous devons distinguer deux espèces de séries thétafuclisiennes : celles où H devient infini à l'intérieur du cercle fondamental, et celles où H n'y devient jamais infini. Les premières seules peuvent devenir infinies à l'intérieur du cercle fondamental. Les séries thétafuclisiennes de première espèce représentent des fonctions de première espèce, les séries de tieuxième espèce représentent des fonctions de deuxième espèce; les fonctions de troisième et de quatrième espèces ne peuvent être représentées par des séries thétafuclisiennes.

5° Mais, outre les séries thétafuclisiennes, nous avons d'autres séries qui peuvent représenter des fonctions thétafuchsiennes. Nous avons en premier lieu les séries

convergentes si m est au moins égal à 2. On doit y donner à a et ,3 toutes les valeurs entières premières entre elles. Ces séries ne difi"èreut que par un facteur constant simple de celles que Ion obtiendrait en donnant à a et j3 toutes les valeurs entières sans exception, sauf hien entendu le système a= [i = o.

A chaque substitution du groupe correspond un système de valeurs entières et premières entre elles de a et P; réciproquement, à chaque pareil système, correspondent une infinité de substitutions du groupe, comprises dans la formule

590 FONCTIONS MOnULAlBKS ET FONCTIONS FUCHSIENNES.

y el 0 étanlcleiix entiers lels que ao — Py = ' i •î'- l-*^ étant un autre entier arbitraire.

Nous avons ensuite les séries

l(af -+-piri)2" '

yl îaiit-— — -—

Ici encore m et ^ sont des entiers, le premier au moins égal à 2, le second positif ou négatif; nous donnons à a et ^ tous les systèmes de valeurs entières premières enire elles ; enfin y el 0 sont des entiers tels que ao — ^y = 1 . Peu importe d'ailleurs la façon dont on choisit y et S, car si l'on change y et S en y + ua et 0 + [ji.j3, [jl étant entier, l'expijnentielle

^ Y? + Sri

e"''"aUfi.

ne change pas. Il est clair que les séries 7 — -; k—tt— rentrent dans le même

type et peuvent s'écrire

Cela posé, considérons la fonction rationnelle 11(^,7,) qui sert à former la série ihétafuclisienne et décomposons-la en éléments simples par rapporta ?; nous aurons, si tous les infinis sont simples,

S'il y a des infinis multiples, nous aurons des termes de la forme

fj pouvant être d'ailleurs plus grand que 2 ni. Nous n'avons pas à nous inquiéter de la partie entière (par rapport à Ç) de la décomposition de H en éléments simples. Cette partie entière n'existe 'pas ; car H ne doit )ias devenir Infinie pour T) = o.

Nous ne pouvons pas nous servir de l'un des éléments simples du second membre de (7) pour construire une série thétafuchsienne, car ces éléments simples deviennent infinis pour/, =0. Il n'en serait pas de même de l'élément simple (<S) si q était au moins égal à 2 in .

D'ailleurs, j)i)ur que H ne devienne pas mliiiic pour /, = d, il faut certaines relations entre les itisidus Ba, à savoir

(9) S B/, dy' = o { q = o, i, i, .. . , 1 m — 3).

FONCTIONS MODULAIRES ET FONCTIONS FUCHSIKNNES. 5^J

Considérons alors la série thétafuchsienne

SHfotJ + pT], v£ -f- OT, ) ;',

nous pouvons, en f;roupant les termes d'une aiarnère convenable, la décomposer en séries partielles; à cet effet, nous grouperons ensemble toutes les substitutions qui correspondent aux mêmes valeurs de y et de 5 ; l'ensemble des termes correspondants s'écrira

S H[a$ -t- 3r; -i-/)(y^ + SiT)), vï -t- 3ir)].

les entiers a, [3, v, 2 ayant des valeurs déterminées, tandis que l'entier p est quelconque. Envisageons séparément les divers éléments simples de H; l'un de ces éléments nous donnera

(T? -*- o^n )-'"-' ^ ( a? -t- ^T; ) -1- (yD — a/t ) ( Yi H- i5ri ) ' et il faut sommer par rapport à l'entier p; la sommation est aisée, on trouve

Or, la cotangente de x peut être développée suivant les puissances soit croissantes, soit décroissantes de e^'-^, suivant que le module de cette exponentielle est très petit ou très grand; nous aurons, dans le |)remier cas,

TzcolTzx = 1.1,, e^'/J^-r

(d'ailleurs 7,p est égal à — /tt pouryj = o et à — 2«7r pour ^ > o) et dans le second,

L'expression (lo) s'écrira donc, si la partie imaginaire de a/, est grande et négative,

B/,S>.p e-2'>it<!)i(YS -H 8r, )-2"> e Y5 + 8r,^

et, si elle est grande et positive,

a; -H pri 2 ,/> 7t -

Il nous faut sommer, par rapport k p el par rapport à k, ainsi que par rapport aux systèmes d'entiers y et 2. Nous observerons à l'égard de cette seconde sommation que

2(y; -h S-ri)-2"' /'''"tÇ + ôo = 'hCç, 75; —y,, m)

SgS FONCTIONS MODUmnES ET FONCTIONS FUCHSIENNES.

à cause de la perimilation du rôle des entiers a, ^ avec celui des entiers y, o. Nous aurons donc, à supposer que tous les «^ aient leur partie imaginaire grande,

(II) e = SB^X,, e-2'/"t«i i)/(^, T); — p, m) — S B^X^ e2'/"t«nj;($, r, ; p, m);

le premier terme du second membre se rapporte aux n* dont la partie imaginaire est négative et le second terme aux cik dont la partie imaginaire est positive.

Dans le cas où nous aurions des infinis multiples, nous n'aurions qu'à remarquer que (8) n'est, à un facteur constant près, que la dérivée (q — i)' du terme général du second membre de (7), dérivée prise par rapport à a/,; nous introduirions ainsi, par exemple, dans le second membre de (i 1), des termes de la forme

{m bis) MS CjO'?-iXpe-2'>t«nj;(^, T, ; — /,, m),

M étant un facteur numérique simple dépendant de q.

Il importe de nous rendre compte de ce que nous devons entendre Y>^r grande, quand il s'agit de la partie imaginaire de a*. Les deux développements de cotita; sont toujours valables, le premier toutes les fois que la partie imaginaire de X est positive, le second toutes les fois qu'elle est négative. Considérons, d'autre part, les difterentes valeurs que peut prendre l'expression

«^ + ?r, ï? -+- Sr,

pour les différentes substitutions du groupe; ce sont les différents transformés

du point ; = --Ils sont tous au-dessus de l'axe des quantités réelles, leur partie

imaginaire est toujours positive et elle peut varier depuis o jusqu'à une certaine limite supérieure L qui correspond à ceux des transtormés de ; qui se trouvent dans ceux des polygones fuchslens transformés du polygone luchsien fondamental qui s'étendent à riufiiii. Toutes les expressions

devront donc avoir leurs parties imaginaires de même signe, c'est-à-dire que*/* devra avoir sa partie imaginaire négative ou bien plus grande que L.

Supposons d'abord quetous les ajî aient leur partie imaginaire négative. Dans

FONCTIONS MODULAIRES ET FONCTIONS FLCHSIENNES. 699

ce cas, la série thélaluchsieiine sera de seconde espèce et ne pourra représenter qu'une fonction de seconde espèce; mais nous savons que le noinljre des fonctions thétafuchsiennes de seconde espèce linéairement indépendantes est limité. Ce nombre est égal à

n, n, n, n, «-<-], n pour

/7! = 6n-i-2, 6n -\- i, 6/1-+-4, 6n-i-5, 6/!-+-6, fin -^ y

Donc, pour m = 2, 3, 4) 5 et •j, il n'y a pas de fonction de seconde espècaet toute série de seconde espèce est identiquement nulle. Nous considérerons en particulier la série formée avec une fonction rationnelle H présentant un seul infini a d'ordre 2m

(f ar))-^"'

Si nous lui appliquons la formule (11) convenablement modifiée, il viendra

Cette expression, qui est développée suivant les puissances de e"'""', doit être identiquement nulle, quel que soit a; il faut donc que tous les coefficients de la série soient identiquement nuls ; la série commence par le terme où ^j = i , le terme où p = o est nul à cause du facteur p'-'"~' . Donc l'expression

est nulle identiquement toutes les fois que p est négatif et que m = 2, 3, 4, 5 ou 7.

Pour d'autres valeurs de m, il y a des fonctions de seconde espèce, mais il n'y en a qu'un nombre fini; l'expression ( 1 2 ) doit donc s'écrire

(1-2 bis) e = K181 -t- K2H2 -f-. . .-4- K,,e,,,

où q est le nombre des fonctions de seconde espèce linéairement indépendantes, où les &i sont ces fonctions elles-mêmes, où les K,- sont des coefficients qui dépendent seulement de a. En identifiant les expressions (12) et (12 bis), nous voyons que, l'identité devant subsister, quels que soient ^ et r,, d'une part<et quel que soit a, d'autre part, les coefficients K, sont développables suivant les puissances de e~-""' et qu'en identifiant les coefficients des puissances de cette

(' ) Ce Tonu-, p. 207, 240.

Goo FONCTIONS MODULAIRES ET FONCTIONS FUCHSIENNES.

variable on trouve

'!'(?. T,; —/), «0 = /.iei-l-X-î02 + .- .-^ k^Bq, les k étant des coefficients constants ; donc :

1° Quelque soit m, l'expression 'L(;, y, ;/>. m), où p est négatif, représente une fonction thétafuchsienne de seconde espèce.

2" // y a toujours une relation linéaire entre 7 + 1 de ces expressions si p est négatif.

Il resterait à former elVectivement ces relations linéaires.