II. — Séries j^ à indice positif
Pour pouvoir aborder l'étude des expressions 'i quand p est positif, il faut nous placer un instant à un autre point de vue. Considérons la fonction
pour ; = 00, c'est-à-dire pour le sommet A du polygone fuchsien ; on aura x = x. Je puis même écrire
en développant x suivant les puissances de e-'~'^; le développement commence par un terme du premier degré, je veux dire que u-o = o, [Ji-)-ï;0 [A., p. 274 (')]• Je puis d'ailleurs renvoyer, pour le cas particulier des fonctions modulaires, aux relations connues entre le module et les périodes. On tire de là un antre développement
(2) -ï =e-2'=7rv,,^gî/,;n (v„>o),
dz
lonc le développement de -r^ commence par un terme de degré — 1 en e- Soit alors une fonction R quelconque, et
Nous prendrons, par exemple,
( ' ) Ce Tome, p. 289.
FONCTIONS MODIILAIRKS ET FONCTIONS FlICHSIENNES. 60|
les entiers A, et Aj et le degré/* du polynôme P satisfaisant aux conditions
Cette fonction 0 ne pourra devenir infinie à ["intérieur du cercle fondamental que pour la valeur ; =r a qui correspond k'x ^ c. Si nous voulons former la série thétafuclisienne correspondante, il faudra donc que nous prenions (en renonçant à l'homogénéité et faisant, par conséquent, Ç ^ ;, yj = i)
Les a^ sont les pôles de H qui sont à l'extérieur du cercle fondamental, les B^. sont les résidus correspondants; a est le pôleunicjue intérieurau cercle londamental et B est le résidu correspondant.
Appliquons la formule (ji) du numéro précédent à cette série lliétaluclisienne, il viendra
(4) e = s B'^-Xpe-î'/'i"; il-(— yD) — BX À,, <;2i>îta ^(^),
Nous écrirons pour abréger 'li(p) au lieu tie 'i^c, y,;/), //;).
Le premier terme du second membre de (' 4) représente une fonction thétafucbsicnne de seconde espèce, que nous pourrons écrire
Kit), -+- Koe.2-i-. . .-<- K,e,,,
q étant le nombre des fonctions de seconde espèce, les 0, ces fonctions ellesmêmes et les K des coefficients qui dépendent de a.
Nous savons, par les dé\ eloppements (i) et (2), que - et -^ sont développables suivant les puissances de e-"^", le premier développement commençant par un terme de degré i et le second par un terme <le degré — 1. Nous aurons
donc
•^ /rf,r\"' f(j") .r''
On peut développer -^^ suivant les puissances de e-"^", le développement commencera par un terme de degré /( + i ; nous en déduirons
^ /dx\"'
jLu \dz I xA,(a; — !)>'.
le polynôme P* étant de degré p -^ k — i .
6o-2 FONCTIONS MODULAIRES ET FONCTIONS KUCHSIENNES.
Daiitre part, nous avons
/rfc\"'-' P(c)
^da J c^-i ( c — I )''■
Développons encore suivant les puissances de e-""'; nous voyons que le
/ dc\ '""' développement du premier facteur/ -j-\ commence par un terme de degré
1 — m et celui du second facteur par un terme de degré X, + Xo — p; donc le développement de B commencera par un terme de degré
(i — m) -t- (Xi-H Xî — jo) = I, et nous pourrons écrire
B = 26ye2'n>« (6» = o, ^i?; o ).
De plus, les coefficients K, pourront aussi être développés sous la forme de sorte que l'équation (4) deviendra
/dxy p„
d'où
\dz J x'''(x — l)*"
/ dT\ '" P„
(le nombre / peut prendre les valeurs i , 2, . . ., q). On en déduit aisément
\az J x''^(x — i)''j
Qy étant un polynôme en x entièrement déterminé de degré p + q — i et les gi des coefficients indéterminés.
La formule (5) donne donc la valeur de la [fonction '^{q) pour q nul ou positif à une fonction thétafuchsienne de seconde espèce près.
