III. — Convergence des séries thétafuchsiennes

Jusqu'à présent, nous nous sommes astreints, dans la formation des séries thétafuchsiennes, à l'iivpothèse que H ne peut devenir infinie sur le cercle fondamental; nous savons, en effet, que cette hypothèse est suffisante pour que la série converge [A., 208 (')]• Mais elle n'est pas nécessaire et il est possible de l'étendre ; pour ciiercher les conditions de convergence, nous montrons,

(') Ce Tome page i32.

FONCTIONS MODULAIRES ET FONCTIONS FUCHSIEN.NES.

en efFet, que

converge [A., i(j6 (')],et nous en avons conclu que la série thélafuchsienne

converge également, pourvu que l'on puisse assigner une limite supérieure au module de H, ce qui arrive quand H ne devient pas infinie sur le cercle fondamental.

Supposons maintenant que H devienne infinie jau point 3 = a situé sur le cercle fondamental; alors il pourra se faire que, parmi les expressions

il yen ait une infinité qui soient infiniment près de a, auquel cas les valeurs correspondantes de H pourront devenir infiniment grandes. Mais si le cercle fondamental a pour centre l'origine et pour rayon l'unité, on a

[A., 2o4 (-), lemme V]; de plus, il est clair que

as-hp

yz-

Iy:

donc

>-i'-h-p)lY--+-2|-'

Si donc H devient infinie du premier ordre pour z=a, l'expression H)"" "'"H

sera de l'ordre de | --; + 3 |- et le terme général de la série thétafuchsienne sera

(le l'ordre de

Donc la série convergera encore, pounu que m soit au moins égal à 3.

Le nombre m devrait pour la convergence être au moins égal à 4 ou à 5, si H possédait sur le cercle fondamental des infinis doubles ou triples.

(') Ce Tome page 172.

(') Ce Tome page 179.

Go4 FONCTIONS MOnilI.AlRIÎS lîT FONCTIONS FUCHSIENNES.

SI nou-~ appliquions ce priiicipo en purticiilit'i- à l'Iiypothèse

-l('ç - a,rr,)l

[formule (S)'dirparagraphe I], rums voyons que H a un infini d'ordre 2/» — q sur le cercle fondamental; la ciuidition de convergence serait

q'i.in-k- 1.

jNous n'aurions ainsi qu'une idée inexacte de la véritable limite de convergence; en elVel, si a^est un point double d'une substitution parabolique appartenant au groupe fucbsien, la dillérence /

n'est pas de l'ordre de (y: + 2) - comme dans le cas général, mais seulement de l'ordre de (y:; +o)~' ; on s'en rendra compte de la façon suivante : je puis d'abord supposer a = o; soient ensuite

une inlinité de transformés de z, choisis de telle sorte que tout transformé de s par le groupe fucbsien puisse être regardé d'une manière et d'une seule comme le transformé de l'un des 2,- par une des puissances de la substitution parabolique; tous ces transformés de ; seront donc de la forme

mil ;, -r- I

m étant un entier (qui est l'exposant de la puissance à laquelle est élevée la substitution parabolique) et h une constante; on aura d'ailleurs

1 dzi ■

On ])out choisir les r-, de façon qu'ils soient tous à distance iinie du cercle

fondamental. Dans ces conditions, z-, et -p^ sont finis; on voit que — ^ ^ est

dz T -; c — 0

de l'ordre de ( mliZi+ \}'' et que {'^z -\~of- est de l'ordre de (/?(/;;, -1- i)"-, c'est-à-dire que -^ ^ est de l'iuiirc de (y; -}- oj~'. c. q. v. d.

FONCTIONS MODULAIRES ET FONCTIONS FL'CHSIENNES. 6o5

Nous nous'en rendrons dtiilleurs mieux compte en revenant ;i l'hypothèse

-7( « — at.yi

dans le cas particulier du groupe modulaire. Le terme sénéral de la série est

( 7= -H Sr, ;"« -7 [ ( z^ -H [iT) ,«(-.$ + «-0 ) ]''

Dans le cas du groupe modulaire, a, 3, y, o sont des entiers tels que

»5 — Py = ' ■

Nous pouvons grouper les termes qui correspondent ù un même système de

valeurs de y et 5; tous ces termes se déduisent de l'un d'entre eux en clian-

geant a et ^ en a+py et {3+/JÛ, p étant un entier. Le ternie général est

alors

L'expression

(ï$ + 0Tf))2"

LyS + o-i J

ne peut s'annuler ni devenir infinie; et, en effet, nous pouvons toujours

choisir a et 3 de telle façon que -J ^ ait sa partie réelle comprise entre o

' ' ^ yl -h or, 1 '

et I ; de plus, cette expression est imaginaire, mais il n'y a qu'un nombre fini de ses déterminations dont la partie imaginaire dépasse une limite donnée; de plus, a est imaginaire ; nous pouvons donc assigner une limite supérieure et une limite intérieure au module du rapport

d'où l'on conclura que le second facteur de (i) est de l'ordre de/?~ï; de sorte que la série sera convergente ou divergente avec celle dont le tenue généralest

or, )■'-•" p'I

Celle-ci se présente comme le produit de deux séries, dont la première converge si 711^2 et la seconde si q^2.

Notre série convergera donc pourvu que q soit au moins égal à 2. Pour q= i

6o6 FONCTIONS MODULAIRES ET FONCTIONS FLCHSIENNES.

elle ne convergerait plus absolument, mais on pourrait en grouper les termes de façon à obtenir une série semi-convergente.

Nous pouvons définir par là des séries thétafuchsiennes que nous appellerons de troisième et de quatrième espèces. Celles de troisième espèce seront celles où H aura des infinis sur le cercle fondamental et à l'extérieur, mais pas à l'intérieur ; celles de quatrième espèce seront celles où H aura des infinis sur le cercle et à l'intérieur, et pourra en avoir aussi à l'extérieur. Il est clair qu'une série de quatrième espèce peut toujours être regardée comme la somme d'une série de première espèce et d'une série de troisième espèce.

Pour rechercher ce que représente une série de troisième espèce, il faut distinguer deux cas. Soit a la valeur de z située sur le cercle fondamental et pour laquelle H devient infinie; de deux choses l'une : ou bien a n'est pas un sommet du polygone fuchsien fondamental, ou bien c'est un sommet de ce polygone.

Dans le premier cas, la série 0 ne devient infinie pour aucun point du polygone fuchsien, ni par conséquent pour aucune valeur de la fonction fuchsienne x; elle représente donc une fonction thétafuchsienne de seconde espèce.

Dans le second cas, elle représentera encore une fonction thétafuchsienne, qui ne pourra pas devenir infinie à l'intérieur du cercle fondamental, ni par conséquent pour aucune valeur finie de x ; elle satisfera donc aux conditions (4) et (4 bis) du paragraphe I. Mais elle ne satisfera plus à la condition (5) ; il n'est plus \rai, en effet, que a;"'R tende vers zéro quand x croit indéfiniment, car la démonstration qui en a été donnée [A., p. 21 5 ( ' )] suppose expressément que H ne devient pas infinie sur le cercle fondamental. La série représente donc une fonction de troisième espèce.