SUB UNE FONCTION ANALOGUE AUX FONCTIONS MODULAIRES

Soient

pi, «1, p2, «j, ^3, aj, ..., p„, a„, (3,

les valeurs correspondantes d'une fonction ; que je définis comme le rapport de deux intégrales de l'équation (i).

1" Si l'on regarde les a comme des constantes, de telle sorte que les a et les p soient fonctions des B seulement, les a et les ^ seront des fonctions holomorphes des B pour toutes les valeurs finies de ces quantités.

2" Ne considérons plus maintenant les a comme des constantes ; mais, au lieu de regarder les a et les fj comme fonctions dos a et des B, considérons au contraire les a et les B comme loiiclions des a et des [j :

a,-= !»,(ai, pi, ..., ï„, |î„), B, = '>,(a,, p,, ...,a„, p,,)-

Remarquons d'abord que les variables a et p ne sont [>as indépendantes, mais qu'il j a entre elles la relation

(2) (p,-a,)(3,-a2)...(p„-a„) = (c(,-p,)(«2-P^i)--.(«„-i-p«)(a«-Pr)-

Les (5 et les A seront des fonctions luiijoitrs nnijor/nes et nu'runiurj)lic.'n\cs variables a et p liées par la relation (a). Ce système de fonctions uniformes me parait jouer, par rapport aux iulcgrales de l'équation (i), le même rôle que les fonctions modulaires par rappcut aux intégrales elliptiques.

3' Les fonctions es et à ne changent pas (juand on change les a et les ^ dételle façon que le rapport anbarmoniqiie de (piatre de ces quantités demeure invariable.

4° Les fonctions es et <l ne changeront pas non plus quand on fera subir aux a et aux 8 des opérations con\cnables, et il résulte de là, pour ces fonctions, de rcmanuiablcs propriétés d'invariance. Dans le cas général, l'énoncé de ces propriétés m'entraînerait trop loin. Supposons donc n ^= 3 pour fixer les idées.

Soient a',, jj',, a',, P'.,, a'^, [i'.^ des quantités définies par les équations

a'i = ai, ai = 0:3, p; = Ps, I I I I

ïj — a,

ai-=<3

-ai

pj—

P'3— ='3 P'i — «3 p3— «3 Pl

a8 Sim UNE fonction ANALOClili AUX FONCTIONS MODULAIRES.

OU aura

^(a',, j3',, a'„ Pi, a'„ |î'3) = +(a„ P,, «j, ^,, a„ pj).

Oo lotto relation d'invariance on peut en déduire deux autres par des permutations circulaires d'indices. En combinant ensuite ces trois équations d'in\ariaiice, on en obtiendra une infinité d'autres.

.")" Si les a et les j3 sont réels cl de telle sorte tjue

X sera fonction luchsienne de Z-.

Si les a elles p sont imaginaires, maissuffisaninienl voisins tic quantités réelles satisfaisant aux inégalités (3), x sera encore fonclinu uniforme (kleinéenne) de z ; si, au contraire, les a et les 3 s'éloignaient trop de valeurs réelles satisfaisant aux inégalités (3), x cesserait d'être l\)netion uniforme de z.

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Complet rendus de l'Académie des Sciences, l. 'J3, p. 3oi-,'io3 (8 anùt i8Si).

Dans ma Communicalion du 3o mai dernier, j'ai monlni que le problème de l'inLégralion des équations diH'érenticlles linéaires à coefficients rationnels se ramène au suivant :

Construire une fonction fuchsicitne F (z) ne pouvant prendre aucune des n valeurs données

Si l'on assujettit, de plus, V (:;) à pouvoir [irendre toutes les valeurs possibles à l'exception des valeurs (i), le nombre des paramètres dont on dispose est égal à celui des conditions que l'on s'impose. Si l'on ne s'assujettit pas à cette condition, le nombre des paramètres dont on dispose est infini.

Grâce à cette circonstance, il était extrêmement [)robable que le problème était toujours susceptible d'une infinité de solutions ; mais je ne l'avais encore démontré rigoureusement que dans des cas particuliers. Je vais faire voir que cela est encore vrai tians le cas général.

En eifet, je répartis les valeurs (i) en deux classes :

i" Les valeurs réelles a, , a2, . . ., a,„ ;

2° Les valeurs imaginaires a,,,.,.,, a,„^2i ^m que j'écris

(ii, Pi, ..., p,, (p = n — m). Soient P',, |3j, ..., p' les valeurs conjuguées de j3|, flo, ..., pp.

3o SlIIl LKS FONCTIONS FUCHSIENNES.

ic me pn)|)(isc de oouslruirc une lonclioii V [:■) no poiivaiil prendip aiicuiic des /Il valeurs réelles données a,, a^, ..., a,„, ni aiieiine des 2 p valeurs ima;;inaires données (conjuguées deux à deux) j^i, . . . , [ip, [î', , .... p' . Je vais faire voir que ce problème se ramène au suivant ; Construire une fonction F, (:) ne pouiunt devenir égale ni à m -\- 2 q valeurs réelles données, ni àzp — 2 ry valeurs imaginaires données conjuguées deux à deux.

Soil, en ed'et,

0(0;) sera un polynôme de degré ap, à coeffieicnls réels.

L'équalion

rftp dx aura 2p — i racines

dont 2 /: — I seront réelles, /• élant au moins égal à 1 ; il restera p — /• couples de racines imaginaires.

Soient

?(«!; = «1, 9(02) = n-2, .... tf(«,„) =a,„,

?(ïl)=C,, 9(Y2) = C2, ..., <6(Y2p,)= C,,,-,

Les a seront réels ; parmi les G, 2q — i seront réels, q étant au moins égal à ;• et, par conséquent, au moins égal à i ; les 2yj — 2 q autres G seront imaginaires et conjugués deux à deux.

Supposons que l'on ait con>lruil une fouctiou l'i(;) ne pouvant [uendre aucune des m + 2p valeurs «,,«2,..., «„,, o, G,, Go, . . . ,C2p i, t^oniîp — 2q seulement sont imaginaires et sont d'ailleurs conjuguées deux à deux. Définissons une fonction F ( ::) par l'équation

9lF(^)] = F,(2).

F, (s) ne pouvant prendre aucune des valeurs G,, G2, ..., Gop,, F(c) sera fonction uniforme de z. F|(;) ne pouvant devenir nul, F(;) ne pourra devenir égal à aucune des valeurs [3. Enfin F,(;) ne pouvant être égalé à aucun des a, F (z) ne pourra être égalé ii aucun des a, c'est-à-dire que F (z) satisfera aux conditions imposées.

En employant un nombre suffisant de fois le même artifice, on ramènera la construction de F(z) à celle d'une fonction F/, (z) ne pouvant prendre ni -+- ip .

SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 3l

voleurs réelles données. Or ce problème est (ou jours possible, ainsi que je l'ai montré dans ma Communication du 2,3 mai. On en conclut :

1° Que loule équalion dilTérentielle linéaire à coefficients algébriques s'intègre par les fonctions zétafuchsiennes ;

2" Que les coordonnées des points d'une courbe algébrique quelconque s'expriment par des fonctions fuclisiennes d'une variable auxiliaire.

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 93, p. 58i-f)82 (i- octobre i8Si).

i. J'ai retrouvé par une autre voie un certain moyen d'exprimer les fonctions fuchsiennes parties séries, moyen dont j'avais déjà parlé dans un Mémoire antérieur, mais non dans les résumés insérés aux Comptes rendus.

J'envisage un f;roupe f'uclisicn G formé des substitutions

i variant de n à l'infini, et je considère la série

^(-«) = 2 ^7^:;rs-(-^'- + »^'-^""

I — Il ^ ?n"

Si z était une constante et a la variable indépendante, cette série serait une fonction thélafuchsienne de a ; mais je regarde au contraire z comme la variable et a comme une constante.

une des substitutions fondamentales du groupe G. On trouve aisément

Le second membre est un polynôme en z de degré 2 m — 2 et dont les coefficients sont des constantes, fonctions thétafuchslennes de a.

Cela posé, soit n le nombre des substitutions fondamentales de G, multiplié par 2 m — i . On pourra toujours, dans l'expression

*(3) = Ao(f(3, ao) -t- A,cp(;, a,) +. . .+ A,; (p(3, a„), clioisir les constantes A cl a de telle sorte que

Le quotient de deux fonctions telles que 'I'(^) sera alors une fonction fuclisienne.