Parmi les équations linéaires de la forme

(0 rf^ = '"?(^)'

où es (x) est une fonction rationnelle de X, dont les intégrales sont régulières et dont les points singuliers sont donnés, ainsi que les racines des équations déterminantes correspondantes, il ne peut y en avoir qu'une telle que x soit fonction fuchsienne (de la première, deuxième ou sixième famille) du rapport des intégrales.

Il existe un tbéorème analogue pour le cas où cp (x) est algébrique.

3. Dans une Note que j'ai eu précédemment l'honneur de présenter à l'Académie, j'ai parlé d'équations de la forme (1) dont les intégrales étaient irrégulières et où cependant x était fonction fuchsienne du rapport des intégrales. De pareilles fonctions fuchsiennes n'existent pas dans tout l'intérieur du cercle fondamental, mais seulement dans un espace limité par une infinité de cercles, tangents entre eux et orthogonaux au cercle fondamental.

4. Il existe une expression très simple du genre de la relation algébrique qui a lieu entre deux fonctions fuchsiennes de même groupe. Reprenons le polygone générateur du groupe, et soient 2« le nombre des côtés de la première sorte et p le nombre des cycles formés de sommets de la première ou de la

34 Sim l.KS FONCTIONS FtCllSIENNKS.

(IcijMi'-inc cUcmu'if ; le m'iirc sera

pour K'.s rmutidiis ili' la |irciiiior(\ de la tlcuxliiiio ou <li' la sixiènic laiiiillc et

n—p iKiiir 1rs (i)iirlions des autres laiiiillcs.

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. !)'i, p. iG3-i66 {3.3 janvier 1880).

Dans la Noie que j'ai riioniiciir de iirr^scnlcr- à rAradc'iiiic, je ni<' propose d'exposer uni' nnUlioile iiiiiiv(dle cl r.ipide pour cxprrinci' une fouclion liiclisienne donnée à l'aide de séries tliétai'uclisiennes. ,1c sujjpose, pour fixer les idées, ([u'il s'agisse d'une fonction du j^cnrc o cl de la prciuièrc t'aniillc. .l'envisage iiuc (ipialicui du sccon<l ordre :

dx'^ -^ (x ~ a^ f (x — a-î)- . . . (X — n„ )"• '

je suppose que cp {x) csl un |)olvnomc de degré ?. n — 2, et que, pour les dillerenls poinls singuliers rt,,«2) •••i«/i)OC» '(^s inKfgralcs soient régulières, et que les diderences des racines des équations dc-terminanles soient respectivement

\ \ II

Te suppose que l'on sache que x est fonction l'udisienne du rapport z des intégrales. On ])eut choisir :; d'une infinité de manières. On pourra toujours le choisir de telle façon que, pour z très voisin de o, x soit très voisin de «,, el se développe de la façon suivante :

(2) X = ai+ zV^+b-iZ-'V'-^ biZ^\'-' + bi,z'-V> + ....

En posant alors

/'(;) est une i'oiiclioii fiirlisicnnc iiMifaitciiicnt déterminée ; il est aisé de calculer les coefficients l>.,, I/,,. h;, ... et ceux des subslilvitions du groupe fuchslen corresiMindaiii

Cela posé, envisageons la l'onction suivante :

Les nombres ),,, 7.2? ■■■l'^rn m sont entiers positifs. Ils sont assujettis, ainsi que le uoiidirc /) (i(vs fadeurs du dénominateur, aux inégalités suivantes :

Les quantités z,, :--2, ..., Zp sont regardées provisoirement comme des constantes. Les infinis de la fonction A(:;) sont tous simples; ils sont compris

dans la formule

a,.Si+ P; g,- S; + p,- g,-j,,-f- p,- Yi -1 + 8,- fi ^s -f- 8,- Y,- 3,, -h ai

Quels sont les résidus correspondants ? Soit

On aura (3)

A, + Aj-H. . .H- Ap = o, Ai/(si) -t- A,/(Z2) -I- . . .-H kpfiz,,) = o,

l^c résidu correspondant à l'infini

Y,--/. H- 8,sera

en posant, pour abréger,

SUR LKS FONCTIONS FUCHSIENNES. 37

Soit co (j:) une fonction rationnelle quelconque ne devenant pas infinie à l'intérieur du cercle fondamental. La fonction o{:-)A{z) jouira de la propriété suivante : elle sera égale à une somme de termes de la forme 2, r~z — ' comme on le démontre par des considérations très simples, mais qui cependant ne peuvent trouver place ici. On aura donc

Cette identité a lieu quel que soit cs(;). Nous pouvons donc écrire en posant, pour abréger,

Cette fonction, si l'on y regarde z comme une constante, est une fonction tliélafuchsienne de t. Si l'on rapproche l'identité (4) des équations (3), et si l'on remarque que, dans ces équations, z,, Z2^ ■ ■ ■ -, Zp ont des valeurs quelconques, on en déduira l'existence d'une relation do la forme

I /'7/"il"'+' (5) e(0= '-^ \,[l^ [Mo+M,/(/) + M,/^(0+...+ M„^;//'-HO].

oîi Mo, M,, ...,Mjn 2 sont des constantes indépendantes de t. Les valeurs numériques de ces constantes peuvent être calculées aisément à l'aide de séries de même forme que 0 et des p — 2 premiers coefficients Z*,, 60, ... , bp 2 de la série (2). Cette méthode nous donne donc l'expression d'une fonction rationnelle de f'{z) et de f (z) sous la forme d'une série tiiétafuchsienne. Connaissant trois pareilles expressions, nous pourrons exprimer rationnellement/(5) par des séries thétafuchsiennes.

On peut, par ce procédé, écrire effectivement certaines relations linéaires entre les séries thétafuchsiennes, relations dont j'ai démontré a priori l'existence.

Les mêmes méthodes sont applicables, avec quelques changements, aux fonctions des autres genres et des autres familles.

SUR