LES GROUPES DISCONTINUS
Comptes rendus de l' Académie des Sciences, l. 94, p. S^ci-S^S (27 mars 1883).
Le (ondeiiipiil de mes rcclierclies sur les fonriimis f'iiclisiennes est l'étude des groupes discontinus conleuus dans le i;n)ii|)c liiu'iure à une \arial)le, c'està-dire dans le groupe des substitutions
\ ' ex -h d I
Les uns, les groupes fuchsieus, sont lels rpic a,h,c,d sont réels ou, plus génénilcriicMi. (pir liiiis snhsl ilul ions conservent un certain cercle, appelé ccrc/e fondamental ; les autres, tpie j'ai appelés Ideinéens, ne jouissentpas de celle propriété. On peut généraliser celte notion et se demander s'il n'existe pas de groupes discontinus contenus dans le groupe linéaire à deux variables, c'estdir(' dans le grou|)e des substitutions
, / ax ■
Dans une Note extrèrrieiueiil intcTCssanle, W. Picard a récemment donné un exen)|)le iFun |)areil grou|)c. Mon but est de iiiontnr (pie d'autres considérations, arillimiti(|ues, algébriques ou géoiiK'tricjues, peniiettent d'obtenir Line infinité d'autres groupes discontinus.
\. Je supposerai d'abord (|ue les coefficients des substitutions (1) sont réels et que leur déterminant est égal à i. J'aurai ainsi des groupes analogues aux
SUR I.ES GROUPES DISCONTINUS. Sg
groupes fuchsiens à coefficients réels. Mais, parmi ceux-ci, il tant faire une distinction : les uns, comme ceux de la première famille, sont discontinus pour toutes les valeurs imaginaires de la variable, mais cessent de l'être pour les valeurs situées sur l'axe des quantités réelles, qui est une ligne singulière essentielle; les autres, comme ceux de la troisième famille, sont discontinus pour les valeurs réelles comme pour les valeurs imaginaires de x. Ce sont des groupes analogues à ces derniers que je vais d'abord chercber à former. Je vais chercher s'il existe des groupes de substitutions de la forme (i), à coefficients réels, qui soient discontinus pour les valeurs réelles de X et de j', ce qui entraînera également la discontinuité pour les valeurs imaginaires de ces variables, au moins dans une certaine étendue.
Pour former un pareil groupe, il j a d'abord un moyen qui s'olTre tle luimême à l'esprit. Considérons une forme quadratique
à coefficients entiers ; elle admettra une infinité de substitutions semblables à coefficients entiers
(3) {x, y , z, ax -^ b y -(- C3, a x -{- b' y -\- c z^ a" x -H b" y -l- c" z). Les substitutions correspondantes
/ ax + by -^ c a x ^ b' y + c' \
(^,y,— Tir ;-> -r, rf «)
formeront un groupe discontinu. Si l'on suppose que les coefficients de la forme (2) et ceux des substitutions seud)Iables (3), au lieu d'être des entiers ordinaires, sont des entiers complexes, on obtient encore de la sorte un groupe discontinu pour les valeurs complexes de x et de y.
2. Je veux maintenant montrer comment, de chaque groupe fuchsien, on peut déduire un groupe formé de substitutions de la forme (i), à coefficients réels, et qui est discontinu pour les valeurs réelles et, par conséquent aussi, pour les valeurs imaginaires de x et de j'. Soit
(4) {x, y, z, ax -H by 4- cz, ci x -i- b' y + c' z, a" x + b"y -v- c" z)
une substitution dont les coefficients sont réels, sans être nécessairement
4o SUR I.KS (illOUl'ES DISCONTINUS.
OUli('i>. cl mil r<|ii'(i(liiil la lorinc (|Uiiili\U ii|ue
32 — xy.
Consiilcniiis Irois tjiumlilcs rebelles JC,y, z, telles que z- — xy soit négatif, et adjoigiions-lciir la cjuaulilc complexe l tléfiuic par l'équation
xt^-hizt-hy = o.
A liiutc MilislilulKiii linéaire
dont les coefficients sont réels, correspondra une substitution de la forme (.'1) et, par conséquent aussi, une substitution
/ «.r + 6jK-t-c n'.r + 6'jK -t- c' \
(^^ [^'■^' a"x-^ùy-hc"' a"x-\-b"y + c")'
Si les sulislitulions (5) forment un groupe discontinu, c'est-à-dire un groupe; fuchsien G, les substitutions (G) correspondantes formeront un groupe discontinu G', même pour les valeurs réelles de x et de j'. Du reste, au lieu de la forme z- — xy , on pourrait en considérer une infinité d'autres. Au groupe G correspondait une subdivision de l'intérieur du cercle fondamental en une infinité de polynômes curvilignes II dont les côtés étaient des circonférences coupant ortliogonalenient ce cercle. De même, au groupe G' correspondra une subdivision d'une certaine conique (que l'on pourra toujours réduire à un cercle) en une infinité de polygones rectilignes R'. Voici comment on pourra passer de la première subdivision à la seconde : on construira la sphère qui admet le cercle fondamental comme grand cercle, et l'on projettera stéréographiquemcnt sur cette sphère les polygones R. On les projettera ensuite de nouveau, mais orthogonalemenl., sur le plan de la subdivision primitive, et l'on aura les polygones R'.
l^a considération des groupes kleinéens m'aurait donné, par un procédé analogue, des groupes discontinus Contenus dans le groupe linéaire à trois variables.
Enfin, les notions qui précèdent sont susceptibles d'une généralisation très étendue. Mais, pour l'exposer ici, j'ai besoin de faire appel à certaines considérations algébriques et arithmétiques, (jui feront, si l'Académie veut bien le permettre, l'objet d'une |Mocliaine Note.
SUR
LES FONCTIONS FUCHSIENNES
Comptes rendus de l' Académie des Sciences, l. 04, p. io38-io'|0 (lo a\ril 1S82 ).
■Te voudrais exposer ici quelques re'sultats nouveaux el les réunir ;i des lliéorèmcs anciens, de façon à en faire un enseinlile comprenant, comme cas particuliers, les résultats obtenus [lar M. Ivlein par d'autres considéralions, el exposés par lui dans deux Notes récentes ( Malli. litn., Bd. XIX et XX).
Soil une équation dillérentielle linéaire quelcon([ue
Dans celte équalion, ['„, 1', l'n-2 sont des fonctions rationnelles en x
el en j', el y est lié à x par une relation aljjéjjrique
D'ailleurs, une ou plusieurs des fonctions P deviendront infinies pour certaines positions du point analytique ( r. )• 1 : ce seront les points singuliers de notre équation dilTérentielle ; à cliacnu d'cuv correspondra une ('quation d('leriuin,uite doul les racines piiurioiil iMre iuia};inaires ou incommensurahles, ou bien être toutes des multiples de , n étant un eulicr positif. Dans ce dernier cas, nous dirons que le point singulier est di- la première catégorie; dans le cas coiilr.urc, (pi'il est de la seconde catégorie, .le laisse de côté le cas où plusieurs des racines sont égales et qui correspond soit à un jioint de la seconde catégorie, soit à un point à apparence singulière.
Il existera, en péin'ral, deux l'onctioiis l'uclisiennes F(;) pl F,(;), jouissant des propriétés suivantes :
1° Elles n'existent qu'à l'intérieur du cercle fondamental.
2° Si l'on fait x= ¥{:■),}■ ^= V,{z), la relation (2) est satisfaite.
3° Quand c reste inférieur au cercle fondamenlal, le point analytique (a;, j') lie peut passci' par aucun poiiil sini;ulii'r de la seconde catégorie.
4° Si {x. y) passe par un point sini;ullt'r de la première catégorie, F(i) et F,(;) ont leur // — 1 premières dérivées nulles.
Alors les intégrales de l'équation (1) sont des fonctions zélafuclisiennes de 3.
Supposons, en particulier, qu'il n'y ait pas de points singuliers de la première ni de la seconde catégcn-le, et que la relation (2) soit de genre p ; le polygone Ro correspondant à nos fonctions fuclisiennes pourra être amené à l'une des deux formes suivantes :
1° Ou bien un polygone de /f p c(jtés dont les C()t('s opposés sont conjugués, et dont tous les sommets forment un seul cycle, de telle façon que la somme des angles soit égale à 271 ;
2° Ou bien un polygone de 4 p côtés dont les C('ilés de rang 4 </ + i el •( r/ + 3 sont conjugués, ainsi que les côtés de rang 4^ + 2 el 4^ + 4 (</ étant un entier). Ici encore tous les sommets ne forment qu'un cycle, et la somme des angles est égale à 2 7t. Celte forme deR^ présente cet avantage que les différents côtés correspondent alors aux périodes normales des intégrales abéliennes de première espèce, et que la (■()usid(''rali(jn de ces fonctions fuclisiennes permet alor> de présentei- (Inuc façon simple la tii'-iii<uislral ion des relalions entre ces jx-riodes.
l.,e |)olyg(>nc ]\„ pciil rncorc prendre une liiliuiti' tranlics foiiiies se ramenant les unes aux autres, .le cilcrai, entre aulics, dans le cas^ = 3, le polygone de i4 côtés considéré par M. K.lein.
Si /) = i, nos fonctions F et F, se réduisent à des fonctions doublement périodiques, de sorte que l'on retrouve les résultats connus sur rint('gral ion des équations linéaires par ces sortes de fonctions, el en particulier ceux de M. Picard.
On peut retrouver de même les résultats connus rrlal i\ rmeut à l'intégration algébri(pie de ces (■(piaiions. Si ces équations admetleni, eu ellet, des inté-
grales algébriques, les séries thélazétas, par lesquelles s'expriment nos fonclious zétafuclisienues, se réclnisonl (relles-mèines à des séries thélafuclisiennes ; par conséquent, les intégrales r se ramènent à des fonctions fiiclisiennes de z liées à X par des relations algébriques, puisque nous savons qu'il y a toujours une telle relation entre deux ("onctions tuclisiennes de même groupe.
Supposons maintenant que notre équation ( i) admette des points singuliers; les somjnets de Rj se ré|)artiii)nt alors non plus en un, mais en |)lusieurs cycles, qui sont de la première ou de la seconde catégorie, selon ipic lr> jioinls singuliers correspondants sont de la première ou de la seconde catégorie.
Est-ce là la seule manière d'exprimer j", y et c par des fonctions uniformes de i ? Non.
1° On peut remplacer F(;) et F|(;)par deux fonctions F'(^) et F'j (;), jouissant des mêmes propriétés, mais qui sont des fonctions kleinéennes, ou de ces fonctions fuchsiennes qui n'existent que dans une partie du cercle fondamental. Le passage de F(;;j à F'(; ) se fera par V Abbildnng du cercle fondamental sur un certain domaine.
2" On peut égaler ; à une fonction uniforme de A, et alors x, y et c sont également uniformes en /; de plus, on pourra choisir d'une infinité de manières z en fonction de i, de telle sorte que
,f et Ss étant des fonctions fuchsiennes et Z une fonction zétafuchslenne. Il est quelquefois plus facile de trouver la fonction ^(t) que F(;), comme j'en ai donné l'exemple dans ma Communication du 8 août 1881.
On peut enfin exprimer x et y par des fonctions fuchsiennes F( ;) et F, {z) existant dans toute l'étendue i\\\ plan ; mais je ne puis entrer ici dans tous les détails que ce sujet comporte.
SUR
LKS FONCTIONS FUCHSIENNES
Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 'Ji. p. ii(JG-ii67 (34 avi'il 1882).
Panni les fondions furhsicnnes existant dans toute l'étendue du plan, cl dont j'ai parli' à la (in de ma dernière Coniniuniealion, il en est un certain noiidiic MIT lcs(niclles je voudrais attirer particulièrement l'attention. Considéi'ons dall^ le plan drs ; l'axe des (piaiilités réelles et 2/1 + 1 points A,,
Ao, A„, C, B,, Hj, H„. Les points A, et B, sont siiiu's sur l'axe des
(piaulités l'éelles. 1rs aulrrs sont au-dessus de cet axe. Joit;nons les points
A, A,, AjA,, A,A.„ ..., A„-,A,„ A„C, CB,„ B„B„-,, ..., B3B,, B,B,
par des arcs de ccri le a vaiil leurs ceiilics sur l'axe des rpiantités iH'clles. On obtiendra ainsi un certain poljf;(ine (■ur\ilij;ne
A,A.A3Ai...A„CB„B„B„-, ...B,B,,
dont tous les côtés seront des ai-cs de cercle ayant leurs eeiilres sur l'axe des quantités réelles, exce))l(' le côt('A,B,, qui sera un sej;nicnt de cet axe. Quant au sommet C, on peut, pour plus de symétrie dans les énoncés, le considérer comme ap|)artenant soit à la s('ric des points A avec la notation A„^,, 5oit à la s(Mie dcs |miiuIs iîa\ee la luilalioii B„j.|.
.J'appelle IJ, et |J| les intersections de l'arc A,A/^i proloni;('' avec l'axe des quantités réelles; E,, Ej les iulerseci inns de cet axe avec l'aie B, B,,^,.
Je suppose :
1" Que le lapporl aidiaiiiioniquc des quatre jioinls D,, D|, A,, A/^, sur le
cercle D/D^A, A,,,., csl égal à celui des quatre points E,, E,', B,, B/^, sur le cercle E,EJB,B/+, ;
2" Que les angles curvilignes A/+ B, sont des parties aliquoles de au. ainsi que l'angle curviligne C.
Dans ce cas, il existe une suli^lilutinn lini'aire
dont les coefficients soni rt'cis, et fpii change A,A,^, en B,B,,.,.
En condjinant ces /; substitutions, on obtient un groupe discontinu, et ce groupe donne naissance à une infinité de fonctions fuchsiennes qui jouissent des propriétés suivantes :
1° Elles sont toutes fonctions ralionnelles de l'une d'entre elles, que j'appelle F(;);
3" Elles existent dans Imile rc^lcndiie du plan: leur> jxiinls singuliers essentiels sont isolés et en noiidnc luliiii, ri ils sonI Imis silui's sur l'axe des quantités réelles.
Ces points singuliers soni inliniiiiriii iap|trocliés dans le \oisiiiagede certains points singuliers du driixiènie (U'dre ; ceux-ci soiil inliiiiuiciil i-.ipprochi's tiaiis le voisinage de certains points singuliers du iroisièinc ordre, et ainsi de suite. D'ailleurs, les points singuliers de tous les ordres siuit en nombre infini. Nous avons donc là un exemple de ces Jonctions du deuxième genre, dont M. Mitlag-LefUer a parlé dans sa Communication si intéressante du 3 avril. Si nous posons
on a
4>(x) étant rationnel en x. La fonction rationnelle $(2;) a ses coefficients réels; et les points singuliers de l'équation (i) sont au nombre de iti et sont imaginaires conjugués deux à deux. Pour chacun d'eux, les intégrales sont régulières^ cl la diUérence des racines de l'équation déterminante est une partie aliquote de l'unitc'.
Dans le cas particulier où l'un ou plusieurs des sommets du polygone
envisagé viennoni mit l'a\c dos (|u;mlitc.s réelles, les inlégrales de l'équation (i) de\ ieiineiit loi;(iritliiiiii]iii-s dans \v voisinage des |)oiiiis singuliers correspoudauls.
On pont tonner dos lonclions kleinéennes avant la niiMno génération ([ue les fonctions lucli^ionnos dont j<' viens do parler. J^es propriétés sont les moines. Senloinonl. los |ioin|s sini;ullors essentiels no sont plus situés sur l'axe des (juiiililé's réelles; la lonction <l>(./) n'a plus ses coeffieients réels, et les jioints singuliers de récpialion f i ) no sont plus imaginaires eonjugués deux à deux.
SUR
UNE CLASSE D'INVARIANTS
