RELATIFS AUX ÉQUATIONS LINÉAIRES
Comptes rendus de l'Académie des Sciences, l. 94, p. iftoi-tt^oS (23 mai 1SS2)
Considérons deux équations dKVérenticlles linéaires
d"'y ,, (/'"-'y n dy „
rfa-'" rf.r'«-' dx -^
Je suppose que les Conclions P et P' sont rationnelles en af et en ^; ;; étant défini en fonction de x par une relation algébrique
Je dirai que ces deux équations sont de mrme famille, si l'inlégrale générale de la seconde peut se mettre sous la tonne
V étant l'intégrale générale de la preuiière, les Q étant des fonctions rationnelles de X et de :■, et A une fonction quelconque de ces variables. Supposons que les fonctions P et P' soient de degré déterminé, de façon que leurs coefficients soient en nombre limité. Il y aura certaines fonctions de ces coefficients qui auront la même valeur |)()ur toutes les équations d'une même famille. Je les appellerai invariants de famille.
4S SDR UNK Cl. VSSK d'iNVAHIANTS KKI.ATIhS AUX KOUATIONS I.INKAIRKS.
Pour iiirtiil l'iT riiiiiini'iil «m pi'iil (li'lcrrinuri ri l'Iiidior les lavuruuits de taïuilli', |e v.ii» |)icu(lre l'cxemiile miii|iI(' de ri'i|iii\l Kiri
9 étant une fonclioii rallonnclh^ de x seuloineiil. Je suppose que les intégrales de celle équation soient pailoul régulières et sans logarithmes, l'armi les inlinis de 0. |c disliiiL;iu' ceux poui' lesquels la diHV'ienee des racines de 1 ('([nal ion d(''leriiiiiiaiile nest pas un entier el ipii sont les piiiiils singuliers propreineiil dils, cl ceux pour lesquels celle d illV'rence est un entier et que j'a|ipidlcrai points Mlll;llller■^ (//»/""'''" '■'■'• •''' supposerai que le point ce est un poiiil siiii;ulicr. cl ipi'il y a, en outre, /, [loints singuliers à tlislance finie, ,1e dirai ipic deux équations de la loriiie (i) apparlionnenl à la inèinc classe si les points singuliers sont les mêmes el si, pour chacun d'eux, la dlllérencc des racines de I '('■quai ion di''tcrininaiile est la iiiimiic ;i un entier près. , Je supposerai, pour i''\ lier imc diseussioii 1(11 1 ne |irésente, d'ailleurs, aucune dilliciillé, inie cette dilli'renee est lii m('me dans nos deux (■([nations pour chaque point siaguliei', el (ju'elle est égale à 2 pour chaque point apparent. Cela posé, toute classe se tlivisera en deux sous-classes, selon cjue le noinhre des points apparents sera pair ou impair.
Elaiil doniK^cs deux ('■cpiatKUls de la m('iue sous-classe, comhien laiidra-l-il de conditiiuis pour (pi ClIes soient de la même tainille? En d'autres termes, comhien y aiira-l-il dinx, niants de lainillc eu dcliois de ceux (pii di'^lerminent la classe? Il y en aiir.i •'. /. - \.
Soit /( le nomhre des points aiiparenis; si, outre les /i points singuliers, les h points apparents sont donnés, il restera, dans 9, des paramètres arhitraires au iiomhre de k — a. Il résulte de là (jiic, si h ^ k ( inrul '.i ) , il y aura, dans chaque l.iiiiillc. une ciiiialion canoni(jiie ipii n'aura ipic / — ■>. poinis ap|iarenls, et si li ^ k-\- \ (iiiod', i. il y en aura une iiirniih'^ ipii auront /> — i poiul-. a|)parents.
.Soit, par exemple, /»=:''), h ^^ \ (iiiod'>,); \ oyons coinuieiil ou poiiriM |)as,Ncr de l'équation il) à une équation de même famille n'ay.mt ijuiin point a|ipaieul. Soient ai, a^, ..., «* les [joints singuliers, />,, h,, ..., />/, h's [toiiits apparents.
Posons
a(x — /y|)(,r — bi) . . .{x ~ b/i) {x — d)
"^ ~ (x — a,)^(x — ai)HT—a3f(T — c,)Hx — c,)^. ..(X— c„, )2
Je suppose 2.111 -^z h — ■'>■ Ou voit que 'l^ contient m i-'. [laramèlres arhi-
SUR UNE CLASSE DINVARIANTS RELATIFS AUX ÉQUATIOiNS LINÉAIRI-S. 49
Iraires, c'est-à-dire a, d, c,, r^, ..., c„,. Considérons la fonction ralionnrdlc — 0 + 4. Elle sera de degré — 2, et elle aura 3 + m -H li infinis doubles. Combien t'aul-il de conditions pour qu'une fonction R de degré — 2 et ayant
/( infinis douijles puisse se mettre sous la forme o- — -t^> s étant rationnel'. Il
en faut n — 1 , et ces conditions, ainsi que les coefficients de o, s'expriment 1res simplement en fonction des coefficients de R. Ici nous aurons donc 2 + /i + »i conditions, et, comme h d'entre elles sont satisfaites d'elles-mêmes, nous satisferons aux autres à l'aide des /« + 2 paramètres arbitraires qui restent dans 'II. On résoudra donc l'équation
ce qui se ramène à un prol)RMne purement algébrujue. Puis on lormera l'équation dont l'intégrale générale s'écrit
kh'
v/4- \^^^ dxj'
y étant l'intégrale générale de (1). Cette é(iuation sera de même forme que (1), elle sera de même famille que (1), et elle n'admettra qu'un [)oint apparent qui sera d. Les coefficients de celte équation seront les invariants de laiiiiUc cherchés.
La question peut se traiter par la même analyse dans le cas le plus général. Un problème se présente maintenant: je suppose que les k points singuliers de(i) soient donnés; peut-on disposer des 2k — 4 invariants, de telle façon que le groupe de l'équation (1) soit ([uelconque? Cela n'est pas évident a priori., mais la considération des fonctions zélafuclisicnnes permet de le démontrer.
SUR
LES FONCTIONS FUCHSIENNES
Comptes rciuhis de l' Académie des Sciences, l. 05, p. 62G-62S {9 octobre 1882
Dans Ti/IikIc des (i)ii(liiiii'~ fiiilisicnnes, j'ai onvlsagé des séries de la (orme suivante :
Il Ilf;) esl ralL;<iiillinic (l'iiiic roncliou rat iiiiiuclle, où I z, ■^'^ ^] soril le>
(it , - , - ^ , , ,
dilTérentes >iilistilulions du groupe fuclisieu envisagé, et où m est un enlier plus grand (pie 1 .
J'ai dcinonlr(' ipie ([)our une iiiènie valeur de /;; ) le cpiotienl de deux de ces séries est une fonelion lin iisienne. lléiiprcxpu'uienl, on |muI se demander si toute fonction fiiciisicnnc peut sexpruner p.ir lui paieil ipiolient. Celle question se ramène à la suivante. J'ai dit déjà cpie toutes les fonctions iuclisicnnes ayant même groupe pcusenl s'exprimer rationnellement à l'aide de deux d'entre elles, ipir j'appcdlc ,r et y, et eulre iesquidlcs il v a une relalimi algéhrifjue, de soile ipie toiile série de la Ciiinie (i) peu! être égalée à une expression idlr (jne
où ¥(x,y) est raigonlliinr d'iiiir luiuiidu r.il ioiiiicllr.
Réciproquement, loule l'onction idlc ipie i ■'. ) |Hiil-illr l'ire mise sous la forme ("ij? i'oiir lixi'i- le, idi'es, je supposerai qu'il s'agit d'une de ces familles de fonctions fuchsienncs qui n'existenl (pi'à l'iuliMicur du cercle toiidamenlal.
SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 5l
Nous trouvons d'abord aiséineul ([uc, pour pouvoir être mise sous la forme (i), l'expression (9.) doit s'annuler <piand z vient en un des sommets de la deuxième catégorie du polygone Ro-
Supposons une fois pour foules celle condition remplie.
Les fonctions telles que ( ?. ) peuvent ou bien admettre des infinis (nous dirons alors qu'elles sont de la première espèce), ou bien n'en pas admettre, auquel cas elles seront de la deuxième espèce. De même, les séries telles que (i) seront (sauf des cas exceptionnels que nous laisserons de côti') de la première espèce et auront des infinis si n(;;) a des pôles à l'intérieur du cercle fondamental. Dans le cas contraire, elle sera de la deuxième espèce et n'aura pas d'infini.
Je dis d'abord que toute expression de la forme (2) et de la deuxu"'nie espèce peut être égalée à une série de la forme (i) et de la deuxième espèce. \ln effet, on (b'inontrc que toutes les cx|)ressinns de la forme (2) de la deuxième espèce peuvent s'exprimer linéairement à l'aide de p d'entre elles, p <'tant un nombre entier facile à déterminer. Le tluMirèuie é'noncé sera donc déuiontré si j'établis qu'il est possible de mettre sous la forme (1) p expressions telles que (2) linéairement indi-pendantes entre elles. Or, dire que cela est impossible, ce serait dire que toutes les séries (1) de la deuxième espèce peuvent s'exprimer linéairement à l'aide de /) — 1 d'entre elles. Mais je dis qu'il n'en est jias ainsi.
En effet, supposons que loiiLes les séries (i) de la deuxièuie espèce puissent s'exprimer linéairement à l'aide de/) — 1 d'entre elles, que j'appellerai 0,, 02, ...,0/,^,. Soient :;|, ^21 ■••7 '-p /' points cboisis au hasard à l'intihieur du cercle fondamental. On pourra toujours trouvcryj nmuljres yV,, A^, .••, A^, tels
qu'on ait
On aura alors
0(c) désignant une série quelconque de la forme (i) et de la deuxième espèce. Cela posé, considérons la fonction suivante :
*(3,a)=y (i^iiitiit!!:.
jL^i ai a -t- p,-
5a SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNE§
Siiil ( r . -^ j- j uiif {juolc()n(|iic des siilisl il ni ions ilf noire i;roiipe fuclisicn,
el posuns
On uiira nient iqueincnl
fc) ((/) (lésii;nanl une série (i ) de la deuxième espèce, où a es! regardée comme la variable indépendante. Si donc on pose
A(-) = A, <i>(r, c, ) + Aj1.(^, cj) +.. .-I- A,,<|.(;, :,,), on aura
on en rnnrhit que A(;) est de la forme
(3) {-£) Vi.r,y,
F étant rationnel. D'ailleurs l'expression (."5) s'annule comme l'expression (2) quand z \icnt en 1111 des sommets de la deuxième eatc'gorle. Il serait donc possible de construire une l'onetlon telle cjue (3), admettant p infinis, z,,Z2-, ■ ■■■!:■ p choisis arbitrairement et n'en admettant pas d'antre. Or on démontre que cela ne se peut pas. Donc l'hypothèse laite au dc'liut e-^l absurde. Donc toute expression (a) de la deuxième espèce peut se mettre sous la forme (i).
Je dis maintenant que toute expression (2) de la première espèce peut se nieiire sous la forme (i) (en supposant toujours qu'elle s'annule quand z vient eu un sommet de la deuxième catégorie). En ellet, on pourra toujours construire une série (1) ayant les mêmes infinis que l'expression (a), donnée avec les mêmes résidus. La dlirérence de l'expression (a) donnée el de la série (i) ainsi foiiniie sera une expression (2) de la deuxième es])èee qui pourra se mettre sous la forme (1). Il en sera donc de même de l'expression (a) donnée.
Il résulte de ce qui précède que toule fonction fuchsienne, n'existant qu'à l'inlérieur du cercle fondamental, peut s'exprimer d'une infinit(i de manières par le f|uolient de deux séries de la forme (ij. Des piincl|H!s analogues sont a[)pl icablo aux loiiclioiis tiielisieunes qui exisleul dans loiil le plan.
SUR
Cnmpics rendus de l' Académie des Sciences, l. t)G, p. ()9i-fi<}'( (ii mars iSSS).
La détermination complète du groupe d'une équation différentielle linéaire à coefficients rationnels est l'un des problèmes les plus importants que l'on rencontre dans la théorie de ces équations. M. P\ichs a donné, dans le Tome 73 du Journal de d'elle^ un moyen de cairulcr les coefficients de ce groupe avec iitu' a|ipri)xinKiliiiii iii(l('liiiic ; mais il y a beaucoup d'aulics moyens iraiiiver au même ii.sullat.
\. Je considère en |)articiili<M' IWpialion suivante :
en supposant
Ce que je vais dire s'appliquerait d'ailleurs à une ('quation linéaire quelconque, et je n'ai envisagé l'ijquation (i) que pour fixer les idées.
Soient j', et y., deux intégrales de l'équation (i) définies par les conditions
dvt dvn ...
suivantes : pour x = o, }',, y-,, —r— et -^ se réduisent respectivement a
I, o, o et 1.
Si l'on considère un instant x et les rt, comme des constantes, les A,- et les B,
comme variables, il est aisé de voir que •>',, ) ■-, -^ et -^ sont des fonctions ' ^ - ' - dx dx
54 Sun LES CROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
entières des A, cl dos H,, cl |)(m\ciiI rtrc développées suivant les puissanres croissantes de ces quantités en séries toujours convergentes.
Supposons maintenant que l'on fasse décrire îi x un contour fermé quelconque C en partant du point o cl y revenant ; soient c;,, z-<, t^ et t., les valeurs
linalcs de ),, } ■., ■—■ et -j^'> elles seront des fonctions entières des A et des B. ' * dx clx
Quand on fera décrire à x le coiilour envisagé, j^i ^t j'2 se changeront respecti- \einenl en
Soient S| et S^ les racines de l'équation en S,
Si l'on connaissait, pour tous les contours possibles, les valeurs de S, cl de Sj, le groupe clierché sera entièrement déterminé. Or on a constamiuent
Oj 02 ^ ■*'I '2 ^2 ' 1 ~-- I •
Il reste à di'lcnuiner
La valeur de 5, 4- t^ s'obtient iinmédialcincnt quand le contour C n'enveloppe (juiiii point singulier ou les envclo|)pe tous. Il reste à étudier le cas où ce contour enveloppe plusieurs points singuliers sans les envelopper tous. Dans ce cas, ;;, -|- tn s'exprime par une série ordonnée suivant les puissances des A,- et des B,-, et les coefficienls sont des sommes de termes que l'on peut former CDmmc il suil :
l'osons
AC
■i". «1) = '"sf ' — ^
A(t, a,,a2)= / rf.r,
Ar^,a„ ,„,,)= r ^tllllllllldx,
Soit ciiiiii A (C, 7.,, 7.2, . . . , ^J.p) l'iiili'grale
prise le long du contour C. Les coefficients de notre série seront des sommes de termes de la forme A(C, a,, a^, . . ., a^,), les a,, aj, . . . , oLp étant, dans un certain ordre, les points singuliers a, , a>, • • • , a^, chacun de ces derniers pouvant être répété un certain nombre de fois dans la série des a. Ces coefficients peuvent donc être calculés par (piadratures.
2. Voici un autre moyen de former le groupe de l'équation (i). Soient ai et «2 deux points singuliers, C| et C^ deux cercles ayant pour centres a, et a-, ne contenant aucun autre point singulier et ayant une partie commune P. Soient "A| et ijl,, Ao et ijio les racines des équations déterminantes relatives à «i et à a-,- L'équation admettra quatre intégrales :
( .^3= (^ - ai)'^'Oi(.v — ai), y^ = {x — ai)V-^'hi{x — a^),
OÙ les (S et les ^ sont des séries ordonnées suivant les puissances de x — «i et de X — aa, et convergentes toutes quatre à l'intérieur de P. On aura d'ailleurs
„ dyi dY3 Q dy^
dy^ dyt , dy^
Si l'on pouvait déterminer les valeurs de a, jj, y, S pour toutes le> e I)i-
naisons deux à deux des points singuliers, le groupe cherché serait complètement déterminé ; mais, avec les suppositions que nous avons faites sur les cercles C| et G2, on peut substituer, dans les équations (3), les valeurs des y données par les équations (2), en donnant k x une valeur fixe Xg située à l'intérieur de P. On a ainsi a, (j, y, 0 sous forme de séries ordonnées suivant les puissances des A, des B, de Xg — a, et de Xa — «a-
Dans une prochaine Note, je montrerai, si l'Académie veut bien le permettre, comment on peut toujours ramener le problème au cas où l'on peut tracer deux cercles C, et Co satisfaisant aux conditions énoncées plus haut. Je montrerai également comment les résultats précédents peuvent s'étendre au cas des intégrales irrégulières et le lien intime qu'il y a entre ce dernier cas et divers problèmes de Mécanique céleste.
SUR
LES GUOIPES DES ÉftUATIONS LINÉAIRES
Conijjlcs rendus de l'Académie des Sciences, t. 'JG, p. i3uj-i3o4 (3o avril i8S3).
3. Dans une Noie que j'ai eu riioiineur de présenter à l'Académie le la mars dernier, j'ai montré que, pour former le groupe d'une équation linéaire, il suffisait de connaître, pour toutes les combinaisons deux à deux des points singuliers, quatre coefficients a, (î, y, o, et que ces quatre coefficients s'exprimaient aisément par des séries lorsque, envisageant deux points singuliers ai et Oo, on pouvait construire deux cercles C, et Cj, ayant pour centres a, et a-i, ne contenant aucun autre point singulier et ayant une partie commune.
Supposons maintenant que#l'on trace deux figures F, et F,, satisfaisant aux conditions suivantes ; i° elles auront une partie commune ; 2" la figure F, contiendra le seul point singulier a, et la (igure P^ le seul point singulier a-^ ; 3° la figure F, se composera de la partie commune à deux cercles qui se couperont aux points a, et [j, sous un angle 7;y, ; la ligure F, sera de même limitée par deux circonférences se coupant en a2 et [i.^ sous un angle tzv-^', il est évidemment toujours possible de construire deux jiareilles figures.
Les équations des quatre circonférences qui limitent les deux figures F, etF2
seront
'"•s;;Trp; = »» "'6^37; = °' + -^..
a: — a» , x — ïj .^
arg— -^ = 02, a'-S-— s- = 02-+-^lT2•
Posons
/ -,ô, a:— a,\T' / -lô, x— ai\ï»
, / '5, ai— ai\ï' , / 'iô,a.,— 'X«\t'
'•i = [e rr- > lii = {e 5- I '
V ai — Pi/ V «2— P2/
Soient h\ et li^ les quantités imaginaires conjuguées de /(, et de /u. Posons
encore
Si nous reprenons les notations de la Note cilée, nous aurons
yt = z\'<f,(zi), ;'2= 3i^"j>,( ;;, ) à l'intérieur de F,
et
y3 = z];^<fi(zi), /; = 5^' i];, ( S, ) à rintéiieur de Fj.
Soient alors Xg un point de la jiartic coinuuine à F| et à F2, 3° et zl les valeurs correspondantes de :;, et de z-,; il est clair que les coefficients a, |i, y, 0 s'exprimeront en séries ordonni'cs suivant les puissances des A, des B, de c" et
de ;°.
4. Supposons maintenant que l'on envisage une équation de la forme suivante :
Y (a;) étant une fonction uniforme de x devenant inllnic pour ,1; ^ o, de telle sorte que le point jc = o soit un point singulier dans le voisinage duquel les intégrales soient irrégulières. On peut clierclier les racines de l'équation déterminante qui correspond à une rotation du point x autour du point singulier a; =0. On voit alors, en appliquant les principes exposés ])lus haut, que ces racines sont des fonctions entières de a.
