De même envisageons des équations de la forme suivante
dt
où les cs,/t sont des fonctions périodiques de t développables 'suivant les sinus et les cosinus des multiples de X^ Cherchons l'équation déterminante D de la substitution que subissent les intégrales quand t s'accroît d'une période. INous verrions aisément que les racines de cette équation sont des fonctions entières de a.
6. Un problème analogue se présente en Mécanique céleste lorsqu'on étudie les variations séculaires des excentricités ; seulement les fonctions tp,/; sont H. P. — II. 8
développées suivant les cosinus et les sinus des arcs (mX + «jj.) t, m et n étant des entiers et X et ja des constantes données. On peut traiter directement ce prol)lt>mc roniine le précédent, ou plutôt le ramener au précédent en supposant le-- iiioviiis iniMixcinoiils commeiisuraMes, ce qu'on peut faire avec une erreur aussi ])olil<' qu'on le voul. Les périodes des variations séculaires dépendent alors des racines de l'équation déteruiinanle D définie plus haut, et sont développables suivant les puissances croissantes de a, quel que soit le module de a. Lorsqu'on calcule ces périodes comme on le fait d'ordinaire, c'est-à-dire en supprimant dans les fonctions 'f//, tous les termes non séculaires, on ne trouve que le premier terme de ces séries, le terme cjui contient a à la première puissance. Le terme suivant, (jui est de l'ordre de a-, est d'ailleurs très petit, à cause de la petitesse de a.
SUR
LES FONCTIONS FUCHSIENNES
Comptes rendus de l'Académie des Sciences, l. 96, p. 1483-1487 (21 mai i8S3).
1. Dans une Note que j'ai eu l'Iiiiuneur de présenter à rAcadéinie, le 18 avril )88i, j'ai lail voir qu'iui [ttMil toujours construire une lonelina luclisienne F(^) qui peut prendre toutes les valeurs possibles, excepté 11 valeurs données Ui, cin, . . . , a„ qui sont toutes situées sur un même cercle (je supposerai, par exemple, que le module de ces n quantités soit égal à i). Il est très iuq)ortant de déterminer cHectivciueut cette lonction et de sa\oii' calculer, avec une approximation indéfinie, les coefficients de son groiqjc G, puisque c'est là la première opération qu'on doit faire quand on veut intégrer une équation linéaire, \oici un moyen d'arriver à ce résultai. Suppos(jns le problème résolu.
La fonction ^ (;j donne la rejiréseulal ion coulonue sur un cercle d'un certain polygone curviligne Ro, et riiilcrieur du cercle fondamental se trouve divisé en une infinité de polygones Ro, Ri, ..., tous congruents ou symétriques h R||. Réunissons un certain nombre de polygones Rq, Ri, . .., Ry, pour former un polygone total S. 11 y aura une fonction fuchsienne es ( ; ) qui donnera la re[)résentation conforme de S sur un cercle ; son groupe sera contenu dans G,
et nous aurons identiquement
H l'iant I algoriliuue tluue fonction rat lonucUe. Il est d ailleurs aisé de calculer les coefficients, de H quand on connaît les nombres r/,, a^, ■■-, ci„ et la
6o SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES.
disposition rohili\o des polygones R,,, U,, ...,11^,. Ou pont donc calculer o en fonction de !*'.
On peut prendre S assez grand pour rpie le cercle concentrique au cercle londanienlal, et qui a pour rayon i — x, soil loul entier à l'inlérieur de S. On a alors
d'où
modœ > iiiotl z,
Imii iiiodu = inod; ( |)(iiir a — o).
Soient ;,. z^ ^7 les transrorin('cs de o par diverses substitutions de G;
non-- poun'ons calculci' par ce [uoccdc uiod;,, niod ;^, ..., niod ;„, ce qui >utlil pour dctciiuiner ( 1.
2. Soit )■ une intégrale d'une cMpiation linéaire à coefficients rationnels en a:-. Dans une Note que j'ai eu l' lion ne ni- de présenter à l'Acadiiinie, le iS août 1S81 , jai tait voir (pie l'on peut Irouxer une fonction fnclisienne F (3) telle qu'en substituant F (:;) à la place de JC,y devienne fonction uniforme de z. Mais il y a une infinité de manières d'obtenir le même résultat, ainsi que le prouvent les travaux ultérieurs de M. Klein et les miens. Ainsi l'on peut trouver une fonction fuchsienne »(<) plus simple que F(;), et telle qu'en substituant es (<) à la place de x, y devienne une fonction uniforme de t . On aura d'ailleurs
•\ ( z) étant une fonction uniforme de :;, qui demeure inaltérée par un groupe oformé d'une infinité de substitutions linéaires
\'olci un nioven de former / en lonclion de z et de démontrer, en même temps, au moins dans la grande majorité des cas, l'existence de la fonction C6 il). iNous aurons
(1) logiiiod/ =y logmod''''^ P'
et
(a) ' log mod < = lim a„ = ^(m„ — «n-i )•
Voici ce ([lie c'est que ;/„. Supposons que G,, Cj, ..., G„ soient des con-
SUR LES FONCTIONS FUCIISIEN.NES. 6t
tours s'enveloppaul imitiielleinenl e( intérieurs au cercle fondamental, m„ sera la partie réelle d'une fonction cb„ dont la partie réelle est nulle le long de G„, et qui reste finie à l'intérieur de ce contour, excepté aux points où a,; + p,:=o,
et où la différence cs„ — lo^ -^- v reste finie.
Sauf dans certains cas exceptionnels, on peut démontrer la convergence des séries (i) et (2).
3. Les mêmes primlpes et le beau théorème de M. Scliwarz {Monntsherichte, octobre 18^0) permettent de déinunlri'r la proposition suivante, (pu peut présenter quci(pie intérêt à cause de sa généralité :
Soit y =f (x) une Jonction non uniforme de x , d'ailleurs quelconque. On peut toujours trouver une variable :.. telle que l'on ait
CB et '} étant deux Jonctions uniformes de z, n'existant qu'A l'intérieur d'un cercle.
SUR
LES GROUPES HYPERFUCHSIENS
Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 98, p. 5o3-5o4 (25 février "1884 ).
Les substilulioiis liyperfuclisieimes se suljdivlsent en subslitulions ellipllcjiies et hyperboliques, si on laisse de côté certains cas particuliers. Appelons /?o/af/-e du point (a, [3) la droite
a» a; -h Po^ = 1.
Dans les substitutions elliptiques, la polaire de chacun des trois points doubles passe par les deux autres. Dans les suljstilutions hyperboliques, deux des points doubles sont sur l'hypersphère
el le troisième est le pôle de la droite qui joint les deux autres. Soient (a, [3) et (y. ô) les deux premiers points doubles situés sur riiypersphère. Considérons rhjperspbèi'e
('-) fa; — aj(.r(,-ao) + (7 — fi)(7o— po) = E-,
OÙ je supposerai que z est très petit. On peut toujours supposer que le multiplicateur de la substitution hy|)erbolique est assez grand pour que les transformés de tous les points de l'Ii vpersphèie (a) qni sont int('rieurs à l'hypersphère (1) soient aussi près qu'où vciitdu point (y, 0). Cela ne serait plus vrai des points extérieurs à (i).
Cela posé, imaginons /; ^ld)^l ilni imis by[)erboliques S,, So, ..., S„.
