SUR LES GROUPES HYPERFUCHSIENS

Soient (a,-, p,) et (y,, S,) les points doubles de S,-. Soient S, une liypersphère

(37 — a,-)(3-„— a,o) -H (y — [3,-) (70— ?io) = ej

et S', la Iransforinée de cette sphère par S,-. On peut toujours supposer les s assez petits et les multiplicateurs des substitutions assez grands pour que les S,et les 2^ n'aient aucun point commun à l'intérieur de l'hypersphère (i).

Envisageons un domaine D limité par l'hypersphère (i) et par les surfaces 2,et Sj. D pourra être regardé comme le domaine générateur du groupe des substitutions S. La considération de ce domaine montre que ce groupe est discontinu à l'intérieur de l'hypersphère (i). La discontinuité peut même s'élendrcà un domaine plus vaste, mais non pas à toutes les valeui's des variables.

On est do.nc ainsi conduit à une classe de groupes hyperfuchsiens, tout à fait différente de la classe découverte par M. Picard et analogue à la troisième famille de groupes fuchsiens.

Pour pouvoir appliquer à la théorie des groupes hyperfuchsiens les méthodes qui m'ont réussi dans l'étude des groupes fuchsiens, il est nécessaire de généraliser la notion des invariants analogues à la longueur, à l'angle et à la

surface. Posons

xxa + yyo= f,

x^d.v -hyo dy = p dt, t dx^ + y dy(,= ç> dto,

y dx — X dy = p du, ys, dx„ — xo dyç, = p duo.

L'intégrale

dt dlo du duo

est un invariant analogue à la longueur.

Il existe aussi un invariant qui doit être assimilé à l'angle. Soient M, N , P trois points dont les coordonnées soient (x, y), (x ~{- dx, y -\- dy), (x + ôx, y + ùy); l'invariant co, analogue à l'angle NMP, sera défini par l'équation

[du OMo ■+■ dua ou dl o/o + ^'o 3M '

cos-'cp =

[du du„ dt df,) 1 r Su Suo 8t otn 1

Il existe également des invariants analogues à la surface ou au volume à trois ou à quatre dimensions.

Celui de ces invariants qui est analogue au volume à quatre dimensions a déjà été signalé par M. Picard.

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES